UNESP - UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA FEB - FACULDADE DE ENGENHARIA DE BAURU PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA HEITOR TENCA BOLZAN

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1 UNESP - UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA FEB - FACULDADE DE ENGENHARIA DE BAURU PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA HEITOR TENCA BOLZAN Dinâmica de um sistema usando estrutura de rigidez negativa para suspensão de assentos de veículos Bauru 216

2 HEITOR TENCA BOLZAN Dinâmica de um sistema usando estrutura de rigidez negativa para suspensão de assentos de veículos Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia de Bauru, programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica na Área de Projeto Mecânico, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Engenhara Mecânica. Orientador: Prof. Dr. Bento Rodrigues de Pontes Junior Bauru 216

3 Bolzan, Heitor Tenca. Dinâmica de um sistema usando estrutura de rigidez negativa para suspensão de assentos de veículos / Heitor Tenca Bolzan, f. : il. Orientador: Bento Rodrigues de Pontes Junior Dissertação (Mestrado) Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia, Bauru, Estrutura de rigidez negativa. 2. Vibração em assento de veículo. 3. Não-linearidade geométrica. I. Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia. II. Título.

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5 AGRADECIMENTOS trabalho. A Deus por me dar saúde, inteligência e capacidade para realizar este À minha família pelo apoio e incentivo, fundamental para que eu conseguisse sucesso nesta etapa da minha vida. Ao Prof. Dr. Bento Rodrigues de Pontes Junior, pela confiança, oportunidade e orientação durante a realização deste trabalho. Ao grande amigo João Rafael Alves, pela ajuda, por compartilhar seu conhecimento e disponibilizar seu tempo ao longo do curso de mestrado. Ao Prof. Dr. Paulo José Paupitz Gonçalves e ao Prof. Dr. André Luiz Andreoli pelos comentários e observações valiosos no processo de qualificação da dissertação.

6 Pouco conhecimento faz com que as pessoas se sintam orgulhosas. Muito conhecimento, com que se sintam humildes. Leonardo da Vinci

7 RESUMO BOLZAN, H. T. Dinâmica de um sistema usando estrutura de rigidez negativa para suspensão de assentos de veículos. Dissertação (Mestrado) - Faculdade de Engenharia, Universidade Estadual Paulista, Bauru, 1 p., 216. O projeto de pesquisa visou o melhor entendimento sobre a dinâmica de dois sistemas de um grau de liberdade: o primeiro é composto por uma estrutura de rigidez negativa, identificado no texto como NSS, o segundo é composto por uma estrutura de rigidez negativa amortecida, identificado no texto como DNSS. Neste trabalho os sistemas foram aplicados para absorver a vibração de um assento veicular buscando melhorar o conforto do condutor. Apresentou-se as equações usadas nas análises teóricas. Gerou-se resultados de análises estáticas, gráficos de força por deslocamento e energia potencial elástica por deslocamento, e de análises dinâmicas, curvas de resposta em frequência, plano de fase e histórico do deslocamento, para entender como os parâmetros influenciam nas respostas dos sistemas. Para as análises dinâmicas aplicou-se uma excitação de base do tipo senoidal e utilizou-se o método de Runge-Kutta de quarta e quinta ordem para a integração numérica das equações de movimento dos sistemas. Comparou-se as respostas, em regime permanente, dos sistemas com NSS e com DNSS com o sistema massa mola amortecedor, muito conhecido na literatura. Nas frequências naturais de cada sistema, chegou-se a reduzir o valor RMS do deslocamento da massa em com NSS e com DNSS quando comparados com o sistema massa mola amortecedor. Palavras-chave: estrutura de rigidez negativa, vibração em assento de veículo, nãolinearidade geométrica, rigidez não-linear.

8 ABSTRACT BOLZAN, H. T. Dynamics of a negative stiffness structure for vehicle seats suspension. Dissertation (Master s degree) - Faculdade de Engenharia, Universidade Estadual Paulista, Bauru, 1 p., 216. The research project aimed at the understanding of the dynamics of two singledegree-of-freedom systems: the first is made of a negative stiffness structure, NSS, the second is made of a damped negative stiffness, DNSS. In this work the systems were applied to absorb the vehicle seat vibration seeking to improve the driver's comfort. It was presented the equations used in the theoretical analysis. Results of static analysis, force by displacement and elastic potential energy by displacement, and of dynamics analysis, frequency response curves, phase portrait and displacement history, were generated to understand how the parameters influence the systems responses. For the dynamics analysis, a sinusoidal base excitation was applied and the fourth and fifth order Runge-Kutta method was used for the system motion equations numerical integration. The responses were compared, in stationary state, of the NSS and DNSS systems with the mass damping spring system, well known in the literature. In the natural frequencies of each system, it was possible to reduce the RMS value of the mass displacement by with NSS and with DNSS when compared to the mass damping spring system. Keywords: negative stiffness structure, vehicle seat vibration, geometric nonlinearity, nonlinear stiffness.

9 LISTA DE FIGURAS Figura Modelo da tira fina e elástica unidas nas ponta; (a) modelo matemático; (b) foto do modelo real; (c) alternativa simétrica para modelo (VIRGIN; SANTILLAN; PLAUT, 28)... 2 Figura Modelo da barra rígida com o isolador de colunas (PLAUT et al., 28) Figura Modelo massa mola amortecedor pneumáticos para assentos veiculares (HOSTENS; DEPREZ; RAMON, 24) Figura Modelo do isolador de vibrações adaptável; (a) modelo matemático; (b) foto do modelo real (DU PLOOY; HEYNS; BRENNAN, 25) Figura Modelo do isolador de vibrações com rigidez negativa; (a) sistema sem carga; (b) sistema com carga, ; (c) sistema com carga,, e força compressiva,. (PLATUS, 1991) Figura Esquema do sistema com rigidez quase zero (CARRELLA; BRENNAN; WATERS, 27) Figura Esquema do sistema com alta rigidez estática e baixa rigidez dinâmica (CARRELLA et al., 27) Figura Assentos veiculares com rigidez negativa; (a) e (b) modelo com deformação elástica; (c) modelo com mola pneumática. (LEE; GOVERDOVSKIY; TEMNIKOV, 27) Figura Modelo da suspensão de assento veicular com estrutura de rigidez negativa; (a) representação esquemática do sistema de isolador ilustrado em (b). (LE; AHN, 211) Figura Modelo de um assento veicular: banco, corpo humano, suspensão e piso da cabine Figura Modelo do sistema com rigidez positiva (PSS) Figura Modelo do sistema com rigidez negativa (NSS) Figura Modelo do sistema com rigidez negativa (NSS) na posição inicial Figura Diagrama de corpo livre do modelo do sistema com rigidez negativa (NSS) na posição inicial Figura Diagrama de corpo livre do modelo do sistema com rigidez negativa (NSS) com deslocamento em Figura Diagrama de corpo livre do modelo do sistema com rigidez negativa (NSS), forças de vínculo provocadas pela mola horizontal Figura Modelo do sistema com rigidez negativa amortecida (DNSS) Figura Diagrama de corpo livre do modelo do sistema com rigidez negativa amortecida (DNSS) com deslocamento em Figura Diagrama de corpo livre do modelo do sistema com rigidez negativa amortecida (DNSS), forças de vínculo provocadas pelo amortecedor horizontal Figura Força das molas horizontais parametrizada,, em função do deslocamento da massa relativo às molas horizontais parametrizado,, para os parâmetros da Tabela

10 Figura Força das molas horizontais parametrizada,, em função do deslocamento da massa relativo às molas horizontais parametrizado, ; constante Figura Força das molas horizontais parametrizada,, em função do deslocamento da massa relativo às molas horizontais parametrizado, ; constante Figura Força das molas horizontais e vertical parametrizada,, em função do deslocamento relativo da massa parametrizado,, para diferentes valores de... 6 Figura Estados de equilíbrio para um corpo rígido; (a) equilíbrio estável; (b) equilíbrio instável; (c) equilíbrio neutro. (TIMOSHENKO E GERE, 1961) Figura Energia potencial elástica das molas horizontais parametrizada,, em função do deslocamento da massa relativo às molas horizontais parametrizado, Figura Energia potencial elástica das molas horizontais parametrizada,, em função do deslocamento da massa relativo às molas horizontais parametrizado, ; constante. Em 1, ; 2, ; 3, ; 4, ; 5, Figura Energia potencial elástica das molas horizontais parametrizada,, em função do deslocamento da massa relativo às molas horizontais parametrizado, ; constante. Em 1, ; 2, ; 3, ; 4, Figura Energia potencial elástica das molas horizontais parametrizada,, em função do deslocamento relativo da massa parametrizado,, para diferentes valores de Figura Transmissibilidade,, em função da frequência de excitação,, para diferentes valores de Figura Transmissibilidade,, em função da frequência de excitação,, para diferentes valores de Figura Resposta forçada do modelo com NSS, plano de fase (sem transiente; em preto) e Mapa de Poincaré (em vermelho): ; (a) sistema com PSS; (b) ; (c) ; (d) ; (e) ; (f)... 7 Figura Resposta forçada do modelo com NSS, plano de fase (sem transiente; em preto) e Mapa de Poincaré (em vermelho): ; (a) sistema com PSS; (b) ; (c) ; (d) ; (e) ; (f) Figura Resposta forçada do modelo com NSS, plano de fase (sem transiente; em preto) e Mapa de Poincaré (em vermelho): ; (a) sistema com PSS; (b) ; (c) ; (d) ; (e) ; (f) Figura Resposta forçada do modelo com NSS, plano de fase (sem transiente; em preto) e Mapa de Poincaré (em vermelho): ; (a) sistema com PSS; (b) ; (c) ; (d) ; (e) ; (f) Figura Transmissibilidade,, em função da frequência de excitação,, para diferentes valores de Figura Transmissibilidade,, em função da frequência de excitação,, para diferentes valores de Figura Resposta forçada do modelo com NSS, plano de fase (sem transiente; em preto) e Mapa de Poincaré (em vermelho): ; (a) sistema com PSS; (b) ; (c) ; (d) ; (e) ; (f)... 78

11 Figura Resposta forçada do modelo com NSS, plano de fase (sem transiente; em preto) e Mapa de Poincaré (em vermelho): ; (a) sistema com PSS; (b) ; (c) ; (d) ; (e) ; (f) Figura Resposta forçada do modelo com NSS, plano de fase (sem transiente; em preto) e Mapa de Poincaré (em vermelho): ; (a) sistema com PSS; (b) ; (c) ; (d) ; (e) ; (f)... 8 Figura Resposta forçada do modelo com NSS, plano de fase (sem transiente; em preto) e Mapa de Poincaré (em vermelho): ; (a) sistema com PSS; (b) ; (c) ; (d) ; (e) ; (f) Figura Velocidade do bloco guia parametrizada,, em função do deslocamento da massa relativo às molas horizontais parametrizado, ; Figura Força dos amortecedores parametrizado,, em função do deslocamento da massa relativo às molas horizontais parametrizado, ; ; 1- ; 2- ; 3- ; 4- ; 5-84 Figura Transmissibilidade,, em função da frequência de excitação,, para diferentes valores de Figura Transmissibilidade,, em função da frequência de excitação,, para diferentes valores de Figura Resposta forçada do modelo com DNSS, plano de fase (sem transiente; em preto) e Mapa de Poincaré (em vermelho): ; ; (a) sistema com PSS; (b) sistema com NSS; (c) ; (d) ; (e) ; (f) Figura Resposta forçada do modelo com DNSS, plano de fase (sem transiente; em preto) e Mapa de Poincaré (em vermelho): ; ; (a) sistema com PSS; (b) sistema com NSS; (c) ; (d) ; (e) ; (f) Figura Resposta forçada do modelo com DNSS, plano de fase (sem transiente; em preto) e Mapa de Poincaré (em vermelho): ; (a) sistema com PSS; (b) sistema com NSS; (c) ; (d) ; (e) ; (f)... 9 Figura Resposta forçada do modelo com DNSS, plano de fase (sem transiente; em preto) e Mapa de Poincaré (em vermelho): ; (a) sistema com PSS; (b) sistema com NSS; (c) ; (d) ; (e) ; (f) Figura Valores do RMS do deslocamento em regime permanente na frequência de excitação da fonte,, de maior transmissibilidade,, para cada modelo estudado Figura Histórico do deslocamento em regime permanente na frequência de excitação da fonte,, de maior transmissibilidade,.. (a) sistema com PSS, ; (b) sistema com NSS, ; (c) sistema com DNSS, Figura Valores do RMS do deslocamento em regime permanente na frequência de excitação da fonte,, de maior transmissibilidade,, para cada modelo estudado Figura Histórico do deslocamento em regime permanente na frequência de excitação da fonte,, de maior transmissibilidade,.. (a) sistema com PSS, ; (b) sistema com NSS, ; (c) sistema com DNSS,... 96

12 LISTA DE TABELAS Tabela Frequências naturais de partes do corpo submetidas a vibrações no sentido vertical (KROEMER, K.H.E; KROEMER, H.N, KROEMER-ELBERT, K.E, p766, 1994) Tabela Conversão da velocidade da máquina em frequência de excitação Tabela Parâmetros constantes dos sistemas Tabela Parâmetros da Figura 5.1 e da Figura Tabela Parâmetros da Figura 5.2 e da Figura Tabela Parâmetros da Figura 5.3 e da Figura Tabela Parâmetros da Figura Tabela Parâmetros da Figura Tabela Parâmetros das Figuras 5.1 e Tabela Parâmetros das Figuras 5.16 e Tabela Parâmetros da Figura Tabela Parâmetros da Figura Tabela Parâmetros da Figura 5.24 e Tabela Valores dos parâmetros constantes das Figuras 5.3, 5.31, 5.32 e Tabela Valores de frequência da fonte de excitação das Figuras 5.3, 5.31, 5.32 e

13 LISTA DE SÍMBOLOS Rigidez linear da mola Rigidez equivalente do mecanismo de rigidez negativa Vetor força Vetor velocidade Vetor momento linear Massa da partícula adimensional Vetor força, partícula 1 sobre partícula 2 Vetor força, partícula 2 sobre partícula 1 Massa em suspensão Rigidez linear da mola vertical Coeficiente de amortecimento linear do amortecedor vertical Deslocamento vertical da massa em relação a sua origem Deslocamento vertical da base em relação a sua origem Tempo Velocidade da massa Aceleração da massa Velocidade da base Aceleração da base Transmissibilidade de deslocamento Amplitude do deslocamento da massa em regime permanente Amplitude do deslocamento da base Rigidez linear de cada mola horizontal Comprimento da barra

14 Distância da massa ao ponto de fixação da mola horizontal Comprimento inicial das molas horizontais Distância inicial da massa às molas horizontais Ângulo da barra com a horizontal Deslocamento do bloco guia com relação à sua posição inicial Deslocamento vertical da massa em relação às molas horizontais Deformação da mola vertical ao suportar o peso da massa Força peso Aceleração da gravidade Força estática que mola vertical exerce sobre massa Força que mola vertical exerce sobre a massa Força que o amortecedor vertical exerce sobre a massa Força equivalente que a mola horizontal exerce sobre a massa Componente horizontal da força da mola horizontal Componente na direção da barra da força da mola horizontal Força das molas vertical e horizontais Energia potencial elástica da mola horizontal Energia potencial elástica da mola vertical Constante de integração Energia potencial elástica das molas horizontais e vertical Constante de integração Coeficiente de amortecimento linear dos amortecedores horizontais Força que o amortecedor horizontal exerce sobre a massa Componente horizontal da força do amortecedor horizontal

15 Velocidade do bloco guia Componente na direção da barra da força do amortecedor horizontal Força dos amortecedores vertical e horizontais Rigidez do limitador mecânico Frequência da vibração harmônica em Frequência da vibração harmônica em Velocidade de deslocamento da máquina Distância entre as linhas de plantio Indica a primeira derivada no tempo Indica a segunda derivada no tempo Indica a parametrização da variável

16 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO MOTIVAÇÃO E JUSTIFICATIVA OBJETIVO REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ABSORÇÃO DE VIBRAÇÃO EM BAIXA FREQUÊNCIA RIGIDEZ NEGATIVA E ASSENTOS VEICULARES MODELAGEM DOS SISTEMAS ESTUDADOS MODELO DO SISTEMA COM RIGIDEZ POSITIVA TRANSMISSIBILIDADE DE DESLOCAMENTO MODELO DO SISTEMA COM RIGIDEZ NEGATIVA FORÇA DAS MOLAS ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA DAS MOLAS VERSUS DESLOCAMENTO RELATIVO MODELO DO SISTEMA COM RIGIDEZ NEGATIVA AMORTECIDA VELOCIDADE DO BLOCO GUIA VERSUS DESLOCAMENTO RELATIVO FORÇA DOS AMORTECEDORES VERSUS DESLOCAMENTO RELATIVO METODOLOGIA EQUAÇÕES EM ESPAÇO DE ESTADO ESPAÇO DE ESTADO DO MODELO DO SISTEMA COM PSS ESPAÇO DE ESTADO DO MODELO DO SISTEMA COM NSS ESPAÇO DE ESTADO DO MODELO DO SISTEMA COM DNSS RESULTADOS E DISCUSSÕES FONTE DE EXCITAÇÃO DOS SISTEMAS PARÂMETROS DOS SISTEMAS RESPOSTA DO MODELO DO SISTEMA COM NSS FORÇA DAS MOLAS HORIZONTAIS E VERTICAL ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA DAS MOLAS HORIZONTAIS E VERTICAL ANÁLISE DA INFLUÊNCIA DA RIGIDEZ DAS MOLAS HORIZONTAIS ANÁLISE DA INFLUÊNCIA DA DISTÂNCIA INICIAL DA MASSA ÀS MOLAS HORIZONTAIS ANÁLISE DE COMPORTAMENTO DO MODELO COM DNSS ANÁLISE DA VELOCIDADE DO BLOCO GUIA FORÇA DOS AMORTECEDORES HORIZONTAIS E VERTICAL ANÁLISE DA INFLUÊNCIA DO COEFICIENTE DE AMORTECIMENTO DOS AMORTECEDORES HORIZONTAIS CONCLUSÕES... 97

17 7 TRABALHOS COMPLEMENTARES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 99

18 15 1 INTRODUÇÃO O presente trabalho posiciona-se dentro da área da dinâmica, mais especificamente no estudo de vibrações, com relevância em aspectos ergonômicos e isoladores de vibrações. Meirovitch (pg. XVI, 21, tradução nossa) define Dinâmica é o ramo da física que estuda o movimento dos corpos sob ação de forças. Vibração, ou oscilação, pode ser vista como uma divisão da dinâmica em que um sistema é submetido às de restauração que oscila sobre uma posição de equilíbrio, onde o sistema é definido como uma montagem de partes agindo juntas como um todo. As forças de restauração surgem devido à elasticidade ou à gravidade. De acordo com Griffin (199), o estudo da resposta do corpo humano à vibração refere-se às relações estabelecidas entre os vários efeitos (afetar de forma prejudicial o conforto, as atividades e a saúde) e suas causas. Segundo Rao (28), há numerosas fontes de vibração em um ambiente industrial: processos de impacto como cravação de estacas e limpezas por jateamento; maquinaria rotativa e alternativa como motores, compressores e máquinas motrizes; veículos de transporte como caminhões, trens e aeronaves; o fluxo de fluidos e muitas outras. A presença de vibração muitas vezes resulta em desgaste excessivo de mancais, formação de trincas, afrouxamento de parafusos, falhas estruturais e mecânicas, manutenção frequente e dispendiosa de máquinas, mau funcionamento de equipamentos eletrônicos devido a fraturas de juntas soldadas e abrasão do isolamento ao redor de condutores elétricos causando curtos-circuitos. A exposição ocupacional de seres humanos à vibração resulta em dor, desconforto e eficiência reduzida. Às vezes, a vibração pode ser eliminada com base na análise teórica aplicada ao projeto e à construção do sistema. O controle da exposição humana à vibração é tão importante que existem várias normas internacionais que tratam dessa temática. Por exemplo, a norma ISO (Organização Internacional de Normalização,1997) traz os requisitos gerais a respeito da exposição humana à vibração de corpo inteiro, abrangendo métodos

19 16 de medição, severidade de vibração, conforto humano e possíveis efeitos sobre a saúde. Há situações em que a exposição do corpo humano à vibração é inevitável e surge a necessidade de encontrar meios de reduzir o impacto que ela causa, De Silva (26) descreve três métodos para controlar vibrações: 1. Isolamento: suprimir as excitações da vibração. Este método trabalha com a fonte de excitação. 2. Modificação de projeto: alterar ou reprojetar o sistema mecânico de tal forma que a resposta à excitação fique aceitável. Este método trabalha com o sistema mecânico de vibração. 3. Controle: absorver ou dissipar as vibrações usando dispositivos externos, através de sensores e controles implícitos ou explícitos. Este método trabalha primeiramente com a resposta do sistema. Rao (28, p.32) define isolamento da vibração Isolamento da vibração é um procedimento pelo qual os efeitos indesejáveis da vibração são reduzidos. Basicamente, envolve a inserção de um membro resiliente (ou isolador) entre a massa vibratória (ou equipamento, ou carga útil) e a fonte de vibração, de modo a obter a redução da resposta dinâmica do sistema sob condições de vibração especificadas. Trabalhou-se no sistema mecânico a fim de reduzir a transmissão das forças externas ao homem, especificamente em assentos de cabines em veículos utilitários como: caminhões, tratores, máquinas agrícolas e máquinas de construção. Conforme Iida (25), a ergonomia é o estudo da adaptação do trabalho ao homem, sendo trabalho não só as atividades executadas com máquinas e equipamentos, utilizados para transformar materiais, mas também toda a situação que ocorre o relacionamento entre o homem e uma atividade produtiva. É possível afirmar que o presente trabalho abrange área da ergonomia, mais especificamente a ergonomia física (trabalha na anatomia humana, antropometria, fisiologia, e biomecânica, relacionados com a atividade física) e a ergonomia de concepção

20 17 (ocorre quando a contribuição ergonômica se faz durante o projeto do produto, da máquina, ambiente ou sistema). 1.1 MOTIVAÇÃO E JUSTIFICATIVA O homem fazendo parte do sistema vibratório fica sujeito aos efeitos nocivos que a transmissão da vibração do sistema ao homem pode causar. Griffin (199) explica que a transmissão das vibrações para o corpo humano pode causar diversos prejuízos, tais como: dor, desconforto, perda de eficiência e concentração no trabalho, tontura, náusea, turvamento da visão, perturbação da fala, fadiga, perturbações neurológicas ou musculares, lesões ósteo-articulares, patologias na região lombar e até mesmo lesões da coluna vertebral. Ainda em Griffin (199), o risco de exposição à vibração depende da amplitude, frequência, direção, tempo de exposição e comportamento da vibração ao longo do tempo (contínua, intermitente ou transitória). Iida (25) afirma que o organismo humano, sendo uma estrutura complexa, composta de diversos ossos, articulações, músculos e órgãos, não reagem uniformemente ao efeito das vibrações. Cada parte dor organismo pode tanto amortecer como amplificar as vibrações. Rao (28) afirma que quando a frequência natural de vibração de uma máquina ou estrutura coincide com a frequência de excitação externa ocorre o fenômeno da ressonância, o qual resulta em grandes amplitudes de vibração. Kroemer (1994) mostra as faixas de frequências naturais de algumas partes do corpo, descritos na Tabela 1.1, quando submetidas à vibração vertical e seus efeitos. O avanço do estudo da ergonomia e dos comportamentos dinâmicos dentro da engenharia junto ao aumento da demanda de máquinas agrícolas e de construção formou um mercado mais exigente por conforto e segurança dos equipamentos de trabalho. Dentro deste ambiente surgiram os assentos dotados de suspensão para proteger o operador dos efeitos nocivos da vibração que a cabine transmite ao homem proporcionando menos desgaste físico e mental. A vibração transmitida dos assentos veiculares está classificada como vibração de corpo inteiro. De acordo com Mansfield (24), vibração de corpo inteiro

21 18 é a vibração que afeta todas as partes do corpo ao mesmo tempo, geralmente é transmitida através de superfícies de assentos, encostos e através do chão, estando de pé ou deitado como viajando em um metrô lotado ou sendo transportado em uma ambulância, pode afetar o conforto, desempenho e a saúde dependendo da magnitude, da característica e do tempo de exposição à vibração. Pessoas são mais sensíveis à vibração de corpo inteiro dentro da faixa de frequência entre e. Tabela Frequências naturais de partes do corpo submetidas a vibrações no sentido vertical (KROEMER, K.H.E; KROEMER, H.N, KROEMER-ELBERT, K.E, p766, 1994) Nota-se que a grande parte do corpo humano tem frequências naturais baixas, quando o operador de uma máquina é submetido a esses níveis de

22 19 frequência, seu corpo sofre sérios riscos à saúde metal e física reduzindo sua capacidade e eficiência no trabalho. Por esses motivos, os estudos das suspensões de assento nas cabines das máquinas utilitárias ganham importância dentro da engenharia, da ergonomia e da segurança no trabalho. 1.2 OBJETIVO Seguem os principais objetivos dessa dissertação de mestrado: 1) Compreender o comportamento do sistema com rigidez negativa e do sistema com rigidez negativa amortecida. 2) Comparar as respostas dos sistemas com rigidez positiva, com rigidez negativa e com rigidez negativa amortecida a fim de provar o sistema de maior eficiência na absorção da vibração.

23 2 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA O foco da revisão bibliográfica foi expor de forma sucinta os trabalhos relacionados à absorção de vibração em baixa frequência ( a, estrutura de rigidez negativa e sua aplicação em assentos veiculares. A suspensão de assento veicular pode ser passiva (não há qualquer tipo de controle sobre os parâmetros dos elementos da suspensão), semi-ativas (há um controle sobre os parâmetros dos elementos da suspensão) e ativas (atua diretamente na resposta da suspensão), o foco da revisão bibliográfica e do presente trabalho é em suspensões passivas. 2.1 ABSORÇÃO DE VIBRAÇÃO EM BAIXA FREQUÊNCIA Virgin, Santillan e Plaut (28) estudaram o modelo ilustrado na Figura 2.1, consiste em uma tira fina e elástica unida nas pontas desposta de maneira que forme um laço. A base em que as pontas da tira estão unidas recebe a vibração de entrada, o lado oposto à base, onde forma o laço, sustenta a carga estática e atua como um isolador da vibração composto por uma mola não linear. Quanto maior o tamanho do laço menor é a rigidez equivalente do sistema, com isso consegue-se uma frequência natural baixa e bons resultados como isolador da vibração para baixas frequências. (a) (b) (c) Figura Modelo da tira fina e elástica unidas nas ponta; (a) modelo matemático; (b) foto do modelo real; (c) alternativa simétrica para modelo (VIRGIN; SANTILLAN; PLAUT, 28)

24 21 Plaut et al. (28) estudaram um isolador de vibração de base que consiste em pares de colunas pré-curvadas fixas com um preenchimento viscoelástico, as colunas suportam uma barra rígida horizontal. O modelo, ilustrado na Figura 2.2, obteve respostas com baixa transmissibilidade em uma grande faixa de frequências da fonte de excitação para os parâmetros estudados, inclusive em baixas frequências. Figura Modelo da barra rígida com o isolador de colunas (PLAUT et al., 28) 2.2 RIGIDEZ NEGATIVA E ASSENTOS VEICULARES Hostens, Deprez e Ramon (24) estudaram um modelo de suspensão, massa mola amortecedor ilustrado na Figura 2.3, com mola e amortecedor pneumáticos, ambos passivos e otimizados para trabalhar em faixas de frequências comuns em máquina agrícolas ou similares, de a. O resultado da pesquisa foi que o modelo testado teve uma excelente atenuação da vibração na faixa de frequência mencionada.

25 22 Figura Modelo massa mola amortecedor pneumáticos para assentos veiculares (HOSTENS; DEPREZ; RAMON, 24) Du Plooy, Heyns e Brennan (25) estudaram um isolador de vibrações adaptável. O modelo, conforme pode ser observado na Figura 2.4, consiste em isolar a massa da base vibratória por duas molas pneumáticas interligadas, com uma das membranas, de cada mola, em contato com um líquido inerte que por sua vez influencia o comportamento dinâmico das molas pneumáticas, e por uma mola de rigidez linear, que suporta a carga estática, em série com o conjunto de molas pneumáticas. O resultado é a diminuição da rigidez dinâmica comparada a rigidez estática do sistema, além de possibilitar o controle da rigidez dinâmica alterando a pressão das molas pneumáticas. O modelo foi testado matematicamente e fisicamente conseguindo respostas com baixa transmissibilidade de deslocamento. (a) Figura Modelo do isolador de vibrações adaptável; (a) modelo matemático; (b) foto do modelo real (DU PLOOY; HEYNS; BRENNAN, 25) (b)

26 23 Platus (1991) apresentou alguns sistemas que usam mecanismos de rigidez negativa para anular a rigidez da mola da suspensão (rigidez positiva) com a intenção de melhorar o desempenho da um isolador de vibrações. Um dos sistemas estudados está ilustrado na Figura 2.5, que consiste em um mola vertical para sustentar a carga estática de rigidez e um mecanismo de rigidez negativa para anular ou diminuir a rigidez equivalente do sistema, de rigidez equivalente. Este conceito apresentou uma capacidade de isolar a vibração em frequências abaixo de e de apresentar a primeira frequência natural acima de. (a) (b) (c) Figura Modelo do isolador de vibrações com rigidez negativa; (a) sistema sem carga; (b) sistema com carga, ; (c) sistema com carga,, e força compressiva,. (PLATUS, 1991) Carrella, Brennan e Waters (27, p. 678, tradução nossa) constatam que A faixa de frequência em que o isolador de vibrações passivo e linear é efetivo, é frequentemente limitado pelo valor da rigidez necessária para suportar a carga estática. Isto pode ser melhorado usando uma montagem não linear incorporando elementos de rigidez negativa configurado de modo a fornecer ao sistema uma rigidez dinâmica menor que rigidez estática. Carrella, Brennan e Waters (27) estudaram um sistema com uma mola vertical agindo em paralelo com duas molas em ângulo, ilustrado na Figura 2.6, esta configuração fornece ao sistema uma rigidez dinâmica nula na posição de equilíbrio da massa, a rigidez dinâmica aumenta proporcionalmente ao deslocamento da massa em relação à posição de equilíbrio. O resultado foi uma redução da severidade da resposta com as molas dispostas em ângulo entre e na posição de equilíbrio.

27 24 Figura Esquema do sistema com rigidez quase zero (CARRELLA; BRENNAN; WATERS, 27) Carrella et al. (28) estudaram matematicamente e experimentalmente um modelo composto por duas molas lineares em série separadas por uma massa, em cada extremidade das molas (lados externos) há um imã permanente. A massa central é atraída, magneticamente, pelos imãs conforme ilustrado na Figura 2.7. Esta disposição fornece ao sistema alta rigidez estática e baixa rigidez dinâmica ao mesmo tempo. Como resultado, a frequência natural do sistema caiu pela metade ao acrescentar os imãs com um comportamento próximo da linearidade. Figura Esquema do sistema com alta rigidez estática e baixa rigidez dinâmica (CARRELLA et al., 27)

28 25 Lee, Goverdovskiy e Temnikov (27) apresentaram modelos compactos de suspensão veicular com mecanismos de rigidez negativa, ilustrados na Figura 2.8, em que 1 é a base da suspensão, 1 (+) é a mola e 2 é o braço de ligação do guia do mecanismo. Os modelos das Figuras 2.8(a) e 2.8(b) seguem o conceito da deformação elástica da viga de metal, e o modelo da Figura 2.8(c) segue o conceito de uma mola pneumática atrelada a um mecanismo de barras. Os modelos apresentaram bons resultados dinâmicos em baixa frequência, entre e. (a) (b) (c) Figura Assentos veiculares com rigidez negativa; (a) e (b) modelo com deformação elástica; (c) modelo com mola pneumática. (LEE; GOVERDOVSKIY; TEMNIKOV, 27) Le e Ahn (211) estudaram um modelo não linear, um isolador de vibrações passivo usando estrutura de rigidez negativa e aplicado a assentos veiculares. O modelo, Figura 2.9, é composto por uma mola vertical, que sustenta a carga estática, um amortecedor vertical, em paralelo com a mola, e duas molas horizontais ligadas a massa por barras articuladas, fazendo a função de estrutura de rigidez negativa. O modelo foi testado matematicamente e fisicamente. O resultado foi um ótimo desempenho do isolador nas frequências de a chegando a reduzir em o deslocamento em RMS da massa em regime permanente quando comparado com um sistema sem a estrutura de rigidez negativa. No presente trabalho estudou-se dois modelos similares ao pesquisado por Le e Ahn (211), porém com diferentes abordagens e diferentes parâmetros.

29 26 (a) Figura Modelo da suspensão de assento veicular com estrutura de rigidez negativa; (a) representação esquemática do sistema de isolador ilustrado em (b). (LE; AHN, 211) (b)

30 27 3 MODELAGEM DOS SISTEMAS ESTUDADOS O modelo do assento de um veículo é composto pela estrutura onde sentamos (banco), um sistema de isolamento de vibração (suspensão) e o corpo humano (pessoa sentada no banco), como mostra a Figura 3.1. O foco do trabalho foi estudar o comportamento da suspensão do assento, sendo assim o modelo apresentado nesse trabalho desconsiderou as interações do assento com o corpo humano como a elasticidade do estofamento do banco, a rigidez e o amortecimento das partes do corpo humano. Considerou-se a soma da massa do banco com a do corpo humano como sendo a massa em suspensão. Figura Modelo de um assento veicular: banco, corpo humano, suspensão e piso da cabine Utilizou-se a mecânica Newtoniana para as deduções das equações de movimento dos sistemas em estudo. Meirovitch (197) descreveu as três leis do movimento de Newton que compõem a mecânica Newtoniana: Primeira Lei: se não há força agindo em uma partícula, a partícula moverá em linha reta com velocidade constante.

31 28 Sendo a partícula um ponto de massa sem dimensão, o vetor força e o vetor velocidade da partícula, é possível descrever a primeira lei de Newton da seguinte forma: (3.1) Segunda Lei: a força que age sobre uma partícula é igual a taxa de variação do vetor momento linear. Sendo o momento linear ( ) igual ao produto da massa ( ) com a velocidade da partícula,, é possível descrever a segunda lei de Newton da seguinte forma: (3.2) Terceira Lei: quando duas partículas exercem forças uma sobre a outra, os vetores força possuem mesma direção, mesma intensidade e direção oposta. Esta lei também é conhecida como lei de ação e reação. Se é o vetor força que a partícula 1 exerce sobre a partícula 2 e o vetor força que a partícula 2 exerce sobre a partícula 1, é possível descrever a terceira lei de Newton da seguinte forma: (3.3) 3.1 MODELO DO SISTEMA COM RIGIDEZ POSITIVA O modelo do sistema com rigidez positiva consiste em uma massa suspensa (massa do banco + massa do corpo humano) ligada a um base, fonte de excitação do sistema (piso da cabine), por uma mola linear e um amortecedor viscoso. Ao longo da dissertação o sistema com rigidez positiva está identificado como PSS (em

32 29 inglês: positive stiffness structure). Esse sistema, por ser muito conhecido e estudado na área de vibrações, serviu de base comparativa e referência para os estudos dos outros modelos apresentados neste trabalho. A Figura 3.2 representa esquematicamente o sistema PSS: Figura Modelo do sistema com rigidez positiva (PSS) Em que: é a massa em suspensão ; é a rigidez linear da mola ; é o coeficiente de amortecimento linear do amortecedor viscoso ; é o deslocamento vertical da massa em relação a sua origem em função do tempo ; é o deslocamento vertical da base em relação a sua origem em função do tempo ; é tempo.

33 3 Por ser um sistema muito estudado na área de vibrações, não há necessidade de explicitar a dedução da equação que rege o movimento da massa dada por: (3.4) Em que: é a velocidade da massa em função do tempo ; é a aceleração da massa em função do tempo ; é a velocidade da base em função do tempo ; é a aceleração da base em função do tempo. Reescreve-se a equação 3.4 da seguinte forma: (3.5) 3.2 TRANSMISSIBILIDADE DE DESLOCAMENTO Rao (28) definiu a transmissibilidade de deslocamento como sendo a razão entre a amplitude da resposta, e a amplitude do movimento da base : (3.6) Em que: é a transmissibilidade de deslocamento (adimensional); é a amplitude do deslocamento da massa em regime permanente ; é a amplitude do movimento da base Da equação 3.6 conclui-se que: Para tem-se a amplificação do movimento;

34 31 Para tem-se o isolamento do movimento; Para tem-se a amplificação ou isolamento nulos do movimento. 3.3 MODELO DO SISTEMA COM RIGIDEZ NEGATIVA Um dos modelos estudado foi o sistema de isolamento com duas estruturas de rigidez negativa dispostas simetricamente na horizontal, um amortecedor e uma mola verticais e paralelos, como mostra a Figura 3.3. Ao longo da dissertação o sistema com rigidez negativa foi identificado como NSS (em inglês: negative stiffness structure). Figura Modelo do sistema com rigidez negativa (NSS) A Figura 3.3 representa o modelo físico do sistema utilizado na modelagem matemática, além das variáveis descritas anteriormente tem-se: a rigidez linear de cada mola horizontal ; o comprimento da barra que liga o bloco guia à massa em suspensão ; a distância da articulação barra-massa ao ponto de fixação da mola horizontal na estrutura do assento

35 32 o comprimento inicial das molas horizontais (sem carga) ; a distância inicial da massa às molas horizontais ; o ângulo da barra com a horizontal em função do tempo ; o deslocamento horizontal do bloco guia com relação à sua posição inicial em função do tempo ; o deslocamento vertical da massa em relação às molas horizontais em função do tempo. Cada estrutura de rigidez negativa possui uma mola linear disposta na horizontal com um dos lados ligado à estrutura do assento e o outro lado ligado a um bloco, de dimensão desprezível chamado bloco guia, que desliza horizontalmente sem atrito. O bloco guia, por sua vez, está ligado a um dos terminais da barra por uma articulação. O outro terminal da barra está ligado na parte suspensa do assento por outra articulação. A articulação é livre para girar com um grau de liberdade sem atrito. A massa se movimenta apenas no sentido vertical. Essa disposição faz com que as molas horizontais trabalhem em paralelo com o conjunto molaamortecedor vertical. Na Figura 3.3 tem-se a posição de equilíbrio da massa esquematizada em linhas contínuas, e em linhas tracejadas a posição da massa deslocada na vertical. Na posição de equilíbrio as molas horizontais estão relaxadas, todo o peso da massa é suportado pela mola vertical. Quando a base é excitada pela vibração de entrada, a vibração é transmitida da base para o banco através da mola vertical e do amortecedor. O nível de vibração da massa vai depender da rigidez dinâmica do sistema de isolamento. Como visto anteriormente utilizou-se a mecânica Newtoniana para determinar a equação que rege o movimento da massa. Inicialmente analisou-se estaticamente o sistema, na Figura 3.4 tem-se em linhas tracejadas o modelo do sistema sem carga (sem a massa) e em linhas contínuas o modelo do sistema com a massa na posição de início do movimento.

36 33 Figura Modelo do sistema com rigidez negativa (NSS) na posição inicial Em que: é a deformação estática da mola vertical ao suportar a força peso gerada pela massa. A força peso é dada por: (3.7) Em que: é a aceleração da gravidade. O diagrama de corpo livre da massa na posição de equilíbrio está representado na Figura 3.5.

37 34 Figura Diagrama de corpo livre do modelo do sistema com rigidez negativa (NSS) na posição inicial A força exercida pela mola vertical,, é dada por: (3.8) igual a zero: Aplicando a primeira lei de Newton tem-se que a somatória das forças em é (3.9) = (3.1) Utilizou-se a segunda lei de Newton para a análise dinâmica do modelo do sistema com NSS. Na Figura 3.6 tem-se o diagrama de corpo livre da massa com deslocamento em. Figura Diagrama de corpo livre do modelo do sistema com rigidez negativa (NSS) com deslocamento em

38 35 Tem-se a força que a mola vertical exerce sobre a massa: (3.11) Tem-se a força que o amortecedor exerce sobre a massa: (3.12) Tem-se a força que a mola horizontal exerce sobre a massa no sentido vertical. A Figura 3.7 mostra as forças de vínculo para a dedução de. Figura Diagrama de corpo livre do modelo do sistema com rigidez negativa (NSS), forças de vínculo provocadas pela mola horizontal Tem-se a força que a mola horizontal exerce sobre o bloco guia: (3.13) Tem-se a componente da na direção da barra: (3.14) A força que a mola horizontal exerce sobre a massa,, é dada por:

39 36 (3.15) Substituindo a equação 3.14 na 3.15 tem-se: (3.16) equações: Da análise geométrica da Figura 3.3 é possível descrever as seguintes (3.17) (3.18) (3.19) Substituindo as equações 3.13, 3.17, 3.18 e 3.19 na equação 3.16, tem-se: (3.2) Aplicando a segunda lei de Newton no diagrama de corpo livre da Figura 3.6 tem-se a equação que rege o movimento da massa: (3.21) Substituindo as deduções das forças na equação 3.21 e fazendo as operações matemáticas necessárias tem-se: (3.22) Percebe-se que a força peso,, é anulada pelo primeiro termo da equação 3.11 que define a força que a mola vertical exerce sobre a massa,. Reescreve-se a equação 3.22 da seguinte forma:

40 37 (3.23) FORÇA DAS MOLAS Para melhor entendimento e para uma análise mais abrangente do modelo com sistema NSS estudou-se a força que as molas horizontais e vertical exercem sobre a massa,, em função do deslocamento vertical da massa em relação às molas horizontais,, de forma parametrizada. O deslocamento vertical da massa em relação às molas horizontais é definido como: (3.24) condição: Por se tratar de um estudo estático e atemporal, considerou-se a seguinte (3.25) Inicialmente fez-se o estudo da força que a mola horizontal exerce sobre a massa de forma isolada. Substituindo a equação 3.24 e 3.25 na equação 3.2, temse: (3.26) com NSS: Descreve-se as variáveis parametrizadas que definem o modelo do sistema (3.27)

41 38 (3.28) (3.29) (3.3) (3.31) (3.32) Substituindo as variáveis parametrizadas na equação 3.26 e multiplicando por dois, por serem duas molas horizontais, obtém-se a equação da força parametrizada que as molas horizontais exercem sobre a massa em função do deslocamento vertical da massa em relação às molas horizontais parametrizado: (3.33) Completa-se a análise proposta estudando a força que as molas horizontais e a mola vertical exercem juntas sobre a massa em função do deslocamento vertical da massa em relação às molas horizontais ( ) de forma parametrizada: (3.34) Além das variáveis parametrizadas definidas anteriormente, tem-se: (3.35) (3.36) Por se tratar de um estudo estático e atemporal, considerou-se a seguinte condição além da descrita na equação 3.25: (3.37)

42 39 Substitui-se as equações 3.24, 3.25 e 3.37 na equação 3.11 para obter a equação que a força da mola vertical exerce sobre a massa em função de : (3.38) Substitui-se as equações 3.26 e 3.38 na equação 3.34 para obter a equação da força que as molas horizontais e vertical exercem sobre a massa em função de : (3.39) Substitui-se as variáveis parametrizadas na equação 3.39 para obter a equação da força parametrizada que as molas horizontais juntas com a mola vertical exercem sobre a massa em função do deslocamento vertical parametrizado da massa em relação às molas horizontais: (3.4) ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA DAS MOLAS VERSUS DESLOCAMENTO RELATIVO Com a intensão de fazer uma análise de estabilidade do modelo com sistema NSS, estudou-se a energia potencial elástica das molas horizontais,, e da mola vertical,, em função do deslocamento vertical da massa em relação às molas horizontais, de forma parametrizada, que se deu através da integral da força que as molas exercem sobre a massa em, para as condições descritas nas equações 3.25 e Integra-se a força que a mola horizontal exerce sobre a massa, equação Resultado da integração da equação 3.41: (3.41)

43 4 (3.42) Para o cálculo da constante de integração seguinte condição de contorno:, a equação 3.42 deve respeitar a quando. A condição de contorno se deu devido ao fato de as molas horizontais estarem relaxadas quando no início do movimento. Aplica-se a condição de contorno na equação 3.42: (3.43) Parametriza-se a energia potencial elástica das molas horizontais: (3.44) Substituindo as varáveis parametrizadas na equação 3.42 e 3.43, tem-se: (3.45) Completou-se a análise proposta estudando a energia potencial elástica das molas horizontais e da mola vertical juntas, designada de pela variável, em função do deslocamento vertical da massa em relação às molas horizontais ( ) de forma parametrizada. A energia potencial das molas horizontais e da mola vertical juntas em função do deslocamento vertical relativo às molas horizontais,, se dá através da integral da força que as molas horizontais e vertical exercem sobre a massa, equação 3.39, em :

44 41 (3.46) Resultado da integração da equação 3.46: (3.47) Para o cálculo da constante de integração a seguinte condição de contorno:, a equação 3.47 deve respeitar quando. Aplica-se a condição de contorno na equação 3.47: (3.48) Além das variáveis parametrizadas definidas anteriormente, tem-se: (3.49) tem-se: Substituindo as variáveis parametrizadas e a equação 3.48 na equação 3.47 (3.5)

45 MODELO DO SISTEMA COM RIGIDEZ NEGATIVA AMORTECIDA O segundo modelo estudado difere-se do primeiro por possuir um elemento de dissipação de energia em paralelo com cada mola horizontal, como mostra a Figura 3.8. Ao longo da dissertação o sistema com rigidez negativa amortecida está identificado como DNSS (em inglês: damped negative stiffness structure). Figura Modelo do sistema com rigidez negativa amortecida (DNSS) A Figura 3.8 representa o modelo físico do sistema utilizado na modelagem matemática, além das variáveis descritas anteriormente tem-se: o coeficiente de amortecimento dos amortecedores horizontais. Cada estrutura de rigidez negativa amortecida possui uma mola linear e um amortecedor viscoso linear dispostos na horizontal e paralelos. Da mesma forma que o modelo anterior, os conjuntos mola-amortecedor horizontais têm um lado ligado à estrutura do assento e o outro lado ligado ao bloco guia. O bloco guia está ligado a um dos terminais da barra por uma articulação. O outro terminal da barra

46 43 está ligado na parte suspensa do assento por outra articulação, a articulação é livre para girar com um grau de liberdade e sem atrito. A massa se movimenta apenas no sentido vertical. Esta configuração faz com que os conjuntos molaamortecedor horizontais fiquem conectados em paralelo com o conjunto molaamortecedor vertical. Na Figura 3.8 tem-se a posição de equilíbrio da massa esquematizada em linhas contínuas, e em linhas tracejadas a posição da massa deslocada na vertical. Na posição de equilíbrio as molas horizontais estão relaxadas, na condição estática todo o peso da massa é suportado pela mola vertical. Quando a base é excitada pela vibração de entrada, a vibração é transmitida da base para o banco através da mola vertical e do amortecedor vertical. O nível de vibração da massa vai depender da rigidez dinâmica do sistema de isolamento. Como visto anteriormente utilizou-se a mecânica Newtoniana para determinar a equação que rege o movimento da massa. Como a diferença entre o modelo do sistema com NSS e o modelo do sistema com DNSS é apenas a entrada dos amortecedores horizontais, as equações 3.1, 3.11, 3.12 e 3.2 que definem respectivamente,, e também fazem parte do desenvolvimento da equação que rege o movimento da massa no sistema com DNSS. Utilizou-se a segunda lei de Newton para a análise dinâmica do modelo do sistema com DNSS. Na Figura 3.9 tem-se o diagrama de corpo livre da massa com deslocamento em. Figura Diagrama de corpo livre do modelo do sistema com rigidez negativa amortecida (DNSS) com deslocamento em

47 44 A força que o amortecedor horizontal exerce sobre a massa,, foi definida nos passos seguintes. A Figura 3.1 mostra as forças de vínculo para a dedução de. Figura Diagrama de corpo livre do modelo do sistema com rigidez negativa amortecida (DNSS), forças de vínculo provocadas pelo amortecedor horizontal Tem-se a força que o amortecedor horizontal exerce sobre o bloco guia: (3.51) Em que: é a velocidade do bloco guia em função do tempo. Tem-se a componente da na direção da barra: (3.52) A força que o amortecedor horizontal exerce sobre a massa,, é dada por: (3.53) Substituindo a equação 3.52 na 3.53 tem-se:

48 45 (3.54) A velocidade do bloco guia é dada através da derivada do deslocamento do bloco guia no tempo: (3.55) Substituindo as equações 3.18, 3.19, 3.51 e 3.55 na equação 3.54, tem-se: (3.56) Aplicou-se a segunda lei de Newton no diagrama de corpo livre da Figura 3.9 para obter a equação que rege o movimento da massa: (3.57) Substituindo as deduções das forças na equação 3.57 e fazendo as operações matemáticas necessárias, tem-se: (3.58) Reescreve-se a equação 3.58 da seguinte forma: (3.59)

49 VELOCIDADE DO BLOCO GUIA VERSUS DESLOCAMENTO RELATIVO Uma forma de entender a influência do elemento de dissipação de energia junto à estrutura de rigidez negativa na resposta dinâmica do modelo com sistema DNSS é analisar a velocidade do bloco guia. Estudou-se a velocidade do bloco guia,, parametrizada com a velocidade da massa,, em função do deslocamento vertical da massa relativo à estrutura de rigidez negativa parametrizada. Define-se a velocidade do bloco guia parametrizada: (3.6) Para este estudo considerou-se a estrutura do banco estática: e. Aplica-se as variáveis parametrizadas e a equação 3.24 na equação que define a velocidade do bloco guia, 3.55: (3.61) FORÇA DOS AMORTECEDORES VERSUS DESLOCAMENTO RELATIVO Outra forma de entender a influência do elemento de dissipação de energia junto à estrutura de rigidez negativa na resposta dinâmica do modelo com sistema DNSS é analisar a força parametrizada que os amortecedores horizontais e vertical exercem sobre a massa em função do deslocamento vertical relativo parametrizado. Da equação 3.57, tem-se a força que os amortecedores horizontais e vertical exercem sobre a massa:

50 47 (3.62) Para este estudo considerou-se a estrutura do banco estática: e. Substitui-se as equações 3.12, 3.24 e 3.56 na equação 3.62: (3.63) Define-se as variáveis parametrizadas: (3.64) (3.65) Substitui-se as variáveis parametrizadas na equação 3.63: (3.66)

51 48 4 METODOLOGIA Com as equações em estudo deduzidas, o próximo passo foi resolvê-las obtendo as respostas estáticas e dinâmicas dos sistemas. Neste trabalho as respostas dinâmicas foram alcançadas através da solução numérica das equações diferenciais que regem o movimento dos sistemas, possibilitando a geração de curvas que auxiliaram na análise do comportamento dos sistemas. Seguem as curvas utilizadas para as análises do comportamento do sistema. São gráficos muito conhecidos e utilizados nos trabalhos que envolvem sistemas dinâmicos: Histórico do deslocamento: É a curva dada pelo deslocamento em função do tempo. No histórico do deslocamento tem-se o regime transiente (início do movimento, com deslocamentos não periódicos) e o regime permanente (momento em que o deslocamento alcança um comportamento periódico e previsível). Nesse trabalho estuda-se apenas o regime permanente, uma vez que o foco é o controle da vibração. Plano de fase: É a curva dada pela velocidade em função do deslocamento. Nesse trabalho o plano de fase é construído apenas para o regime permanente, como comentado anteriormente. Seção de Poincaré: Utilizado na análise e na definição do comportamento do sistema. Basicamente a seção de Poincaré é construída plotando pontos, no plano de fase, de uma amostragem de intervalos de tempos múltiplos inteiros do período de excitação (pontos estroboscópicos) nos vetores de deslocamento e velocidade, vindos da integração numérica da equação que rege o movimento do sistema. Sendo que a cada período (múltiplos inteiros do período de excitação) plota-se o ponto dado pelo deslocamento e pela velocidade no plano de fase, se o ponto sempre coincidir na mesma coordenada temos um sistema com regime periódico de período um. Se tiver um sistema com comportamento caótico, teremos vários pontos

52 49 plotados no plano de fase, comprovando a existência de várias frequências diferentes no movimento do sistema. Resposta em frequência: É a curva dada pela amplitude de deslocamento da massa em regime estacionário em função da frequência de excitação. Neste trabalho a curva de resposta em frequência foi gerada pela transmissibilidade de deslocamento,, em função da frequência de excitação. RMS do deslocamento: A raiz do valor quadrático médio, RMS (em inglês: root mean square), é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos valores. Neste trabalho usa-se uma quantidade de números discretos, pontos gerados no tempo pela integração numérica da equação de movimento, para o cálculo do RMS do deslocamento. A integração numérica das equações diferenciais que regem o movimento dos sistemas foi feita através do software Matlab, usando o integrador ode45 que emprega o método de Runge-Kutta de quarta e quinta ordem com passo variável (Dormand-Prince). É um método muito usado nos trabalhos que envolvem comportamentos dinâmicos, traz bons resultados na maioria dos casos incluindo este trabalho. O tempo de integração utilizado foi de 1 segundos, em todos os casos foi suficiente para que o sistema entrasse em regime permanente. O passo de integração para a construção do gráfico (ode45 usa passo de integração variável) foi de,1 segundos. 4.1 EQUAÇÕES EM ESPAÇO DE ESTADO Para realizar a integração numérica é necessário reduzir a ordem das equações diferenciais, uma vez que as equações diferenciais que regem o movimento da massa são de segunda ordem. Se faz necessário transformar essas equações em equações diferenciais de primeira ordem para possibilitar a integração numérica.

53 5 Para transformar as equações de segunda ordem em equações de primeira ordem escreveu-se as equações de movimento na forma de espaço de estado ESPAÇO DE ESTADO DO MODELO DO SISTEMA COM PSS Para transformar a equação diferencial de segunda ordem que rege o movimento da massa do modelo do sistema com PSS (equação 3.5) em equação diferencial de primeira ordem, faz-se as seguintes correlações: (4.1) (4.2) Substitui-se as equações 3.5 e 4.1 na 4.2: (4.3) A equação 4.3 permite a integração numérica para obter a resposta do sistema (deslocamento, velocidade) ESPAÇO DE ESTADO DO MODELO DO SISTEMA COM NSS Para transformar a equação diferencial de segunda ordem que rege o movimento da massa do modelo do sistema com NSS (equação 3.23) em equação diferencial de primeira ordem, utiliza-se as correlações descritas anteriormente, equações 4.1 e 4.2. Substitui-se as equações 3.23 e 4.1 na 4.2:

54 51 (4.4) A equação 4.4 permite a integração numérica para obter a resposta do sistema (deslocamento, velocidade). Para as barras não inverterem o sentido do movimento e não chegarem à posição vertical, o que seria prejudicial à resposta do modelo uma vez que anulariam as forças verticais, limita-se o movimento da massa de acordo com a seguinte inequação: (4.5) A escolha do valor da equação 4.5 foi feita de forma a conseguir os melhores resultados na simulação numérica. Para o modelo matemático responder à inequação 4.5, simula-se que a massa atinge uma mola de rigidez, muito mais elevada que a rigidez da mola vertical quando o deslocamento da massa atinge valores fora da inequação 4.5. Para valores de dentro da inequação 4.5 integra-se numericamente a equação 4.4, para os demais valores de integra-se a seguinte equação: (4.6) Para as simulações, respeita a seguinte equação. (4.7) O valor massa, muito maior que a rigidez da mola vertical. simula a rigidez do limitador mecânico do movimento da

55 ESPAÇO DE ESTADO DO MODELO DO SISTEMA COM DNSS Para transformar a equação diferencial de segunda ordem que rege o movimento da massa do modelo com DNSS (equação 3.59) em equação diferencial de primeira ordem, utilizou-se as correlações descritas anteriormente nas equações 4.1 e 4.2. Substitui-se as equações 3.59 e 4.1 na 4.2: (4.8) A equação 4.5 permite a integração numérica para obter a resposta do sistema (deslocamento, velocidade). Da mesma forma que o modelo do sistema com NSS, o modelo do sistema com DNSS também respeita a inequação 4.5, portanto, para valores de dentro da inequação 4.5 integra-se numericamente a equação 4.8, para os demais valores de integra-se a seguinte equação: (4.9)

56 53 5 RESULTADOS E DISCUSSÕES O modelo com rigidez positiva (PSS) é um modelo muito conhecido e estudado na área das vibrações, as respostas deste modelo foram usadas como base comparativa para a análise dos resultados dos modelos dos sistemas com NSS e com DNSS. Os parâmetros dos sistemas apresentados a seguir foram todos escolhidos de tal forma que possibilite construção de um modelo real. Para todos os casos simulados apresentados neste trabalho, as condições iniciais de movimento foram consideradas nulas ( e ) com as molas horizontais relaxadas, no comprimento. 5.1 FONTE DE EXCITAÇÃO DOS SISTEMAS A fonte de excitação do sistema obedece a seguinte equação: (5.1) A equação 5.1 refere-se a uma fonte de vibração harmônica senoidal em que: é o deslocamento vertical da base dos sistemas em função do tempo (ilustrado nos modelos) ; é a amplitude da fonte de excitação ; é a frequência da vibração harmônica ; é o tempo. A excitação da base foi baseada em uma entrada do tipo linha contra a linha de plantio, comumente encontrada em aplicações agrícolas, constituída basicamente por lombadas com altura em torno de, e espaçadas em média de, dados retirados de Pontelli (27). Como forma de estudar as respostas dos sistemas em outra amplitude, além de simular um linha de plantio com de altura de lombada, simula-se também para uma linha de plantio de de altura. A equação 5.1 pode ser reescrita substituindo a frequência da vibração,, por :

57 54 (5.2) Nas equações de movimento dos sistemas (3.5, 3.23 e 3.59) encontram-se a derivada de no tempo (velocidade da excitação de base) que é dada pela equação: (5.3) : Conforme visto anteriormente, reescreve-se a equação 5.3 substituindo por (5.4) Para este trabalho supõe-se que a cabine onde o assento está instalado fica em cima do eixo da máquina e descarta-se qualquer tipo de absorção da vibração que possa existir antes do assento (suspensão e efeito mola dos pneus da máquina). Considera-se também que a máquina tenha uma velocidade de trabalho dentro de faixa de e. A Tabela 5.1 mostra a relação da velocidade da máquina com as faixas de frequência de excitação ( e ) que servem de referência para os estudos comparativos. As equações 5.5 e 5.6 transforma a velocidade da máquina em frequência de excitação em e consecutivamente. (5.5) (5.6) Em que: é a velocidade de deslocamento da máquina ; é a distância entre as linhas de plantio ;

58 55 Tabela Conversão da velocidade da máquina em frequência de excitação Velocidade da máquina [ ] Frequência de excitação [ ] Frequência de excitação [ ] 2 6,98 1, ,91 5, PARÂMETROS DOS SISTEMAS A Tabela 5.2 mostra os valores dos parâmetros que foram mantidos constantes em todas integrações numérica. A massa,, representa a soma da massa de uma pessoa de mais a massa de um banco de. Tabela Parâmetros constantes dos sistemas Parâmetro [unidade] Valor do parâmetro 1 1 3,5 O valor adotado para a dimensão foi escolhido de forma que possibilite a construção real de um assento com os sistemas com NSS e com DNSS e que seja possível montar nas cabines das máquinas agrícolas ou em caminhões. Os valores de e foram escolhidos proporcionalmente ao valor da massa,, de forma que apresente bons resultados dinâmicos. 5.3 RESPOSTA DO MODELO DO SISTEMA COM NSS FORÇA DAS MOLAS HORIZONTAIS E VERTICAL Como foi mencionado, o modelo do sistema com NSS se diferencia do sistema com PSS por possuir dois elementos de rigidez negativa. Como análise preliminar estudou-se de que forma as estruturas de rigidez negativa poderiam influenciar no comportamento dinâmico da massa plotando a

59 56 força exercida pelas molas horizontais na massa,, em função do deslocamento relativo às molas horizontais,. Para o estudo ter uma abrangência maior, foram feitos com variáveis parametrizadas, definidas no capítulo 3. Na Figura 5.1 tem-se a força parametrizada que as molas horizontais exercem sobre a massa,, em função do deslocamento relativo da massa às molas horizontais parametrizado,, equação Os valores dos parâmetros usados para gerar o gráfico da Figura 5.1 estão na Tabela 5.3. O deslocamento relativo varia de a, que é toda a extensão que a massa pode se deslocar fisicamente. Tabela Parâmetros da Figura 5.1 e da Figura 5.6 Parâmetro Valor do parâmetro 1,,8 1,6 Figura Força das molas horizontais parametrizada,, em função do deslocamento da massa relativo às molas horizontais parametrizado,, para os parâmetros da Tabela 5.3 É possível distinguir três comportamentos distintos da força resultante das molas horizontais parametrizada, denominadas de Região 1, Região 2 e Região 3. Sendo o ponto de equilíbrio, uma mola linear ligada diretamente na massa aplicaria uma força linear descendente partindo de, para a Figura

60 tem-se uma rigidez positiva quando a força diminui com o deslocamento positivo. Na Região 1 tem-se uma rigidez positiva, uma vez que a força diminui com o deslocamento positivo da massa. Na Região 2 tem-se uma rigidez negativa, uma vez que a força aumenta com o deslocamento positivo da massa. Na Região 3 tem a rápida anulação da força resultante, na região positiva com deslocamento positivo e na região negativa com deslocamento negativa, é uma região de rigidez negativa por ter um aumento da força com o deslocamento positivo. O comportamento da Região 3 se deve ao fato de as barras estarem quase verticais. A força parametrizada,, é nula nos valores de e justamente porque as barras estão na vertical, e. A força parametrizada,, é nula em mais três pontos: e : posição da massa em que iguala à, ou seja, posição de equilíbrio estático do sistema, em que as molas horizontais estão relaxadas. : posição da massa em que as barras estão na horizontal,. O sistema com NSS inverte o sinal da rigidez equivalente das molas horizontais mesmo sendo molas lineares. Próximo passo é entender como os parâmetros e influenciam a construção do gráfico visto na Figura 5.1. A Figura 5.2 mostra a força parametrizada que as molas horizontais exercem sobre a massa em função do deslocamento da massa relativo às molas horizontais parametrizado, equação Para entender a influência de mantem-se constante o e varia o valor de para cada curva gerada. O parâmetro, por depender de e, varia como resultado da equação 3.3. Os valores dos parâmetros usados para gerar o gráfico da Figura 5.2 estão na Tabela 5.4. O deslocamento relativo varia de a, que é toda a extensão que a massa pode se deslocar fisicamente. Interpreta-se a Figura 5.2: Para não se vê a região de rigidez negativa, Região 2 da Figura 5.1, na maior parte do deslocamento da massa as molas horizontais trabalham com rigidez equivalente positiva. Apesar de a força não ser

61 58 linear, é muito próximo do comportamento de uma mola linear, pode-se dizer que esta configuração não se aplica como estrutura de rigidez negativa. Para a se vê as 3 regiões ilustradas na Figura 5.1, percebe-se que quanto maior o valor de mais expressiva é a região de rigidez negativa. Para, o equilíbrio das forças é o ponto de máximo deslocamento da massa, não se vê a Região 3 ilustrada na Figura 5.1. Tem-se nessa configuração a maior influência da estrutura de rigidez negativa. Tabela Parâmetros da Figura 5.2 e da Figura 5.7 Curva 1, 2, 2,5 1,87 3,8 1,6 4,9 1,44 5 1, 1, 1, F kh parametrizado z parametrizado Figura Força das molas horizontais parametrizada,, em função do deslocamento da massa relativo às molas horizontais parametrizado, ; constante

62 59 A Figura 5.3 é a mesma curva da Figura 5.2, porém varia-se o valor de, para cada curva gerada e mantem-se constante para entender como influencia a força parametrizada que as molas horizontais exercem sobre a massa. Os valores dos parâmetros usados para gerar o gráfico da Figura 5.3 estão na Tabela 5.5. Da mesma forma que a Figura 5.2, o deslocamento relativo varia de a, toda a extensão que a massa pode se deslocar fisicamente. Tabela Parâmetros da Figura 5.3 e da Figura 5.8 Curva 1,8 1, 2 1, 1,6 3 1,2 1,9 4 1,4 2,15, F kh parametrizado z parametrizado Figura Força das molas horizontais parametrizada,, em função do deslocamento da massa relativo às molas horizontais parametrizado, ; constante Interpreta-se a Figura 5.3: O valor de limita o curso de deslocamento da massa, a medida que aumento o valor de as curvas ficam mais extensas. Na curva 1 tem-se, como observado na Figura 5.2, não se tem a Região 3 ilustrada na Figura 5.1.

63 6 Conforme o valor de aumenta e fica mais distante de, a região de rigidez negativa fica menos expressiva, fazendo com que a estrutura de rigidez negative influencie menos no comportamento dinâmico da massa. Como última análise estuda-se a influência do na construção dos gráficos vistos anteriormente. Estuda-se a força parametrizada que as molas horizontais juntas com a mola vertical exercem sobre a massa,, em função do deslocamento parametrizado da massa relativo às molas horizontais, equação 3.4. Para entender a influência de mantem-se constantes, e. Os valores dos parâmetros usados para gerar o gráfico da Figura 5.4 estão na Tabela 5.6. O deslocamento relativo varia de a, que é toda a extensão que a massa pode se deslocar fisicamente. Tabela Parâmetros da Figura 5.4 Curva 1,5 2 1, 3 2, 4 4, 5 6, 1,,8 1, F m parametrizado z parametrizado Figura Força das molas horizontais e vertical parametrizada,, em função do deslocamento relativo da massa parametrizado,, para diferentes valores de

64 61 Interpreta-se a Figura 5.4: Quanto menor o valor de mais linear fica a força em função de, menos a estrutura de rigidez negativa influencia no comportamento dinâmico da massa. É possível identificar as 3 regiões ilustradas na Figura 5.1, porém no deslocamento inferior à posição de equilíbrio vê-se a inversão do sentido da força apenas em, para a força resultante tem o mesmo sentido da força da mola vertical em todo o deslocamento da massa ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA DAS MOLAS HORIZONTAIS E VERTICAL Outra forma de estudar o comportamento do sistema com NSS é analisando a energia potencial elástica das molas horizontais e vertical em função do deslocamento vertical da massa relativo às molas horizontais. Timoshenko e Gere (1961) demonstra os três casos de equilíbrio representados por uma esfera apoiada sobre uma superfície, Figura 5.5. Conclui-se que em (a) superfície côncava tem-se o equilíbrio estável, em (b) superfície convexa tem-se o equilíbrio instável e em (c) superfície plana tem-se o equilíbrio indiferente ou neutro. Fazendo uma analogia ao gráfico da energia potencial elástica em função do deslocamento tem-se no primeiro caso (Figura 5.5a) que ao movimentar a esfera, seu centro de gravidade sobe, sendo necessária uma certa quantidade de trabalho para produzir um deslocamento, assim a energia potencial aumenta com qualquer deslocamento em relação ao ponto de equilíbrio; no segundo caso (Figura 5.5b) ao movimentar a esfera, seu centro de gravidade cai, assim a energia potencial diminui com qualquer deslocamento em relação ao ponto de equilíbrio; no terceiro caso (Figura 5.5c) não há alteração de energia potencial com o deslocamento da esfera. (a) (b) (c) Figura Estados de equilíbrio para um corpo rígido; (a) equilíbrio estável; (b) equilíbrio instável; (c) equilíbrio neutro. (TIMOSHENKO E GERE, 1961)