Prof. MSc. David Roza José -

Transcrição

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2 2/16 Sistema Amortecido sob Movimento Harmônico da Base Algumas vezes a base ou suporte de um sistema massa-mola-amortecedor apresenta movimento harmônico, conforme mostrado. Seja então y(t) o deslocamento da base e x(t) o deslocamento da massa da sua posição de equilíbrio estátco no instante de tempo t. O deslocamento líquido da mola é dado por (x-y) e a velocidade relatva entre as extremidades do amortecedor é dada por (ẋ-ẏ).

3 3/16 Assim, a equação de movimento torna-se: Sistema Amortecido sob Movimento Harmônico da Base Caso y(t) = Ysin{ωt}, a equação de movimento torna-se: Tal que: Assim, a excitação da base é equivalente a se aplicar uma força harmônica de magnitude A à massa.

4 4/16 Sistema Amortecido sob Movimento Harmônico da Base Trabalhando-se a equação aberta de maneira diferente do livro pode-se propor a seguinte solução partcular: Para esta equação de movimento: Encontra-se as seguintes constantes:

5 5/16 Sistema Amortecido sob Movimento Harmônico da Base Reduzindo-se para somente uma função trigonométrica, temos que: A solução de φ proposta pelo livro do Rao está incorreta. A solução aqui apresentada é condizente com a do livro do Inman. Perdi uma tarde até descobrir isso :(

6 6/16 Sistema Amortecido sob Movimento Harmônico da Base A razão de amplitude da resposta x p (t) em relação à amplitude do movimento y(t) da base, X/Y, é chamado de transmissibilidade de deslocamento (T d ). Através de algebrismos chega-se a: A respeito da transmissibilidade, apresenta-se dois gráfcos:

7 7/16 Sistema Amortecido sob Movimento Harmônico da Base

8 8/16 Sistema Amortecido sob Movimento Harmônico da Base (1) O valor de T d é unitário em r = 0 e perto da unidade para pequenos valores de r. (2) Para um sistema não amortecido (ξ = 0), T d na ressonância (r = 1). (3) O valor de T d é menor que a unidade para r > sqrt(2) para qualquer valor de ξ. (4) O valor de T d é unitário para qualquer valor de ξ quando r = sqrt(2). (5) Para r < sqrt(2), menores valores de ξ aumentam T d ; para r > sqrt(2), menores valores de ξ reduzem T d. (6) A transmissibilidade de deslocamento atnge um máximo para r < 1 segundo a seguinte relação:

9 9/16 Força Transmitida Existe uma força na base ou suporte devido às reações da mola e amortecedor. Esta força pode ser determinada como: Derivando-se a solução partcular duas vezes e inserindo na posição de ẍ:

10 10/16 Força Transmitida A magnitude da força transmitda é então dada por: Que pode ser reescrita como:

11 11/16 Força Transmitida Assim pode-se defnir a transmissibilidade de força, através da seguinte equação: Ela representa uma medida adimensional de como o deslocamento de amplitude Y da base resulta na magnitude da força aplicada à massa.

12 12/16 Força Transmitida

13 13/16 Exemplo 10.1 Um veículo trafegando sobre uma estrada pode ser modelado como um sistema massa-molaamortecedor que pode vibrar na direção vertcal. O veículo possui uma massa de 1200 kg. O sistema de suspensão possui rigidez de 400kN/m e uma razão de amortecimento ξ=0.5. Se o veículo possui uma velocidade de 20km/h, calcule a amplitude do movimento do veículo quando a superfcie da estrada varia senoidalmente com uma amplitude de Y=0.05 m e comprimento de onda de 6 m.

14 14/16 Exemplo 10.2 Uma máquina, de peso 3000 N, está sobre uma fundação resiliente. A defexão estátca da fundação devido ao peso da máquina é de 7.5 cm. A máquina vibra numa amplitude de 1 cm quando a base da fundação está sujeita a uma oscilação harmônica na frequência natural do sistema com amplitude de 0.25 cm. Encontre: a) A constante de amortecimento da fundação; b) A magnitude da força na base.

15 15/16 Exemplo 10.3 Considere um problema de excitação da base com os seguintes dados: m = 100kg, c=30ns/m, k = 2000N/m e Y=0.03, com ω=6 rad/s. Calcule a transmissibilidade de deslocamento e força.

16 16/16 Exemplo 10.4 Um automóvel é modelado como um sistema com 1 GL vibrando na direção vertcal. Este é dirigido numa rodovia cuja elevação varia senoidalmente. A distância entre o vale e crista é de 0.2 m, e a distância horizontal entre picos é de 35 m. Se a frequência natural do automóvel é de 2 Hz e o fator de amortecimento é de 0.15; determine a amplitude de vibração do automóvel numa velocidade de 60km/h. Encontre a velocidade onde a amplitude é máxima.