Séries de Problemas. Mecânica e Ondas LEIC-TP. Pedro Abreu, adaptado de original de Ana Maria Mourão (Coordenadora) e Nuno Pinhão

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1 Mecânica e Ondas LEIC-TP Séries de Problemas Enunciados Pedro Abreu, adaptado de original de Ana Maria Mourão (Coordenadora) e Nuno Pinhão Ano Lectivo: 2017/2018, 1 o semestre Alguns exercícios são seleccionados a partir da Bibliografia ou de exames de anos anteriores. A escrita das soluções contou com a participação de Katharina Lorenz. Nesta compilação colaboraram ainda Eduardo V. de Castro e Jordi Casanellas.

2 Este trabalho está protegido segundo a licença Creative Commons Atribuição-NãoComercial-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada. Para ver uma cópia desta licença, visite Versão 1.0, 10 de Dezembro de 2017 Estas folhas foram preparadas com a ajuda de KOMA-Script e L A TEX 2ε

3 Conteúdo 7. Movimentos Oscilatórios 7 A. Constantes A.1 3

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5 Introdução A resolução de problemas, seja em Física ou em qualquer outro domínio, é facilitada se forem seguidas algumas regras que ajudam na sua analise e a encontrar a sua solução. Esta deve passar por três fases: uma de análise do problema, a resolução propriamente dita e uma de verificação. Nota: Das regras a seguir indicadas, nem todas se aplicam a todo o tipo de problemas devendo ser vistas como conselhos de ordem geral. Análise: Comece por certificar-se que entende o problema. Se tiver dúvidas experimente sublinhar palavras-chave que o definem, identificam o seu tipo e as grandezas envolvidas. Faça um esquema do sistema físico descrito. Identifique as grandezas por um símbolo. Veja se o problema é do mesmo tipo de um problema que já conheça; se for a estratégia de solução deve ser semelhante. Pense na situação descrita: imagine o que se passa e preveja, qual será o resultado, (pelo menos qualitativo). Se tiver dúvidas na sua análise, discuta com um colega; Resolução: Liste as grandezas e valores de entrada, as grandezas a calcular e os valores de alguma constante que necessite. Estabeleça as relações entre as grandezas por forma a definir as relações físicas entre as grandezas a calcular e as fornecidas. Se a resposta pretendida for um valor numérico, só então passe à substituição de valores; Verificação: Pense no resultado que obteve. Era o que estava à espera? É consistente com outros problemas semelhantes? O que sucederia se variasse os valor de entrada? Analisar situações limite (massa infinita, tempo infinito, etc.) 5

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7 7. Movimentos Oscilatórios 7.1. Uma massa m = 90 g ligada a uma mola é largada com velocidade inicial zero de um ponto a 2 cm da posição de equilíbrio. A constante da mola é k = 81 N/m. Considere o movimento no plano horizontal sem atrito. a) Escreva a equação de Newton para o movimento da massa presa à mola. b) Obtenha as expressões e calcule os valores para as seguintes grandezas que caracterizam o movimento da massa: período de oscilação, amplitude e fase inicial. c) Represente os gráficos da solução x(t), da velocidade v(t) = ẋ e da aceleração. d) Calcule a velocidade e a aceleração quando o deslocamento é de 1 cm. e) Represente o gráfico da energia cinética, da energia potencial e da energia mecânica da massa. f) Considere agora uma nova experiência com a mesma massa e a mesma mola mas em que a posição inicial é x o = 5 mm e a velocidade inicial v o = 15 cm/s. Calcule a frequência, o período, a amplitude e a fase inicial Sabe-se que a frequência angular, ω o, de uma massa, m = 1 kg, presa a um dinamómetro é de 4 rad/s. Num dado instante (instante inicial) a posição da massa relativamente à posição de equilíbrio é de 15 cm e a velocidade nesse instante é de 0.6 m/s. a) Qual a equação de Newton para o movimento da massa presa à mola? E a lei do movimento da massa presa à mola (solução da equação do movimento, x(t))? b) Qual a velocidade máxima atingida pela mola? c) Em que instante é atingida a velocidade máxima? 7.3. Uma massa de 50 g está ligada a duas molas com constantes k 1 = 3 N/m e k 2 = 5 N/m como se pode ver na figura ao lado. a) Escreva a equação de Newton para a massa presa às molas e determine a frequência angular (ω o ) e o período de oscilação. k1 k2 7

8 7. Movimentos Oscilatórios b) Imagine que a mola 1 tem de comprimento 10 cm. Qual o alongamento, l, da mola se suspender a massa m = 0.05 kg da mola. Responda à pergunta anterior para a mola 2. Compare os resultados Um bloco de 10 kg de massa está num plano horizontal sem atrito ligado a uma mola fixa na outra extremidade, tendo um movimento oscilatório com uma frequência f = 1.5 Hz. a) Qual a constante da mola? b) Se colocarmos outro bloco de m 2 = 2 kg sobre o bloco referido anteriormente, e sabendo que o coeficiente de atrito estático entre as superfícies dos dois blocos tem o valor máximo µ = 0, 6, qual a amplitude máxima de oscilação (A) para que o segundo bloco não se desloque? 7.5. As lombas existentes numa estrada, e que antecedem uma passagem de peões, estão espaçadas 10 metros. Considere que as molas da suspensão de um carro têm coeficiente de elasticidade k = 10 5 N/m e a massa do mesmo é M = 1000 kg. Menospreze os efeitos do atrito (amortecedores que já não funcionam). Determine a velocidade do carro para a qual a suspensão entra em ressonância Imagine que se fez um túnel em profundidade, que tem início em Lisboa e atravessa a Terra passando pelo centro da Terra. Imagine agora que larga um corpo de massa m na extremidade desse túnel em Lisboa. a) Considerando a Terra como uma esfera homogénea (densidade uniforme), calcule a força gravítica a actuar nesse corpo em função da distância r ao centro da Terra. [note que, para um ponto no interior da Terra à distância r do centro, pode considerar para a força gravítica apenas a massa contida na esfera de raio r concêntrica com a Terra (Teorema de Gauss).] b) Qual o movimento que o corpo vai adquirir? c) Quanto tempo demora a regressar a Lisboa? 7.7. Uma massa m = 0.5 kg está ligada a uma mola. A mola pode ser ligada a um mecanismo que permite pôr o sistema massa-mola a oscilar com frequência variável. A massa ligada à mola oscila como se estivesse sujeita a uma força de atrito proporcional à velocidade e com coeficiente b = 0.5 Ns/m. A velocidade inicial da massa é nula. A constante da mola é k = 8 N/m. a) Suponha que põe a massa a oscilar ligada à mola sem forças exteriores. A amplitude inicial é A = 20 cm. Qual a amplitude 8

9 do movimento da mola ao fim de 3 segundos se não houvesse atrito? b) Qual o factor em que se reduz a amplitude da oscilação da massa ao fim de 3 segundos se houver atrito. c) Determine ao fim de quanto tempo a amplitude das oscilações se reduz a metade. d) Compare a frequência angular de oscilação para o caso de não haver atrito e para o caso de haver atrito. Compare os período de oscilação para o caso de não haver atrito e para o caso de haver atrito. e) Qual a amplitude da oscilação da massa ligada à mola se for sujeita a uma força exterior periódica dada pela expressão F = F o cos(ω ext t), onde F o = 3 N e a frequência da força exterior, ω ext, for igual à frequência de ressonância. Verifique que a frequência de ressonância é dada por ω res = ω 2 o 2λ Um Saltitão-Saltitas é colocado em cima da máquina de lavar roupa. O Saltitas tem uma ventosa que o fixa ao tampo da máquina. Verifica que a certa altura, quando a máquina está a lavar, o Saltitas começa a oscilar fortemente acabando por se soltar e cair ao chão. Volta a pôr o Saltitas em cima da máquina e verifica que, curiosamente, quando a máquina começa centrifugar a 1200 rpm o Saltitas praticamente não se mexe. Verifica ainda que quando a máquina pára a amplitude das oscilações reduz-se a 1/5 ao fim de 3 segundos. Sabendo que o Saltitas tem massa m = kg e que a constante da mola é k = 144 N/m, mostre que percebe o que se passa com o Saltitas, respondendo (correctamente) às perguntas seguintes. Considere que a mola do Saltitas está sujeita a um atrito proporcional à velocidade e é dada pela expressão F atrito = bẋ. a) Escreva a equação de Newton para o movimento para o Saltitas quando a máquina está a trabalhar. Qual é a solução da equação em regime estacionário? b) Escreva a equação de Newton para o movimento para o Saltitas quando a máquina deixou de trabalhar mas o Saltitas ainda está a oscilar. Qual é a solução da equação? c) Determine a frequência própria de oscilação do Saltitas e o valor de b, coeficiente da força de atrito. d) Demonstre que a frequência de ressonância é dada pela expressão ω res = ω o 2λ 2 e indique os valores de ω o e λ. Pode usar cálculos anteriores para responder a esta pergunta. 9

10 7. Movimentos Oscilatórios e) Relacione a amplitude de oscilação do Saltitas quando o máquina funciona a 1200 rpm com a amplitude de oscilação que teria em situação de ressonância, se não tivesse caído ao chão. Se anteriormente não conseguiu calcular λ, considere λ = 0, Um motor vibra com uma frequência angular de ω ext = 10 rad s 1 e está montado numa plataforma com um amortecedor. O motor tem uma massa m = 250 kg e a mola do amortecedor tem uma constante elástica efectiva k = 10 4 N.m 1. Despreze a massa da plataforma. A amplitude de oscilações de uma massa a oscilar em regime forçado com atrito é dada por A = F o /m (ω 2 o ωext 2 ) 2 + 4λ 2 ωext 2 onde m é a massa do motor, F o /m é a amplitude da força exterior, ω o é a frequência própria do sistema, ω ext é a frequência da força exterior, λ é a constante de amortecimento das oscilações. a) Qual a frequência própria de vibração da plataforma com o motor instalado (ω o )? b) Quando o motor pára de trabalhar a amplitude das oscilações da plataforma reduz-se a metade ao fim de 20 segundos. Calcule a constante de amortecimento das oscilações (λ). c) Escreva a equação de movimento do motor, quando o motor está ligado e explique a origem de cada uma das forças que actuam no motor. d) Qual a solução geral para o movimento em função da amplitude da força exterior, em regime permanente? e) Suponha que em regime permanente, com o motor ligado, a amplitude de vibração é 1 cm. Qual a amplitude da força exterior? f) Suponha que a frequência do motor pode variar. Determine a frequência do motor para a qual o sistema entra em ressonância. g) Qual a amplitude do movimento da plataforma se a frequência do motor for a frequência de ressonância e a amplitude da força exterior for a determinada anteriormente? Os astronautas a bordo da estação orbital podem sofrer importantes perdas de massa muscular devido à situação de imponderabilidade a que são sujeitos. Torna-se por isso imprescindível controlar a evolução da massa muscular. Mas qual a balança que pode ser usada em aparente gravidade zero? O problema é seu. Bom, e do astronauta também, mas sejamos optimistas. 10

11 Imagine-se engenheiro informático. Se conseguiu, passe a analisar os dados que lhe são fornecidos e responda às perguntas que se seguem. Com muito cuidado. Por causa do astronauta, claro. Para medir a massa de um astronauta na ISS pretende usar-se uma balança construída com uma cadeira presa a uma mola. A cadeira tem massa m cadeira = 1 kg. Quando a cadeira se afasta da posição de equilíbrio em 10 cm e se larga, passa a oscilar com um período T = 1 s. a) Qual a equação de Newton da cadeira a oscilar, presa à mola? b) Qual a solução da equação, i.e. qual a expressão para o movimento da cadeira presa à mola? Determine a constante k da mola e a frequência angular do movimento da cadeira. c) Imagine que, na ISS, o astronauta se senta na cadeira, e que a cadeira é posta novamente a oscilar, agora com o astronauta. Neste caso a massa total a oscilar passa a ser M = m astronauta + m cadeira. Determine a expressão geral da dependência da massa do astronauta em função do período de oscilação deste na cadeira (T astronauta ). d) Calcule T astronauta quando este tem massa 80 kg. Qual a variação do período (T astronauta ) correspondente a uma diminuição de 1% na massa do astronauta? 11

12 A. Constantes Constante de Newton de Gravitação Universal: G = N m kg 2 ; permitividade do vácuo: ε 0 = F m 1 ; distância média da Terra ao Sol: D = m ; velocidade do Sol em torno do centro da Galáxia: v = 220 km s 1 ; distância do Sol ao centro da Galáxia: R = 8 kpc ; luminosidade solar: L = de/dt = W ; massa da Terra: M = kg ; raio médio da Terra: R = km ; velocidade do som no ar: v som = 344 m/s ; velocidade da luz no vácuo: c 0 = m/s ; m H = u, m He = u, 1 u = kg ; carga do electrão: e = C ; massa do electrão: m e = kg = u ; massa do protão: m p = kg = 1 u ; número de partículas numa mole (constante de Avogadro): mol 1 A.1