Programa de Pós-Graduação em Astronomia Observatório do Valongo

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1 Programa de Pós-Graduação em Astronomia Observatório do Valongo Prova de Admissão para o Programa de Mestrado Julho de 2005 A Prova de Seleção consta de um exame de Física e um de Matemática sendo que cada exame vale 5 pontos. O tempo total será de 4 horas. Boa prova.

2 Prova de Física O candidato poderá resolver quantas questões desejar em cada, mas a pontuação máxima será de 5 pontos. Cada questão vale 1 ponto 1. Um elétron num tubo de TV está se movendo a m/s num campo magnético de intensidade 83 mt. a. Sem conhecermos a direção do campo, quais são o maior e o menor módulo da força que o elétron pode sentir devido a este campo? b. Num certo ponto a aceleração do elétron é m/s 2. Qual é o ângulo entre a velocidade do elétron e o campo magnético? 2. O Sol gira em torno do centro Galáctico a uma distância de 10 kpc, com período orbital de 200 milhões de anos. Estime a massa da Galáxia contida dentro do raio da órbita do Sol 3. Um fio de 1.80 m de comprimento transporta uma corrente de 13 A e faz um ângulo de 35 com um campo magnético uniforme B = 1.5 T. Calcular a força magnética sobre o fio. 4. Um estudante de 68 kg, numa roda-gigante com velocidade constante, tem um peso aparente de 550 N no ponto mais alto. (a) Qual o seu peso aparente no ponto mais baixo? (b) E no ponto mais alto, se a velocidade da roda-gigante dobrar? 5. Um caminhão que perdeu os freios está descendo uma estrada em declive a 130 km/h. Felizmente a estrada dispõe de uma rampa de escape, com uma inclinação de 15. a. Qual o menor comprimento da rampa para que a velocidade do caminhão chegue a zero antes do final da rampa? b. As rampas de escape são quase sempre cobertas com uma grossa camada de areia ou cascalho. Por quê? 6. O último estágio de um foguete está viajando com uma velocidade de 7600 m/s. Este último estágio é feito de duas partes presas por uma trava: um tanque de combustível com uma massa de 290 kg e uma cápsula de instrumentos com uma massa de 150 kg. Quando a trava é acionada, uma mola comprimida faz com que as duas partes se separem com uma velocidade relativa de 910 m/s. a. Qual a velocidade das duas partes depois que elas se separam? Suponha que todas as velocidades têm a mesma direção. b. Calcule a energia cinética total das duas partes antes e depois de se separarem e explique a diferença (se houver) 7. Uma certa moeda de massa M é colocada a uma distância R do centro do prato de um toca-discos. O coeficiente de atrito estático é µ e. A velocidade angular do

3 toca-discos vai aumentando lentamente até ω 0, quando, neste instante, a moeda escorrega para fora do prato. Determine ω 0 em função das grandezas M, R, g e µ e. 8. O tempo médio de vida de múons estacionários é 2.2 µs. O tempo médio de vida dos múons de alta velocidade produzidos pelos raios cósmicos é 16 µs no referencial da Terra. Determine a velocidade em relação à Terra dos múons produzidos pelos raios cósmicos. 9. O comprimento de onda da luz amarela do sódio no ar é de 589 nm. a. Qual é a freqüência da luz? b. Qual é o comprimento de onda da luz em um vidro com um índice de refração de 1.52? c. Qual é a velocidade da luz no vidro? 10. Duas estrelas de nêutrons estão separadas por uma distância de m. Ambas possuem massa de kg e raio de 10 5 m. Se estiverem inicialmente em repouso uma em relação à outra: a. com que rapidez estarão se movendo quando a separação tiver diminuído para metade do valor inicial? b. qual a velocidade das duas estrelas, imediatamente antes de colidirem?

4 CONSTANTES E UNIDADES Massa do Sol = 2x10 30 kg Raio do Sol = 6,96 x 10 8 m Luminosidade do Sol =3,9 x W Massa do átomo de m H = 1,67 x kg Constante gravitacional G= 6,67 x m 3 kg -1 s -2 Constante de Boltzman k = 1,38 x J K -1 Constante de densidade de radiação a = 7,56 x J m -3 K -4

5 Prova de Matemática O candidato deverá responder obrigatoriamente as questões abaixo, valendo 0,35 cada. TESTES: 1) Sendo Y=1/senx calcule dy/dy 2) Sendo Y=[(ax-1}/a**2]*e**ax calcule dy/dx 3) Sendo U=senx/cosh**2 calcule udx 4) Sendo U=x*2**(-x**2) calcule udx entre os limites 1 e 2 5) Sendo os vetores A=2i+2j+k e B=2i+10j-11k calcule A escalar B 6) Sendo os vetores A=2i-2j-k e B=i+j+k calcule A vetorial B 7) Tendo a matriz A por linhas L1= 1, a, a**2, L2=1,b,b**2 e L3=1,c,c**2 calcule seu determinante e escreva matriz transposta 8) Escreva matriz de rotação entre dois sistemas de coordenadas cartesianas que tenham origem comum. 9) Escreva a Serie de Taylor para senx 10) Escreva a Serie de Fourrier para sen (ax)

6 PROBLEMAS O candidato deverá escolher 3 problemas sendo que cada problema vale 0,5. PROBLEMA 1 A função é contínua e derivável. Sabe-se que f(0) = 0, f '(0) = a e que f(x + 1) = e f(x) para todo x > 1. Calcule f '(3). PROBLEMA 2 Seja A a matriz real n x n Diga para que valores de x e y a matriz A é inversível e calcule A 1. PROBLEMA 3 Calcule

7 PROBLEMA 4 Considere a curva a) Seja Q = (a, b) um ponto de C. Suponha que a reta tangente a C no ponto Q intersecte C num único outro ponto, Q'. Determine as coordenadas de Q'. b) Seja P 0 = (3, 8). Para cada inteiro não negativo n, definimos P n +1 =, o ponto de interseção de C com a reta tangente a C em P n. Determine P PROBLEMA 5 Seja sen x. Calcule f (2001) (0). (Denotamos por f (n) (x) a derivada de ordem n no ponto x; assim, f (2) (x) = f '' (x).) PROBLEMA 6 O centro de massa de uma lata cilíndrica de refrigerante tem a mesma posição quando a lata está vazia ou cheia. Se a massa da lata vazia é m e a massa do refrigerante dentro da lata cheia é M, determine a fração de refrigerante que deve ser deixado na lata para que seu centro de massa fique o mais baixo possível. PROBLEMA 7 Seja A uma matriz n n com a 1, j = a i, 1 = 1 (para quaisquer i e j, 1 i, j n) e (para quaisquer i e j, 1 i, j < n). Assim, Calcule det(a)..

8 PROBLEMA 8 Considere a matriz complexa 1 0 i A = i 0 1 Calcule A PROBLEMA 9 Calcule a integral: x dx x 11+ e PROBLEMA 10 Determine a equação da reta que tangencia a curva de equação distintos. y x x 4 = em dois pontos