I Seminário da Pós-graduação em Engenharia Elétrica ANÁLISE DE UM SISTEMA DE CAPTAÇÃO DE ENERGIA NÃO-IDEAL

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1 ANÁLISE DE UM SISTEMA DE CAPTAÇÃO DE ENERGIA NÃO-IDEAL Itamar Iliuk Aluno do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Unesp Bauru Prof. Dr. José Manoel Balthazar Orientador Depto de Engenharia Elétrica Unesp Bauru RESUMO Neste trabalho, pesquisou-se sobre um modelo matemático de um dispositivo de captação de energia proposto, onde foi incluido não-linearidades no acoplamento piezoelétrico e uma força não-ideal de excitação. Mostrou-se, usando simulações numéricas para a análise das respostas dinâmicas que o a energia captada é influenciada pelas vibrações não-lineares da estrutura. Conclui-se através dos resultados numéricos que a fonte de energia limitada(não-ideal) estava interagindo com o sistema. Com isso, o aumento da tensão no motor de corrente continua levou o sistema de produzir como resposta uma boa potência captada, especialmente em órbitas de alta energia que se encontram próximas da região de ressonância. Porém o efeito Sommerfeld ocorre no sistema e um comportamento caótico ocorre, com isso a potência captada ao longo do tempo diminui, porque ocorrem perdas de energia devido à interação entre a fonte de energia e a estrutura do dispositivo. Tais comportamentos serão demonstrados através de graficos e tabelas presentes ao longo desse trabalho. PALAVRAS-CHAVE: efeito Sommerfeld, caos, captação de energia, sistemas não-ideias 1 INTRODUÇÃO Nos últimos anos, tem ocorrido um grande desenvolvimento de dispositivos miniaturizados como sensores, atuadores, circuitos eletrônicos flexíveis e biossensores implantáveis. Atualmente, a tecnologia de Sistemas micro-eletromecânicos (MEMS) e Sistemas de nano-eletromecânicos (NEMS) têm permitido o desenvolvimento dos chamados dispositivos inteligentes. Também hoje, os componentes desenvolvidos em micro e nano escala estão incorporados em todos os tipos de dispositivos eletrônicos, de acordo com (Cottone, 007). Devido a necessidade de uma fonte de energia menor e mais eficiente, para o design de sistemas baseados nessas novas tecnologias, a pesquisa sobre captação de energia(energy Harvesting), tem aumentado substancialmente, como um exemplo, veja: (Priya e Inman, 009). Nas obras de (Chtiba et al., 010 e De Marqui Jr., 009) entre outros autores, os mesmos concluíram que o melhor modelo para construir dispositivos de captação de energia é usando materiais piezoelétricos. Assim, muitos pesquisadores têm concentrado seus esforços em encontrar a melhor configuração para estes sistemas e para otimizar a sua potência captada. De acordo com (Sodano et al, 004;. Anton e Sodano, 007) no processo de captação de energia, a energia elétrica é obtida através da conversão da energia mecânica, criado por uma fonte de vibração do ambiente por um tipo de transdutor, como uma fina película de elementos piezocerâmicos.

2 Vários diferentes mecanismos de acoplamento eletromecânico têm sido desenvolvidos para dispositivos de captação de energia segundo (Triplett e Quinn, 009), que em suas pesquisas introduziram no seu modelo de sistema de captação de energia, o papel de não-linearidades no acoplamento eletromecânico, durante o processo de design, levando em consideração as leis constitutivas dos materiais piezoelétricos, que apresentam uma forte dependência, entre a tensão aplicada e o campo elétrico no material piezocerâmico, como demonstrado por (du Toit e Wardle, 007; Twiefel et al, 008). As não-linearidades têm uma importância considerável na resposta do sistema. Assim, a inclusão de tais não-linearidades no acoplamento eletromecânico tem permitido que a previsão da potência de saída possa ser melhorada e o desempenho do sistema possa ser otimizado, também. A Figura 1 representa o modelo de um sistema de captação de energia não-ideal (SCENI) proposto no presente trabalho, que consiste de uma viga em balanço com camadas de elementos piezoelétricos (piezocerâmicos) aplicadas em ambos os lados da viga em uma configuração conhecida como bi-morph (du Toit e Wardle, 007), na extremidade livre foi anexado um motor elétrico de corrente continua com uma massa desbalanceada e na extremidade engastada os elementos piezoelétricos são conectados a uma carga elétrica, um resistor por exemplo. Figura 1. Idealização de um sistema de captação de energia não-ideal Esta pesquisa considerou a fonte de energia como sendo de potência limitada, como em motores reais, que define-se como uma fonte de energia não-ideal, ao contrario de uma fonte ideal, em que a amplitude e a frequência são independentes do movimento e da resposta da estrutura. A análise experimental detectou o Efeito Sommerfeld: como o motor acelera até chegar perto de condições de ressonância, uma parte considerável de sua energia de saída é consumida para gerar movimentos de grande amplitude da estrutura e não aumentar a sua própria velocidade angular. Para determinados parâmetros do sistema, o motor pode ficar preso em ressonância e não ter potência suficiente para atingir regimes de rotação mais elevados. Se mais energia estiver disponível, podem ocorrer saltos para regimes de velocidade consideravelmente maior do motor próximo à região de ressonância, não sendo possível movimentos estáveis entre esses dois. As teorias sobre sistemas não-ideais podem ser vistas com detalhes em: (Kononenko, 1969), (Nayfeh e Mook, 1979), (Balthazar et al, 003), (Dantas e Balthazar, 007) e (Felix et al, 009), sem desmerecer outros.

3 O objetivo principal deste trabalho foi analisar o modelo de captação de energia nãoideal proposto e através de simulações numéricas mostrar os resultados obtidos. SISTEMA DE CAPTAÇÃO DE ENERGIA NÃO-IDEAL (SCENI) Figura. Modelo de parâmetros concentrados.1. Modelagem matemática da estrutura não-ideal O modelo matemático, conforme descrito na Figura representa o (SCENI), onde a quantidade M = m1 + m0 é a massa total, x é o deslocamento vertical da viga, ϕ é o deslocamento angular do rotor, o parâmetro r é a excentricidade e m 0 é a massa do eixo desbalanceado do motor elétrico, I = J + m0r é o momento de inércia do rotor. A função H ( ϕ& ) é o torque resistivo aplicada ao motor e a função L( ϕ& ) é o torque de acionamento da fonte de energia (motor) conforme definidos por (Balthazar et al, 003). Neste trabalho, a função, que define a fonte de energia, é um tipo de função exponencial que representa a curva de torque u & ϕ versus velocidade de motor de corrente continua. Então, considera-se L( & ϕ ) H ( & ϕ ) = u1e onde u 1 está relacionado com a voltagem aplicada através da armadura do motor DC, isto é, um possivel parâmetro de controle do problema e u é uma constante para cada modelo de motor DC considerado. P1 e P são as camadas de filme piezoelétrico aplicadas no dispositivo. De acordo com (Triplett and Quinn, 009), a carga eletrica desenvolvida através do circuito d( x) acoplado e dada por: q, onde o termo q representa o acoplamento piézoeletrico para o C componente mecanico, com um coeficiente de acoplamento dependente da tensão aplicada d( x ). A voltagem V através do material piezoelétrico tem a forma: d( x) q V = x C + (1) C Onde C representa a capacitância piezoelétrica. Assim com V = Rq& as equações acopladas que governam o movimento do (SCENI) são: (&& ϕ cosϕ & ϕ sinϕ ) 3 d( x) Mx && + cx& + k1x + kx = m0r + q () C

4 = Γ ( ) + m 0 rx 1 cos I && ϕ & ϕ && ϕ (3) d( x) q Rq& 0 C + C = (4) Onde c é o coeficiente de amortecimento linear, k 1 é o coeficiente da mola linear, k é o coeficiente da mola não-linear (mola cúbica).. Admensionalização Utilizando um sistema com variáveis adimensionais pode-se trabalhar nele com números puros, sem considerar a dimensão de suas variáveis. É possível tornar as equações (), (3), (4) em uma forma adimensional introduzindo os parametros adimensionais: k ω 1 0 =, τ ω t 0 M =, x u =, r q u1 u v =, µ 1 =, µ =, ( ϕ ) µ 1e µ & Γ = ϕ q Iω Iω c k k r m m ω α =, β =, β =, δ =, δ =, M ω M ω M ω M M m0r γ = I, ε, ( q0 / r) / ( Ck) k 1 ρ RC, d M ˆ( u) = θ (1 + Θ u ), r dˆ( u ) d ( r ), q r θ d q 0 0 lin, Θ rd nlin, (5) O coeficiente de acolamento piezoelétrico admensional usado no presente trabalho foi aproximado por (Triplett and Quinn, 009), como sendo d ˆ( u) = θ (1 + Θ u ), onde o coeficiente de acoplamento piezoelétrico se divide em duas partes, representadas por θ que é a parte linear do acoplamento e Θ sendo a parte não-linear. Assim as equações do moviento se reduzem ao sistema admensional tendo a seguinte forma: u" + εαu ' + βu + εβ u εθ (1 + Θ u ) v = εδ ϕ "cos ϕ εδ ϕ ' sinϕ ϕ " = εγ ( ϕ ') + εγ u"cosϕ (6) ρv ' θ (1 + Θ u ) u + v = 0 A seguir define-se novas variáveis como: x 1 = u, x = u ', x3 = ϕ, x4 = ϕ ', x5 = v, e as equações do (SCENI) podem ser reescritas em uma representação de espaço de estados:

5 x& I Seminário da Pós-graduação em Engenharia Elétrica = x 1 x& = εα x β x εβ x + εθ (1 + Θ x ) x εδ x& cos x + εδ x sin x x& = x 3 4 (7) x& = εγ ( x ) + εγ x& cos x x& = ( θ (1 + Θ x ) x x ) / ρ Com a voltagem previamente definida como V = Rq&, a potência captada através do componente mecânico é V / R, e assim a potência colhida admensionalizada é identificada no sistema como: P = ρ v (8) 3 RESULADOS DAS SIMULAÇÕES NUMÉRICAS As simulações numéricas foram realizadas no software Matlab, usando o algoritmo de integração Runge-Kutta com passo de integração variável. Para analisar a dinâmica do sistema foram realizadas simulações para a obtanção dos históricos de deslocamento no tempo, os retratos de fase e os expoentes de Lyapunov. As curvas de ressonância da amplitude foram obtidos da seguinte forma: para cada valor do parâmetro de controle foi capturado as amplitudes máximas das oscilações. Assim, com base na resposta da curva de ressonância, encontram-se os valores de µ 1 onde a região de ressonância é alcançada e a amplitude de vibração do sistema tem valor máximo. A potência máxima capturada foi obtida através da equação (8). Para isso foram definidos os seguintes valores para os parametros das equações: α = 0.01, β = 1.00, β 1 = 0.5, ρ = 1.00, ε = 0.10, δ 1 = 0.40, δ = 0.40, γ =0.60, µ = 1.50, x 1 (0) =0, x (0) =0, x 3 (0) =0, x 4 (0) =0, x 5 (0) =0; 3.1 Análise dinâmica do sistema Nesta seção é demonstrada a resposta dinâmica do (SCENI) quando o θ linear assume o valor (0,10) e o Θ assume o valor (0,50). Nas figuras 3 e 4 respectivamente são demonstrados o retrato de fase e histórico de deslocamento no tempo, onde através da anállise dos gráficos pode-se notar que um comportamento caótico ocorre no sistema, atribuído à interação entre a fonte de energia nãoideal com a estrutura do dispositivo eletromecânico.

6 Figura 3. Retrato de fase demonstrando o plano velocidade X deslocamento Figura 4. Histórico deslocamento no tempo da viga em regime estacionário Na figura 5 observa-se a presença de um expoente de Lyapunov positivo. Nesta condição o sistema é instável, então a potência máxima captada tende a diminuir ao longo do tempo. Figura 5. Gráfico dos principais Expoentes de Lyapunov: em azul presença de um expoente com valor positivo

7 3. Análise da captação de energia do sistema Para a análise da captação de energia do sistema não-ideal, o parâmetro de controle µ 1 (tensão no motor de corrente continua) foi incrementado na faixa de 0.0 à.0. E os parâmetros de acoplamento linear θ e não-linear Θ, tiveram os valores escolhidos para cada caso. No primeiro caso foi analisada a resposta do sistema quando o acoplamento piezoelétrico é linear desprezando as não-linearidades do material, assim θ linear assumiu os valores (0,00, 0,50, 1,00 e 1,50) e o Θ não-linear foi fixado em 0,00. No segundo caso é considerada a resposta do sistema sobre o efeito das nãolinearidades constitutivas do material piezoelétrico utilizado no acoplamento, com isso θ linear foi escolhido para assumir dois valores (0,50 e 1,50), e Θ não-linear assumiu os valores (0,00, 0,50, 1,00 e 1,50) para esses dois valores Caso 1: Resposta para o sistema de captação de energia linear Tabela 1. Resultados para θ linear = 0 à1.50,neste caso Θ não-linear = 0.00 θ µ 1 X1 φ' Power Figura 6. Respostas do sistema para incrementos do θ linear = 0 à 1.50, Θ não-linear = 0.00; Amplitude Máxima; Velocidade angular média; Potencia máxima captada 3.. Caso : Resposta para o sistema de captação de energia não-ideal Tabela. Resultados para Θ não-linear = 0 to 1.50 com valor fixo para θ linear = 0.50 Θ µ 1 X1 φ' Power

8 Figura 7. Respostas do sistema para incrementos do Θ não-linear = 0 à 1.50, θ linear = 0.50; Amplitude Máxima; Velocidade angular média; Potencia máxima captada Tabela 3. Resultados para Θ não-linear = 0 to 1.50 com valor fixo para θ linear = 1.50 Θ µ 1 X1 φ' Power Tabela 4. Resultados para Θ não-linear = 0 to 1.50 com valor fixo para θ linear = 1.50 Θ µ 1 X1 φ' Power Figura 8. Respostas do sistema para incrementos do Θ não-linear = 0 à 1.50, θ linear = 1.50; Amplitude Máxima; Velocidade angular média; Potencia máxima captada 4 DISCUSSÕES Na seção 3.1 a resposta do (SCENI) demonstra que sobre certas condições de tensão no motor de corrente contínua que excita o sistema e determinados valores para os parâmetros de acoplamento, o sistema torna-se instável apresentando movimetos caóticos. Este regime oscilatório, prejudica a captação de energia, uma vez que a mesma é obtida pela combinação da amplitude de deslocamento da viga que estressa o material piezoelétrico, bem como da frequência de excitação do sistema. Assim a energia captada oscila entre algumas órbitas de alta energia dentro do regime caótico, e outras onde a energia captada é pequena e inconstante.

9 Na seção 3. os resultados de simulações numéricas são apresentados em tabelas onde as colunas mostram os valores do parâmetro de acoplamento, o valor do parâmetro de controle no ponto onde ocorreu o fenômeno do salto, a amplitude máxima atingida antes do salto, a velocidade angular do motor, e a potência máxima captada. Nas figuras pode-se comparar a dinâmica do sistema com a variação do parâmetro de controle. No primeiro caso, os resultados apresentados na Tabela 1, mostram os valores da resposta dinâmica do sistema linear de captação de energia. A Figura 6 mostra que o aumento no parâmetro de acoplamento linear provoca a diminuição da amplitude de vibração e o efeito Sommerfeld ocorre com valores menores no parâmetro de controle µ 1. Como neste caso a potência máxima ocorre no ponto de maior deslocamento da viga, com o aumento do parâmetro de acoplamento e a conseqüente redução da amplitude de vibração, a potência máxima captada também é reduzida. No segundo caso, a Tabela mostra os resultados para os valores de Θ não-linear, quando o parâmetro de acoplamento linear θ é fixado em 0,50. Observa-se que com o aumento do parâmetro de acoplamento não-linear a potência de saída também aumenta e a amplitude de vibração permanece mais estável na região antes do fenômeno do salto, esse comportamento pode ser observado na Figura 7. Com base na Figura 8, foram colocados os valores nas Tabelas 3 e 4, respectivamente. Olhando para os resultados nas tabelas, pode-se notar que quando o valor do acoplamento linear θ é igual a 1,50, a potência máxima captada não é atingida no ponto com a maior amplitude de vibração, mas em um ponto além da região de ressonância, onde a velocidade angular do motor é maior do que 1,00. 5 CONCLUSÕES Neste trabalho foi apresentado e análisado o comportamento dinâmico de um modelo de sistema de captação de energia não-ideal (SCENI). Onde mostrou-se que a fonte de energia limitada que excita o dispositivo, interage com a estrutura influenciando no comportamento dinâmico do sistema. O efeito Sommerfeld (fenômeno do salto), ocorre no sistema quando a excitação do motor atinge a frequência natural da viga, o que leva à perda de estabilidade e conseqüente redução na potência máxima captada. Baseado no trabalho de (Triplett e Quinn, 009), podemos confirmar a influência dos coeficientes de acoplamento piezoelétricos sobre a resposta final do sistema. Portanto, a inclusão de não-linearidades dos materiais piezoelétricos no desenvolvimento de dispositivos de captura de energia, é de grande relevância na resposta final do sistema. Em trabalhos futuros, uma solução periódica utilizando um método de perturbação e uma estratégia de controle para redução do efeito Sommerfeld, podem ser implementadas com o objetivo de manter os movimentos de (SCENI) em uma órbita estável, assim estabilizando a potência máxima captada na saída do sistema. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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