UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA PLANO DE ENSINO.

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1 073 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA PLANO DE ENSINO Código MAT Nome Aplicações da Matemática - A Créditos/horas-aula Súmula 04 / 60 Semestre Cursos Licenciatura em Matemática Diurno Licenciatura em Matemática Noturno Integral de Riemann. Seqüências e séries de funções. Topologia dos espaços euclidianos. Funções de várias variáveis reais: continuidade, diferenciabilidade, regra de cadeia, Desigualdade do valor médio. Etapa 6ª 8ª Professor Responsável Maria Cristina Varriale Pré-Requisitos MAT01354 Cálculo e Geometria Analítica II A MAT01354 Cálculo e Geometria Analítica II - A Objetivos: 1. Complementar a formação prévia do aluno, no que tange à compreensão e interpretação dos conceitos matemáticos envolvidos na formulação de modelos envolvendo equações diferenciais ou equações a diferenças, bem como na análise gráfica correspondente, seja do próprio modelo ou do comportamento das soluções, para cada sistema estudado. 2. Proporcionar ao aluno o domínio de técnicas de resolução das equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem, das equações diferenciais lineares de 2ª ordem a coeficientes constantes, bem como das equações a diferenças de 1ª ordem. 3. Proporcionar ao aluno uma visão abrangente e integrada da Matemática Aplicada, através da construção, análise e validação de modelos que envolvem equações diferenciais e equações a diferenças, na descrição de fenômenos em diversas ciências. 4. Familiarizar o estudante com o uso da Matemática como ferramenta indispensável na interface com outras disciplinas e capacitá-lo para ensinar através de uma percepção holística das ciências. Metodologia e Experiências de Aprendizagem: As aulas serão expositivas, na modalidade teórico-práticas. No decorrer do curso, serão oportunamente distribuídas listas de exercícios, para maior fixação dos conteúdos desenvolvidos em aula. Haverá também um atendimento extra-classe, em horário a ser combinado com os alunos.

2 Conteúdo Programático: 1ª Área: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 1ª ORDEM: Interpretação geométrica, campo de direções, isóclinas, propriedades qualitativas das soluções, equações autônomas, equilíbrios, trajetórias ortogonais, problemas de contorno e problemas de valor inicial. Resolução das equações diferenciais a variáveis separáveis. Resolução das equações diferenciais lineares de 1ª ordem. Aplicações em problemas de dinâmica populacional, epidemias, decaimento radioativo, determinação de idade por radiocarbono, queda e lançamento vertical de corpos, velocidade de escape, circuitos elétricos RL e RC, variação de temperatura através da lei de Newton do resfriamento, misturas, reações químicas, gerenciamento de recursos renováveis. 2ª Área: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES DE 2ª ORDEM, A COEFICIENTES CONSTANTES: a) homogêneas: equação característica e sistema fundamental de soluções; b) não homogêneas: o método dos coeficientes a determinar. Soluções limitadas e ilimitadas. Solução transiente e solução estacionária. Aplicações em problemas de vibrações livres e forçadas, amortecidas e não amortecidas; período, amplitude e ângulo de fase, no movimento harmônico simples; movimentos oscilatório amortecido, criticamente amortecido e superamortecido; decremento logarítmico; ressonância, batimento e modulação de amplitude. Aplicações a sistemas mecânicos - sistemas massa-mola, pêndulo linear, problemas de flutuação - e a circuitos elétricos simples RLC. 3ª Área: EQUAÇÕES A DIFERENÇAS DE 1ª ORDEM: Equações a diferenças de 1ª ordem: pontos de equilíbrio, atratores, diagramas do tipo "teia-de-aranha", estabilidade assintótica, pontos periódicos, ciclos e caos, diagrama de bifurcação. Aplicações a problemas de dinâmica populacional. Equação logística discreta. Modelo de Ricker. Mapa da tenda. Mapa do padeiro. Cronograma de Atividades: Em anexo. Critérios de Avaliação: Os conteúdos programáticos da disciplina serão divididos em duas partes, denominadas áreas de conhecimentos, sendo que a aprendizagem em cada área será avaliada independentemente. A primeira área compreende o item 1 do Conteúdo Programático e a segunda área os demais itens do mesmo. 80% da nota Ai (i=1,2), de cada área, será constituída pelo desempenho em uma prova escrita, enquanto que 20% será constituída pelo desempenho na resolução de lista de problemas, que poderá incluir, além de abordagem analítica, análise gráfica e computacional. Para ser considerado aprovado na disciplina, é necessário, além de uma freqüência superior a 75% das aulas ministradas, ser aprovado em cada área, o que significa obter em cada uma das áreas, nota igual ou superior a 6,0 (seis). 2

3 Os conceitos finais serão atribuídos como segue: Com freqüência igual ou superior a 75%: Aprovação A média igual ou superior a 9,0; B média igual ou superior a 7,5 e inferior a 9,0; C média igual ou superior a 6,0 e inferior a 7,5; Reprovação - D alguma (uma ou mais) nota de área inferior a 6,0; Com freqüência inferior a 75%: Reprovação FF. Atividades de Recuperação: Ao aluno que obtiver, em alguma (uma ou ambas) das notas de área acima, nota inferior a 6,0 (seis), e se a média aritmética (A1+A2)/2, entre estas duas notas, for igual ou superior a 3,0 (três), será dada uma oportunidade (Recuperação) para cada área, de fazer uma nova tentativa para obter nota 6,0 (seis); novamente, 80% da nota de recuperação será constituída pelo desempenho em uma prova escrita, enquanto que 20% será constituída pelo desempenho na resolução de lista de problemas. A nota da Recuperação de alguma área substitui a nota da área correspondente. Ao aluno já aprovado nas duas áreas, será facultada a oportunidade de melhorar seu conceito final, através da realização de uma e apenas uma Recuperação. Neste caso, valerá a nota mais alta entre as duas. Bibliografia Básica: 1. Boyce, W.E. e DiPrima, R.C., Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Contorno. 8ª edição. LTC Editora, Zill, D.G., Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem, Ed. Thomson, Elaydi, S.N., An Introduction to Difference Equations, 2 nd Edition, Springer, Bibliografia Complementar: 1. Batschelet, E., Introduction to Mathematics for Life Scientists, 3 rd Edition, Springer, Borrelli, R.L. and Coleman, C.S., Differential Equations - A Modelling Perspective, John Wiley & Sons, Lomen, D. & Lovelock, D., Differential Equations Graphics. Models. Data, John Wiley & Sons, Strang, G., Introduction to Applied Mathematics, Wellesley-Cambridge Press,

4 Cronograma para MAT01073 APLICAÇÕES DA MATEMÁTICA - A Período letivo 2007/2-2as. e 4as. feiras, das 10h30min às 12h10min Data 06/08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /09/ /09/ /09/ /09/ /09/ /09/ /09/ /09/ /10/ /10/ /10/2007 Conteúdo Programático Apresentação do Plano de Ensino. Escalas logarítmicas Aplicações do uso de escalas logarítmicas. Aplicações do uso de escalas logarítmicas (continuação). Das seqüências geométricas às funções exponenciais. Aplicações. Taxas de variação: taxa média de variação e taxa instantânea de variação. Interpretação geométrica. Aplicações. Classificação de uma equação diferencial ordinária: ordem e linearidade. Tipos de soluções de uma equação diferencial ordinária. Problema de contorno e problema de valor inicial. Campo de direções de uma eq. dif. ord. de 1ª ordem - propriedades qualitativas das soluções, método das isóclinas, trajetórias ortogonais. Aplicações. Resolução das equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem, a variáveis separáveis. Resolução das equações diferenciais ordinárias lineares de 1ª ordem: homogêneas e não homogêneas. Eq. dif. de 1ª ordem autônomas, lineares e não lineares equilíbrios: determinação e estabilidade dos mesmos. Estudo qualitativo do comportamento das soluções. Aplicações a problemas de dinâmica populacional, decaimento radioativo, determinação de idade por radiocarbono. Modelos para problemas de queda e lançamento vertical dos corpos, com e sem resistência do meio; velocidade de escape. Problemas de variação de temperatura lei de Newton do resfriamento. Misturas, reações químicas. Circuitos elétricos simples RL e RC. Equação logística: equilíbrios previstos e comportamento das soluções. Resolução do problema de valor inicial correspondente. Aplicação à dinâmica populacional e a epidemias. Gerenciamento de recursos renováveis com produção constante - equilíbrios e sua estabilidade - máxima produção sustentável. Gerenciamento de recursos renováveis com produção constante (continuação) resolução do problema de valor inicial correspondente e interpretação das soluções. Gerenciamento de recursos renováveis com produção proporcional à população existente resolução do problema de valor inicial correspondente e interpretação das soluções. Outros modelos que constituem aplicações de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem. Revisão dos conteúdos referentes à 1ª área. Exercícios complementares. V1 Verificação da 1 a. área Comentários sobre a verificação da 1ª área. Divulgação das notas da 1ª área. 4

5 Data 10/10/ /10/ /10/ /10/ /10/ /10/ /10/ /11/ /11/ /11/ /11/ /11/ /11/ /11/ /11/ /12/ /12/ /12/ /12/2007 Conteúdo Programático Equações diferenciais ordinárias lineares de 2ª ordem, homogêneas: princípio da superposição de soluções. Determinação de um sistema fundamental de soluções, para o caso de coeficientes constantes. Aplicações com eq. dif. ord. lineares de 2ª ordem, a coef. constantes, homogêneas: oscilações livres não amortecidas - o movimento harmônico simples período, amplitude, ângulo de fase. Combinação linear de funções periódicas de mesmo período e de períodos distintos. Analogia entre sistema massa-mola e circuito elétrico simples RLC. Aplicações com eq. dif. ord. lineares de 2ª ordem, a coef. constantes, homogêneas (continuação): oscilações livres amortecidas subamortecidas, criticamente amortecidas e superamortecidas. Equações diferenciais ordinárias lineares de 2ª ordem, a coeficientes constantes, não homogêneas: o método de variação dos parâmetros. Equações diferenciais ordinárias lineares de 2ª ordem, a coeficientes constantes, não homogêneas (continuação): o método dos coeficientes a determinar. Aplicações com eq. dif. ord. lineares de 2ª ordem, a coeficientes constantes, não homogêneas: oscilações forçadas não amortecidas. Ressonância, batimento e modulação de amplitude. Oscilações forçadas amortecidas solução transiente e solução estacionária. Classificação das Equações a Diferenças: ordem e linearidade. Modelos com equações a diferenças lineares de 1ª ordem. Comportamento assintótico das soluções de eq. a dif. lineares de 1ª ordem. Equilíbrios. Diagramas tipo teia de aranha. Modelos com equações a diferenças não lineares de 1ª ordem: equilíbrios e sua estabilidade. Equação logística discreta. Pontos periódicos, ciclos e caos. Diagrama de bifurcação. Modelo de Ricker. Mapa da tenda. Mapa do padeiro. Aplicações a problemas de dinâmica populacional, de decaimento radioativo, e aplicações à economia. Revisão dos conteúdos referentes à 2ª área. Exercícios complementares. V2 Verificação da 2 a. área Comentários sobre a verificação da 2ª área. Divulgação das notas da 2ª área. R1 Recuperação da 1 a. área R2 Recuperação da 2 a. área Divulgação dos conceitos finais. 5