UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA PLANO DE ENSINO

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Vergílio de Paiva
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017 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA PLANO DE ENSINO Código MAT Nome 01017 Biologia Matemática Créditos/horas-aula Súmula

Sistemas a diferenças lineares e não-lineares: modelo de Leslie, modelo de Nickolson-Bailey. Equações diferenciais lineares e nãolineares: Dinâmica, modelos de pragas de Ludwig, Scaling.

1 017 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA PLANO DE ENSINO Código MAT Nome Biologia Matemática Créditos/horas-aula Súmula Equações de diferenças lineares e não-lineares: Fibonacci, populações de 04 / 60 pássaros, equação logística, estados estacionários, estabilidade, duplicação Semestre de período e caos. Sistemas a diferenças lineares e não-lineares: modelo de Leslie, modelo de Nickolson-Bailey. Equações diferenciais lineares e nãolineares: Dinâmica, modelos de pragas de Ludwig, Scaling. Espaço de fase no plano e espaço, modelo predador-presa, ciclos limites, modelo Lotka Volterra, análise dimensional, osciladores biológicos, reação de Belousov- Zhabotinskii. Modelos de reação-difusão, padrões de Turing. Cursos Bacharelado em Matemática ênfase Matemática Aplicada e Computacional Etapa 7ª Pré-Requisitos 130 Créditos Professor Responsável Maria Cristina Varriale Objetivos: 1. Proporcionar ao aluno uma visão abrangente das diversas abordagens adotadas na formulação de modelos de dinâmica populacional, envolvendo equações diferenciais ou equações a diferenças, bem como dos métodos utilizados para analisar o comportamento de suas soluções. 2. Familiarizar o aluno, no final do seu curso de bacharelado, com a bibliografia e com os periódicos mais importantes na área de dinâmica populacional, bem como com os mecanismos de busca dos mesmos, preparando-o para em breve prosseguir estudos de Pós-Graduação. Metodologia e Experiências de Aprendizagem: As aulas serão expositivas, na modalidade teórico-práticas. No decorrer do curso, serão oportunamente distribuídas listas de exercícios, para maior fixação dos conteúdos desenvolvidos em aula. Haverá também um atendimento extra-classe, em horário a ser combinado com os alunos. Conteúdo Programático: 1. Modelos Populacionais Contínuos para uma Única Espécie, Não-Estruturada: equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem, lineares e não-lineares; crescimento independente e

2 dependente da densidade. Equação logística. Modelo com retirada externa. Modelo de pragas de Ludwig. Scaling e adimensionalização. Problemas de otimização de produção. Modelos contínuos com retardo soluções periódicas. 2. Modelos Populacionais Discretos para uma Única Espécie: equações a diferenças de 1ª ordem, lineares e não lineares; crescimento independente e dependente da densidade. Pontos de equilíbrio, atratores, diagramas do tipo "teia-de-aranha", estados estacionários, estabilidade assintótica, pontos periódicos, ciclos, duplicação de período e caos, diagrama de bifurcação. Recrutamento de Berverton-Holt. Equação logística discreta. Modelo de Ricker. Fibonacci. Populações de pássaros. Modelos discretos com retardo. Modelos para gerenciamento da pesca. 3. Modelos Populacionais Contínuos para Populações Interagentes: sistemas de equações diferenciais lineares e não-lineares. Competição, predação, mutualismo. Modelos predadorpresa. Lotka-Volterra. Espaço de fase em R e em R. Isóclinas de inclinação nula. Critérios 2 3 de Routh-Hurwitz. Análise dimensional. Teorema da bifurcação de Hopf e ciclos-limite. Teorema de Poincaré-Bendixson. Domínio de estabilidade no espaço dos parâmetros. 4. Modelos Populacionais Discretos para Populações Interagentes: sistemas de equações a diferenças lineares e não-lineares. Modelos predador-presa. Modelos hospedeiro-parasitóide. Modelo de Nickolson-Bailey. Interações planta-herbívoro. 5. Aplicações de sistemas de equações diferenciais a outros processos oscilatórios: a) Osciladores biológicos: mecanismos de controle, aplicações à neurobiologia. b) Osciladores químicos: reação oscilante de Belousov-Zhabotinskii. 6. Modelos Lineares e Não Lineares para Populações Estruturadas: a) Populações espacialmente estruturadas: modelos de reação-difusão, quimiotaxia e mecanismos não locais. Invasões biológicas. Ondas viajantes. Redes de mapas acoplados. Padrões de Turing. b) Populações com estrutura etária: Matriz de Leslie. Equação diferencial de McKendrick-von Foerster. Cronograma de Atividades: Em anexo (ver final) Critérios de Avaliação: O conteúdo programático da disciplina será dividido em duas partes, denominadas áreas de conhecimentos, sendo que a aprendizagem em cada área será avaliada independentemente. A primeira área compreende os itens 1 a 3 do Conteúdo Programático e a segunda área os demais itens do mesmo. Para ser considerado aprovado na disciplina, é necessário, além de uma freqüência superior a 75% das aulas ministradas, ser aprovado em cada área, o que significa obter, em cada uma das áreas, nota Ai (i = 1,2), igual ou superior a 6,0 (seis). 2

3 A nota Ai, da área i, é composta como segue: 70% constituída pelo desempenho em uma prova escrita, enquanto que 30% constituída pelo desempenho na execução de tarefas, em sala de aula, as quais poderão incluir, além de abordagem analítica, análise gráfica e computacional dos problemas propostos. Os conceitos finais serão atribuídos como segue: Com freqüência igual ou superior a 75%: Aprovação A média igual ou superior a 9,0; B média igual ou superior a 7,5 e inferior a 9,0; C média igual ou superior a 6,0 e inferior a 7,5; Reprovação - D alguma (uma ou mais) nota de área inferior a 6,0; Com freqüência inferior a 75%: Reprovação FF. Atividades de Recuperação: Ao aluno que obtiver, em alguma (uma ou ambas) das notas de área acima, nota inferior a 6,0 (seis), e se a média aritmética (A 1 +A 2 )/2, entre estas duas notas, for igual ou superior a 3,0 (três), será dada uma oportunidade (Recuperação) para cada área, constituída por uma prova escrita, abordando os conteúdos da área em questão. A nota da Recuperação R i (i = 1, 2) de alguma área substitui a nota da área A i correspondente. Ao aluno já aprovado nas duas áreas, será facultada a oportunidade de melhorar seu conceito final, através da realização de uma e apenas uma Recuperação. Neste caso, valerá a nota mais alta entre as duas. Bibliografia Básica: 1. Alligood, K.T., Sauer, T.D., Yorke, J.A., Chaos An Introduction to Dynamical Systems. Springer-Verlag, Edelstein-Keshet, L., Mathematical Models in Biology, McGraw-Hill, Kot, M., Elements of Mathematical Ecology, Cambridge University Press, Murray, J.D., Mathematical Biology, Springer-Verlag, Bibliografia Complementar: 1. Britton, N.F., Essential Mathematical Biology, Springer, Gurney, W.S.C. and Nisbet, R.M., Ecological Dynamics, Oxford University Press, Jones, D.S. and Sleeman, B.D., Differential Equations and Mathematical Biology, Chappman & Hall / CRC Press, Ott, E., Chaos in Dynamical Systems, Cambridge University Press, Strogatz, S.H., Nonlinear Dynamics and Chaos, Perseus Books Publishing, e ainda: Artigos científicos relacionados com os conteúdos da disciplina, publicados em periódicos da área de pesquisa de Biologia Matemática. 3

4 Para revisar equações diferenciais e equações a diferenças: 1. Borrelli, R.L. and Coleman, C.S., Differential Equations - A Modelling Perspective, John Wiley & Sons, Boyce, W.E. e DiPrima, R.C., Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Contorno. 8ª edição. LTC Editora, Elaydi, S.N., An Introduction to Difference Equations, 2 nd Edition, Springer, Lomen, D. & Lovelock, D., Differential Equations Graphics. Models. Data, John Wiley & Sons, Zill, D.G., Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem, Ed. Thomson,

5 Cronograma para MAT01017 BIOLOGIA MATEMÁTICA Período letivo 2008/1-2as. e 4as. feiras, das 10h30min às 12h10min Data Conteúdo Programático 03/03/2008 Apresentação do Plano de Ensino. Modelos populacionais: estocásticos e determinísticos; estruturados e não estruturados; contínuos e discretos. 05/03/ /03/ /03/ a Modelos Populacionais Contínuos feira para uma única espécie, não estruturada 17/03/ /03/ /03/ /03/ /03/2008 Modelos Populacionais Discretos para uma única espécie 02/04/ /04/ /04/ /04/2008 Modelos Populacionais Contínuos para populações interagentes 16/04/ /04/2008 FERIADO 23/04/2008 Modelos Populacionais Contínuos para populações interagentes (final) 28/04/2008 Revisão dos conteúdos referentes à 1ª área. Exercícios complementares. 30/04/2008 V1 Verificação da 1 a. área 5

6 Data Conteúdo Programático 05/05/2008 Comentários sobre a verificação da 1ª área. Divulgação das notas da 1ª área. 07/05/ /05/ /05/2008 Modelos Populacionais Discretos para populações interagentes 19/05/ /05/ /05/2008 Osciladores Biológicos 28/05/2008 Reação de Belousov-Zhabotinskii 02/06/ /06/ /06/2008 Populações Espacialmente Estruturadas 11/06/ /06/ /06/2008 Populações com Estrutura Etária 23/06/2008 Revisão dos conteúdos referentes à 2ª área. Exercícios complementares. 25/06/2008 V2 Verificação da 2 a. área 30/06/2008 Comentários sobre a verificação da 2ª área. Divulgação das notas da 2ª área. 02/07/2008 R1 Recuperação da 1 a. área 07/07/2008 R2 Recuperação da 2 a. área 09/07/2008 Divulgação dos conceitos finais. 6

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