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1 1 of 7 7/31/ :56 PM Instituto de Matemática Departamento de Matemática Pura e Aplicada Dados de identificação Período Letivo: 2013/2 Professor Responsável: TERESA TSUKAZAN DE RUIZ Disciplina: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS II Sigla: MAT01167 Créditos: 6 Carga Horária: 90 Súmula Equações diferenciais ordinárias e lineares. Elementos de séries de Fourier, polinômios de Legendre e funções de Bessel. Equações diferenciais lineares a derivadas parciais (problemas de contorno: equações da Física Clássica).

2 2 of 7 7/31/ :56 PM Currículos Currículos Etapa Aconselhada Natureza ENGENHARIA CIVIL 3 Obrigatória ENGENHARIA DE MINAS 3 Obrigatória ENGENHARIA ELÉTRICA 3 Obrigatória ENGENHARIA METALÚRGICA 3 Obrigatória ENGENHARIA MECÂNICA 3 Obrigatória ENGENHARIA QUÍMICA 3 Obrigatória BACHARELADO EM MATEMÁTICA- ÊNFASE MATEMÁTICA PURA 3 Obrigatória LICENCIATURA EM QUÍMICA - (212.03) 3 Obrigatória LICENCIATURA EM QUÍMICA - NOTURNO - (222.00) 5 Obrigatória QUÍMICA INDUSTRIAL V2 3 Obrigatória ENGENHARIA DE ALIMENTOS 3 Obrigatória ENGENHARIA DE MATERIAIS 3 Obrigatória ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO 3 Obrigatória ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 4 Obrigatória ENGENHARIA CARTOGRÁFICA - NOTURNO 3 Obrigatória LICENCIATURA EM FÍSICA - NOTURNO 3 Obrigatória ENGENHARIA AMBIENTAL 3 Obrigatória BIOMEDICINA ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO 3 Obrigatória LICENCIATURA EM FÍSICA - N 3 Obrigatória QUÍMICA INDUSTRIAL - NOTURNO V1 4 Obrigatória QUÍMICA INDUSTRIAL - V1 3 Obrigatória ENGENHARIA DE ENERGIA 3 Obrigatória BACHARELADO EM ENGENHARIA FÍSICA 3 Obrigatória BACHARELADO EM FÍSICA: PESQUISA BÁSICA 3 Obrigatória BACHARELADO EM FÍSICA: FÍSICA COMPUTACIONAL 3 Obrigatória BACHARELADO EM FÍSICA: MATERIAIS E NANOTECNOLOGIA 3 Obrigatória BACHARELADO EM FÍSICA: ASTROFÍSICA 3 Obrigatória BACHARELADO EM QUÍMICA - V3 3 Obrigatória CIÊNCIAS ECONÔMICAS - V3 CIÊNCIAS ECONÔMICAS - NOTURNO CIÊNCIAS ECONÔMICAS - V 2 CIÊNCIAS ECONÔMICAS ENGENHARIA HÍDRICA 3 Obrigatória

3 3 of 7 7/31/ :56 PM Objetivos - Desenvolver no aluno a percepção da importância e do grau de aplicabilidade das equações diferenciais na modelagem matemática de situações concretas. - Capacitar o aluno a equacionar matematicamente problemas da Física Clássica e de outras ciências. - Estudar os métodos básicos de resolução de equações diferenciais. Propiciar ao aluno desenvoltura em classificar e manipular problemas que envolvam equações diferenciais, com técnicas específicas de abordagem, adequadas à resolução de cada um.

4 4 of 7 7/31/ :56 PM Conteúdo Programático Semana Título Conteúdo 1.1 Generalidades sobre Equações Diferenciais Ordinárias: - Conceito e exemplos de equação diferencial, solução particular, solução geral, solução singular, condições iniciais e condições de contorno. - Critérios de classificação de equações diferenciais quanto a ordinárias, parciais, ordem e linearidade. - Problemas de valor inicial e de contorno. - Exemplos de problemas e de aplicações às demais ciências conduzindo a uma equação diferencial ou a um problema de valor inicial. 1 a 3 1 Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem 4 a 6 2. Equações diferenciais de 2ª ordem. 7 a 8 3. EDOL de ordem superior e Sistemas 9 a Séries de Fourier 10 a Equações Diferenciais Parciais 1.2 Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem: - Interpretação geométrica das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem em forma normal: campo de direções. - Equações a variáveis separáveis. - Equações exatas. Fatores integrantes. - Equações lineares. - Equações redutíveis a uma equação linear: equação de Bernoulli. - Estudo qualitativo das equações diferenciais autônomas de 1ª ordem. - Teorema de existência e unicidade. - Modelos de crescimento populacional e outras aplicações das equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Equações diferenciais de 2ª ordem redutíveis à 1ª ordem: equações não envolvendo explicitamente a variável dependente (mas somente suas derivadas) e equações autônomas de 2ª ordem. 2.2 Equações Diferenciais Ordinárias Lineares: - Equações diferenciais lineares de Segunda ordem. - Equações diferenciais lineares homogêneas: espaço vetorial das soluções, princípio de superposição, sistema fundamental de soluções. - Determinação de uma segunda solução linearmente independente a partir de uma solução não trivial conhecida para uma equação linear homogênea de ordem Equações lineares homogêneas a coeficientes constantes. - Equações lineares não homogêneas: método dos coeficientes a determinar, método de variação dos parâmetros. - Aplicações a oscilações mecânicas e elétricas. 3.1 Equações diferenciais lineares de ordem superior. 3.2 Sistemas de equações diferenciais ordinárias lineares. 4.1 Ortogonalidade de um conjunto de funções: - Conjuntos ortogonais e ortonormais em espaços de funções. Sistemas ortogonais completos. - Exemplos de sistemas ortogonais de funções. Ortogonalidade de senos e cossenos. 4.2 Séries de Fourier: - Desenvolvimentos em séries de Fourier. Desenvolvimentos em série de Fourier seno e em séries de Fourier cosseno. 5.1 Difusão unidimensional do calor em uma barra de comprimento finito. Resolução pelo método de separação de variáveis. 5.2 Equação unidimensional da onda. Resolução por separação de variáveis. 5.3 Problemas não homogêneos redutíveis a homogêneos. 5.4 Equação de Laplace. Problema de Dirichlet e de Neumann e sua interpretação física. Resolução em regiões retangulares por separação de variáveis. 6.1 Equação de Cauchy-Euler. 6.2 O laplaciano em coordenadas polares. Problema de Dirichlet e Neumann interior e exterior para o disco, setor circular e anel circular. 6.3 Pontos ordinários de equações diferenciais ordinárias.

5 5 of 7 7/31/ :56 PM Metodologia O programa será desenvolvido em aulas expositivas teórico-práticas. Carga Horária Teórica: 90 horas Prática: 0 horas Experiências de Aprendizagem -No decorrer do curso serão distribuídas listas de exercícios, para maior fixação dos conteúdos apresentados em aula. Haverá também um atendimento extraclasse, em horário a ser combinado com os alunos. -Eventualmente poderão ser desenvolvidas atividades em laboratório computacional. Critérios de Avaliação Será reprovado com conceito FF o aluno que houver deixado de frequentar mais de vinte e cinco por cento da carga horária prevista no plano da disciplina. Os conteúdos programáticos da disciplina serão divididos em 3 unidades de ensino, também chamadas de áreas. Os conteúdos da primeira área são os items 1 ate 2. A segunda área os items 3 a 5 e a terceira área o item6. Serão realizadas três provas escritas, examinando os conhecimentos de cada área. Para ser considerado aprovado na disciplina, é necessário, além de ter uma freqüência mínima de 75%, que o aluno obtenha em cada área nota igual ou superior a 4,0 (quatro) e tenha uma média aritmética (V1+V2+V3)/3 das três áreas igual ou superior a 6,0 (seis). A atribuição dos conceitos aos alunos aprovados ocorrerá em correspondência com a nota final, que é a média aritmética das três notas de área: Com freqüência igual ou superior a 75%: Aprovação A média igual ou superior a 9,0; B média igual ou superior a 7,5 e inferior a 9,0; C média igual ou superior a 6,0 e inferior a 7,5; D média inferior a 6,0 e/ou uma ou mais áreas inferior a quatro. Ao aluno já aprovado pelo critério exposto acima, será facultada a oportunidade de melhorar o seu conceito final, através da realização da prova de recuperação de uma, e somente uma, das áreas. Neste caso valerá a nota mais alta entre a prova original e a prova de recuperação correspondente. A fim de garantir o cumprimento do Art. 132 do Regimento Geral da UFRGS, especialmente no que tange ao parágrafo 3º, todos os alunos da disciplina realização as mesmas provas, em horário único, que lhes será comunicado no primeiro dia de aula. A correção das provas será feita usando critérios previamente acordados pela equipe de professores. No inicio do semestre serão divulgadas na página da disciplina e também em sala de aula, todas as datas das avaliações. No máximo sete dias após a realização da terceira prova, no horário de aula, o aluno será comunicado sobre seu conceito final ou sobre quais serão as atividades de recuperação que deverá realizar. Após 72h, no mínimo, serão realizadas as atividades de recuperação.

6 6 of 7 7/31/ :56 PM Atividades de Recuperação Previstas Recuperação O aluno que não obtiver média superior ou igual a 6,0 (seis) ou que possuir nota inferior a 4,0 (quatro) em alguma área poderá realizar uma prova de recuperação ou o exame final, conforme as regras do item critérios de avaliação, desde que a sua freqüência seja maior ou igual a 75%. Para estes alunos, existem duas possibilidades: i) Prova de recuperação de uma única área, que substituirá a nota da área correspondente no computo da media aritmética e voltam a valer os critérios acima descritos para a aprovação e atribuc de conceitos. Esta modalidade só é permitida ao aluno que tiver obtido apenas uma ou nenhuma nota inferior a 4,0 (quatro). ii) Exame, cujo conteúdo abrangerá toda a matéria da disciplina. Esta modalidade é obrigatória ao aluno que tiver obtido duas notas inferiores a 4,0 (quatro). A nota final é a média ponderada dada por NF= 1/3(MP+2*NE), Onde MP é a média aritmética das notas das provas das três áreas realizadas durante o semestre e NE é a nota do exame. E, neste caso, para ser aprovado, o aluno deverá obter a nota final NF igual ou superior a 5,0 sendo atribuído o conceito final C. A fim de garantir o cumprimento do Art. 132 do Regimento Geral da UFRGS, especialmente no que tange ao parágrafo 3º, todos os alunos da disciplina realização as mesmas provas, em horário único, que lhes será comunicado no primeiro dia de aula. A correção das provas será feita usando critérios previamente acordados pela equipe de professores. A prova de recuperação e o exame final serão aplicados, no mínimo, pelo menos, 72 horas após a divulgação do resultado das provas regulares. No máximo, sete dias após a realização, os resultados serão divulgados.

7 7 of 7 7/31/ :56 PM Bibliografia Básica Essencial C. H. Edwards Jr., D.E. Penney. - Equações Elementares com Problemas de Contorno - Editora LTC (ISBN: ) J. R. Brannan, William E. Boyce - Differential Equations: An Introduction to Modern Method and Application - Editora John Wiley and Sons (ISBN: ) Zill, Dennis G. - Equações diferenciais com aplicações em modelagem - Editora Thomson (ISBN: ; ) Básica Eduardo Brietzke - Notas de aula de Equações Diferenciais II Complementar Asmar, Nakhle - Partial differential equations and boundary value problems - Editora Prentice-Hall (ISBN: ) Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. - Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno - Editora LTC (ISBN: ) Churchill, Ruel Vance; Carvalho, Carlos Alberto Aragao de - Series de Fourier e problemas de valores de contorno - Editora Guanabara Dois Figueiredo, Djairo Guedes de - Análise de Fourier e equações diferenciais parciais - Editora IMPA (ISBN: ) Kreyszig, Erwin - Advanced engineering mathematics - Editora John Wiley (ISBN: ) Simmons, George F. - Differential equations with applications and historical notes - Editora McGraw-Hill Solow, Daniel; Borrelli, Robert L.; Coleman, Courtney S. - Differential equationsa modeling perspective and how to read and do proof - Editora Wiley (ISBN: ) Spiegel, Murray Ralph - Analise de fourier - Editora Mcgraw-Hill do Brasil Tenenbaum, Morris; Pollard, Harry - Ordinary differential equations:an elementary texbook for students of mathematics, engineering, and the sciences. - Editora Harper e Row Zill, Dennis G.; Cullen, Michael R. - Equações diferenciais - Editora São Paulo Zill, Dennis G.; Cullen, Michael R. - Equações diferenciais - Editora São Paulo Outras Referências Não existem outras referências para este plano de ensino. Observações 1. A prova de cada área será realizada num sábado, com duração de 2 horas (120 minutos). As três provas fazem um total de uma semana de aula de 6 horas (360 minutos). 2. Depois de cada aula o professor fará atendimento individual ao aluno de 20 minutos, fazendo que cada encontro com o aluno tenha realmente uma duração de 120 minutos. 3. Alunos de pós-graduação vinculados aos programas de pós-graduação em Matemática e em Matemática Aplicada poderão fazer estágio de docência nesta disciplina.