DAFIS/DAQBI - PPGFCET. Sistemas Complexos. [ M.S. Freitas / UTFPR ] Prof. Mário Sérgio Freitas, Dr. - UTFPR/DAFIS.

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1 DAFIS/DAQBI - PPGFCET Sistemas Complexos Prof. Mário Sérgio Freitas, Dr. - UTFPR/DAFIS msergio58@gmail.com [ M.S. Freitas / UTFPR ]

2 Ementa 0 INTRODUÇÃO 1 REDES BOOLEANAS E AUTÔMATOS CELULARES 2 AUTOSSIMILARIDADE E GEOMETRIA FRACTAL 3 EQUAÇÕES A DIFERENÇAS FINITAS ( MAPAS ) 4 MAPAS BIDIMENSIONAIS 5 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS BIDIMENSIONAIS texto-base: D.Kaplan, L.Glass Understanding Nonlinear Dynamics (Springer, N.Y, 1995).

3 CAP 3 - EQUAÇÕES A DIFERENÇAS FINITAS ( MAPAS ) 1.1. Exemplo para motivação: Contagem em um ecossistema *população de moscas de uma floresta [ M.S. Freitas / UTFPR ]

4 *amostra coletada sempre no mesmo dia do ano *duração do levantamento: 25 anos [fig. 1.1] série temporal como ajustar um modelo matemático? variáveis: * t tempo, dado pelo ANO da contagem (variável DISCRETA) * N t número de moscas no ano t ( ESTADO do sistema, variável CONTÍNUA)

5 primeira simplificação contagem num dado ano: depende apenas da contagem no ano anterior N t +1 = f ( N t ) ( equação a diferenças finitas, ou mapa ) DINÂMICA do sistema: evolução temporal do estado do sistema 1.2. Tipos de comportamento dinâmico num mapa linear suposição mais simples para o exemplo das moscas : N t +1 = R N t (mapa linear) significado de R: relacionado ao número médio de ovos bem-sucedidos postos por mosca solução do mapa obter N t para qualquer t

6 * sendo conhecidos: R (PARÂMETRO) e N 0 (CONDIÇÃO INICIAL) caso linear admite resolução analítica (expressão literal, genérica) determinar N 1, N 2, N 3, etc (SÉRIE TEMPORAL) N 1 = R N 0 N 2 = R N 1 = R (R N 0 ) = R 2 N 0 N 3 =... = R 3 N 0... N t = R t N 0 (válido para quaisquer valores de R e N 0 ) influência do valor de R na série temporal : * no exemplo das moscas: só fazem sentido valores de R positivos 0 < R < 1 decaimento [fig 1.2 ] R > 1 crescimento [fig. 1.3 ] R = 1 estado estacionário [fig. 1.4 ]

7 * outros exemplos: R<0 pode ter uma interpretação relevante -1 < R < 0 decaimento alternado [fig. 1.5 ] R < -1 crescimento alternado [fig. 1.6 ] R = -1 ciclo periódico [fig. 1.7 ] 1.3. Métodos de iteração para mapas casos não-lineares: solução analítica pouco viável série temporal: obtida graficamente ou numericamente *sendo conhecida a equação a diferenças finitas para cada: valor numérico do parâmetro valor numérico da condição inicial obter: uma solução particular do mapa

8 a) método gráfico da teia de aranha ( cobweb method ) eixos no plano: N t +1 versus N t traça-se a função N t +1 = f ( N t ) traça-se a BISSETRIZ do plano N t +1 = N t [fig. 1.8 ] *passos do procedimento: reta vertical de N 0 até a função reta horizontal da função até a bissetriz (está acima de N 1 ) reta vertical a bissetriz até a função reta horizontal da função até a bissetriz (está acima de N 2 ) e assim recursivamente

9 b) método de iteração numérica apropriado para programar em computador ou calculadora * série temporal obtida recursivamente exemplo: N t +1 = R N t com R = 0.9 e N 0 = 100 N 0 = 100 N 1 = 0.9 x 100 = 90 N 2 = 0.9 x 90 = 81 N 3 = 0.9 x 81 = vantagem do método da teia de aranha : * fácil visualização e compreensão da dinâmica vantagem do método de iteração numérica: * a precisão não é limitada por recursos gráficos

10 1.4. Tipos de dinâmica num mapa não-linear * voltando às medidas no exemplo das moscas: não se ajustam a nenhum comportamento de mapa linear a equação linear só vale para valores pequenos de N t * taxa de crescimento: deve diminuir com o aumento de N t (regida por um novo parâmetro b) * o novo modelo estará levando em conta: competição por alimento perda de fertilidade por subnutrição aumento da taxa de predação, etc N t +1 = (R b N t ) N t ou N t +1 = R N t b N t 2 (mapa não-linear)

11 modelo normalizado pela mudança de variáveis x t = ( b N t / R ) resulta x t + 1 = R x t ( 1 x t ) ( mapa quadrático ou mapa logístico ) intervalo de variação de x: 0.0 < x < 1.0 intervalo de variação de R: 0.0 < R < 4.0 * investigação dos tipos de comportamento: fixa um valor para R arbitra um valor para x 0 aplica o método da teia de aranha esquematiza a série temporal N = N (t)

12 a) R= 1.5 x t + 1 = 1.5 x t ( 1 x t ) traça a curva com os eixos x t+1 e x t traça a bissetriz do plano x t+1 = x t [fig. 1.9 ] arbitra x 0 = 0.1 constrói as iterações (teia de aranha) resultado depois de algumas iterações: estado do sistema: aproxima-se cada vez mais de x t = 0.33 tipo de comportamento final para R = 1.5: estado estacionário (aproximação monotônica) [fig. 1.10] obs: o estado final independe da escolha de x 0 (para este mapa)

13 b) R = 2.9 x t + 1 = 2.9 x t ( 1 x t ) repetindo o mesmo procedimento (com x 0 = 0.1) estado do sistema: aproxima-se cada vez mais de x t = 0.65 [fig. 1.11] tipo de comportamento final para R = 2.9: estado estacionário (aproximação alternada) c) R = 3.3 x t + 1 = 3.3 x t ( 1 x t ) teia de aranha com x 0 = 0.2: estado do sistema: tende a se alternar em 2 valores (0.48 ; 0.82) tipo de comportamento final para R = 3.3: ciclo periódico (duração de 2 iterações) [fig ] [fig ]

14 d) R = 3.52 x t + 1 = 3.52 x t ( 1 x t ) teia de aranha com x 0 = 0.2: estado do sistema: tende a se alternar em 4 valores (0.51; 0.88; 0.37; 0.82) tipo de comportamento final para R = 3.52: ciclo periódico (duração de 4 iterações) [fig ] e) R = 4.0 x t + 1 = 4.0 x t ( 1 x t ) teia de aranha com x 0 = 0.2: estado do sistema: tende a visitar valores de forma irregular tipo de comportamento final para R = 4.0: [fig. 1.16] [fig ] caos (nunca se repete, é aperiódico)

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16 1.5. Estados Estacionários: Estabilidade * propriedade de um estado estacionário: x t +1 = x t caracterização matemática: para a equação a diferenças x t +1 = f (x t ) propriedade de um ponto fixo x* : x* t = f ( x* t ) questões relevantes para um dado mapa: existe algum ponto fixo x*? dado um estado próximo de x*, as iterações seguintes se aproximam de x*? ( nesse caso, x* é dito localmente estável ) dado um estado qualquer, as iterações se aproximam de x*? ( nesse caso, x* é dito globalmente estável )

17 COMO ENCONTRAR PONTOS FIXOS? num mapa linear: x* t = R x* t solução única (para R 1): x* t = 0 ( zero moscas num ano, zero no ano seguinte! ) num mapa não-linear: x* t = f ( x* t ) podem coexistir vários pontos fixos algebricamente: raízes da equação x* t = f ( x* t ) ex: mapa logístico x t = 0 ; x t = (R 1)/R graficamente: interseções da curva do mapa com a bissetriz exs: mapa logístico com R = 2.9 e R = 3.52 [fig. 1.17] e [fig. 1.18] (nível auto-sustentável da população de moscas)

18 ESTABILIDADE LOCAL DE UM PONTO FIXO num mapa linear: x* t = R x* t critério de estabilidade local: valor da inclinação R da reta x t +1 = R x t * iterações de um estado próximo de x* t = 0: para R < 1 aproximam-se de x* t para R > 1 afastam-se de x* t num mapa não-linear: x* t = f ( x* t ) critério de estabilidade local: valor m da derivada de x t +1 = f ( x t ) em x* df dx análise local: por mudança de variável y t = x t x* no gráfico y t +1 versus y t : o ponto fixo x* aparece na origem traça a bissetriz e constrói a teia de aranha t x* m

19 casos possíveis: a) m > 1 (ex: m = 1.9) [fig ] tipo de comportamento local: crescimento monotônico b) 0 < m < 1 (ex: m = 0.5) [ fig 1.20 ] tipo de comportamento local: decaimento monotônico c) - 1 < m < 0 (ex: m = -0.5) [ fig 1.21 ] tipo de comportamento local: decaimento alternado d) m < - 1 (ex: m = -1.9) [ fig 1.22 ] tipo de comportamento local: crescimento alternado

20 resumo: * encontra os pontos fixos do mapa; * para cada ponto fixo: calcula a derivada do mapa no ponto interpreta a inclinação m da derivada m > 1 m < 1 m > 0 m < 0 INSTÁVEL INSTÁVEL crescimento monotônico crescimento oscilatório ESTÁVEL ESTÁVEL decaimento monotônico decaimento oscilatório OBS: estabilidade local: x x* para t (a aproximação para o ponto fixo é assintótica) x* : dinâmica ASSINTÓTICA x 0, x 1, x 2,... : dinâmica TRANSIENTE ex: [fig 1.10] série temporal p/ x 0 = 0.1 (transiente): x 10 = ; x 11 = ; x 12 = ; etc estado assintótico: x* = 1/3 =

21 ESTABILIDADE GLOBAL (o estado inicial pode não ser próximo de x*) num mapa linear: x* t = R x* t ponto fixo único: x* = 0 se x*=0 for localmente estável: será também globalmente estável num mapa não-linear: x* t = f ( x* t ) se houver mais de um ponto fixo * nenhum deles poderá ser globalmente estável * se mais de um deles for localmente estável: sistema dinâmico MULTIESTÁVEL * para cada ponto fixo localmente estável: conjunto de condições iniciais que levam a ele BACIA DE ATRAÇÃO do ponto fixo

22 1.6. Ciclos Periódicos: Estabilidade ciclo = padrão repetitivo de estados se x t+j x t para j < n : n é o PERÍODO do ciclo condição: x t +n = x t CORRESPONDÊNCIA ENTRE CICLOS PERIÓDICOS E PONTOS FIXOS ex: mapa logístico com R = 3.3; ciclo com n = 2 x t +2 = f ( x t +1 ) = f ( f ( x t ) ) ( polinômio do quarto grau 4 raízes ) a curva x t +2 = f (x t ) intercepta a bissetriz pontos fixos do mapa de segundo retorno : 2 pontos fixos do mapa de primeiro retorno : 2 [fig ]

23 estabilidade de um ciclo de período n: *pontos fixos do mapa de n-ésimo retorno (mesmo m para todos) se m < 1: ciclo localmente estável se m > 1: ciclo localmente instável ex: mapa logístico com R = 4 x t +1 = f ( x t ) só tem pontos fixos instáveis [ fig ] x t +2 = f ( x t ) só tem pontos fixos instáveis [ fig ] x t +3 = f ( x t ) só tem pontos fixos instáveis [ fig ] x t +4 = f ( x t ) só tem pontos fixos instáveis [ fig ] conclusão: não existem ciclos periódicos estáveis como fica então o comportamento dinâmico?

24 1.7. Caos conceito : dinâmica limitada e aperiódica em um sistema determinístico,com dependência sensível às condições iniciais duas inicializações ligeiramente diferentes: x 0 = (pontos); x 0 = (círculos) APERIÓDICO os estados do sistema nunca se repetem LIMITADO a dinâmica nunca tende a infinito ex mapa logístico com R = 4 [fig ] DETERMINÍSTICO cada estado é absolutamente determinado pelo anterior SENSIBILIDADE ÀS CONDIÇÕES INICIAIS obstrução da previsibilidade a longo prazo

25 TRANSIÇÃO PARA O CAOS POR DUPLICAÇÕES DE PERÍODO ( rota de Feigenbaum ) conceito de bifurcação : mudança qualitativa no comportamento causada por variação de um parâmetro num mapa linear: x t +1 = R x t * ocorre bifurcação para R = 1 (decaimento crescimento) num mapa não-linear: * ocorrem diversos tipos de bifurcação duplicação de período num valor R: * um ciclo de período n perde estabilidade * um ciclo de período 2n ganha estabilidade cascata de duplicações de período: * seqüência de valores de R * a dinâmica tende a um ciclo infinito (caos)

26 ex: mapa logístico x t +1 = R x t ( 1 x t ) variação de R estado assintótico 0.0 < R < 3.0 ponto fixo 3.0 < R < ciclo estável de período < R < ciclo estável de período < R < ciclo estável de período < R < ciclo estável de período 16 R o período tende a < R < 4.0 caos (e janelas periódicas ) diagrama de bifurcações: [fig. 1.31] panorama dinâmico: [fig. 1.32]

27 Mitchell Feigenbaum ( ) * identificação de uma cascata de bifurcações * determinação de uma constante de universalidade (1978) [ [

28 UNIVERSALIDADE valores de bifurcação na tabela: lei universal lim n R R 2n n 4n R R 2n * (número de Feigenbaum): vale não só para o mapa logístico qualquer mapa com uma única corcova características: 1.8. Comportamento Quase-Periódico * aperiódico, limitado, determinístico * sem a sensibilidade às condições iniciais * sem estados estacionários, ciclos, ou caos * exemplos: (no mapa logístico, não ocorre para nenhum R)

29 em outro mapa unidimensional: x t x 1 t 1 (mod1) x 0 = 0.200; x 1 = 0.518; x 2 = 0.837; x 3 = [fig ] * para qualquer irracional no lugar de (1/ ) : a dinâmica também é quase-periódica exemplos de aplicação em sistemas reais: * fluxo de Couette-Taylor em fluidos * circuitos com efeitos resistivos não-lineares * formação de padrões geométricos em vegetais ( série de Fibonacci ) * interação entre marca-passos em cardiologia, etc

30 terminologia associada a essa dinâmica: ( para ocasião de um estudo mais minucioso ) travamento de freqüências ( mode-locking ) número de rotação ( winding number ) toros irracionais bifurcação de Hopf rota para o caos de Ruelle-Takens-Newhouse línguas de Arnold escada do diabo atrator estranho não-caótico, etc

31 produzido na UTFPR! (PIBIC-JR 2009)

32 ... continua (CAPs 4 e 5)