Caos determinístico e mapa logístico num circuito RLD FAP0214 Física Experimental IV 2008/1. Manfredo Harri Tabacniks IFUSP

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1 Caos determinístico e mapa logístico num circuito RLD FAP0214 Física Experimental IV 2008/1 Manfredo Harri Tabacniks IFUSP

2 Revendo atividade da semana passada Como medir R L a partir da figura de Lissajous?

3 O indutor real pode ser modelado como um indutor ideal em série com um resistor LC ideal Na ressonância em corrente: ω=ω 0 = 1 LC V = V L L V C V C

4 O indutor real pode ser modelado como um indutor ideal em série com um resistor LC real A tensão medida na bobina é V B V = V + V B 2 L 2 RL V = V L L V C V B V C V RL V C Se V C =0 V L = 0

5 O indutor real pode ser modelado como um indutor ideal em série com um resistor Quando V D V B V RL V C Na ressonância em corrente V L = j L LC V D = + ω=ω 0 = i 2 V L V 2 0 C 0 1 LC V C = j LC C i V C =0 V L = 0 V C = máximo V L = máximo V D = i 2 0 L C assim 2V 2V RL D = R 2 L C

6 O indutor real pode ser modelado como um indutor ideal em série com um resistor 2V D V B Na ressonância em corrente 2V RL ω=ω 0 = 1 LC V C V L = j L LC i V C = j LC C i 2V R 0 R = 2VD L L 2 V D = i0 2 C C VRL= i0r L

7 Retornando ao diagrama logístico e caos no circuito RLD

8 Leituras sugeridas Textos gerais sobre caos sunsite.dcc.uchile.cl/nuevo/ciencia/cienciaaldia/volumen3/numero2/articulos/v3n2a4v1.pdf Diagramas e Fractais Plot de Feigenbaum e mapa logístico Modelo do diodo e equação diferencial

9 Mapa logístico Motivação: Seja X n a população de uma determinada espécie na geração n. A cada geração uma parte da população morre e filhotes nascem.o numero de indivíduos na geração seguinte deve ser aproximadamente proporcional ao numero de indivíduos na geração anterior: X n+1 = µ X n onde o parâmetro µ > 1 representa a taxa de crescimento Se a população fica muito grande pode faltar comida. Então a taxa de crescimento não pode ser constante. Substituímos µ por µ(1-x n /X c ) onde X c é o maior numero de indivíduos que pode sobreviver com os recursos existentes. + = x = (1 ) n µ x + 1 n xn X n 1 X n X n µ (1 ) X X X c c c

10 Número de Feigenbaum Bifurcações de período Rota mais comum para o caos (cenário de Feigenbaum) Duplicação dos atratores lim n = ( µ n µ n 1 ) ( µ µ ) n+ 1 n = δ δ = 4, Prof. Alexandre Suaide - IFUSP

11 Calculando o mapa logístico Dois métodos de cálculo Excel Fazer uma planilha e observar como as gerações evoluem com os parâmetros iniciais Veja planilhas exemplo: x = rx (1 x n+ 1 n n ) Método gráfico Diagrama de teia Efeito visual mais direto mas depende de um pouco de habilidade gráfica Só por curiosidade... Prof. Alexandre Suaide - IFUSP

12 Calculando o mapa logístico: Diagrama de teia f ( x) = x f ( x) = rx(1 x) População atinge estabilidade População morre com o tempo População em estado caótico Recolher os valores finais de x (r) e graficá-los contra r

13 Mapa logístico Veja: Página Veja: Depois de testar um pouco a página, recarregue-a, clique 3 vezes em new message e depois em auto. Note como é construído o diagrama de feigenbaum variando a e registrando os correspondentes valores de y (gráfico azul). Um applet diferente que também constrói um mapa logístico. Veja as planilhas exemplo

14 Objetivos Estudar o comportamento de um circuito RLD Determinar seu mapa logístico V 0 >3V Estimar o número de Feigenbaum Metodologia Estudar um circuito RLC série (L~1mHy(azul), C~1µF, R~1Ω) Medir V R e V C com osciloscópio em modo XY em torno da freqüência de ressonância. Graficar V C em função de ω=2πf. Ajustar um modelo teórico. Veja planilha exemplo em Fazendo V 0 > 3V, observar V D x V G em modo XY e Yt no osciloscópio. Use o gatilho no sinal de V G e procure estabilizar a imagem; Para f aproximadamente >10kHz e mantendo V G fixo, determine as freqüências em que ocorre duplicação de caminhos; Verifique se essas freqüências de transição evoluem conforme previsto pelo número de Feigenbaum; Agora, com mais cuidado, meça e grafique V D max em função de ω, nos intervalos de ω em que isso for possível.

15 A. Suaide. FAP0214, IFUSP, 2008 Circuito RLD

16 O DIODO Ânodo Cátodo a seta indica o sentido da corrente elétrica convencional Bibliografia diodo ~ capacitor

17 O DIODO SEMICONDUTOR de Si P N Tome-se um semicondutor (Si) intrínseco (neutro) Difundem-se impuresas......pentavalentes (As, P) para formar um Si tipo N e...trivalentes (B ou Al) para formar Si tipo P. vacâncias e elétrons relativamente livres para se mover, mas no todo os materiais são neutros. Ao conectar 2 semicondutores tipo P e tipo N alguns elétrons e vacâncias na interface se atraem e recombinam criando uma região neutra (depletada = sem portadores de carga livres). O resultado é um saldo + do lado N e um saldo - do lado P. O saldo de cargas cria um campo elétrico no material E Recombinação. Não há portadores de carga livres. Região isolante depletada de cargas móveis = CAPACITOR O campo elétrico, cresce até impedir o movimento de cargas.

18 O DIODO SEMICONDUTOR de Si i E Ânodo Cátodo P N P N Carga líquida remanescente Polarização direta: Um potencial positivo no terminal P, reduz (e eventualmente reverte) o campo elétrico. O diodo conduz. Polarização reversa: Um potencial negativo no terminal P, aumenta o campo elétrico e impede o movimento de cargas até eventual ruptura do dielétrico.

19 polarização direta

20 ATIVIDADES DA SEMANA (RLD) INDUTOR DIODO A. Suaide e 20

21 MUDANDO DE X-T PARA X-Y Clicar o botão DISPLAY do osciloscópio Selecionar FORMATO no menu de tela CH2 V D V D V G CH1 V G A. Suaide e 21

22 V G ~3V E. S de Toledo, A. Suaide e

23 E. S de Toledo, A. Suaide e