Física no computador. Marcio Argollo de Menezes UFF Niterói

Transcrição

1 Física no computador Marcio Argollo de Menezes UFF Niterói

2 ... não se pode provar tudo determinismo não é previsibilidade!

3 ... não se pode provar tudo... Automata celulares Números no computador Caos determinístico... determinismo não é previsibilidade!

4 Automata celulares John von Neumann, 1966

5 Automata celulares John von Neumann, 1966 Máquinas (automata) cujo algoritmo consiste em reunir peças e criar cópias de si mesmas.

6 Automata celulares John von Neumann, 1966 Máquinas (automata) cujo algoritmo consiste em reunir peças e criar cópias de si mesmas. E. Schroedinger, 1944 DNA como cristal aperiódico

7 Automata celulares John von Neumann, 1966 Máquinas (automata) cujo algoritmo consiste em reunir peças e criar cópias de si mesmas. S. Wolfram, 1983 Statistical Mechanics of Cellular Automata, Review of Modern Physics, 55, (1983) Regras simples gerando comportamentos complexos

8 Automata celulares de Wolfram Statistical Mechanics of Cellular Automata, RMP 55, 601 (1983) Sistema físico composto por unidades discretas evoluindo em passos discretos de tempo Evolução de cada elemento depende do estado de sua vizinhança local. ex: Regra 90

9 Representação de números no computador: números inteiros Representação decimal Representação binária Operações aritméticas

10 Representação de números no computador: números inteiros Representação decimal Representação binária Operações aritméticas vai um

11 Representação de números no computador: números inteiros Representação decimal Representação binária Operações aritméticas vai um

12 Representação de números no computador: números inteiros Representação decimal Representação binária Operações aritméticas com números binários Operações aritméticas vai um =0+1=1 1+1=

13 Representação de números no computador: números inteiros Representação decimal Representação binária Operações aritméticas vai um Operações aritméticas com números binários vai um =0+1= =

14 Representação de números no computador: números inteiros Representação decimal Representação binária Operações aritméticas com números binários Operações aritméticas =0+1=1 1+1=

15 Representação de números no computador: números inteiros Representação decimal Representação binária Operações aritméticas Operações booleanas com números binários ~0=1 ~1=0 not (~) 1 0=0 1=1 1 1=1 0 0=0 ou ( e (&) x-ou ( ) 1&0=0&1=0 1&1=1 0&0=0 1 0=0 1=1 1 1=0 0 0=0 Não tem vai um Efetuadas em paralelo &

16 Representação de números no computador: números inteiros Representação decimal Representação binária Operações aritméticas Operações booleanas com números binários ~0=1 ~1=0 not (~) 1 0=0 1=1 1 1=1 0 0=0 ou ( e (&) x-ou ( ) 1&0=0&1=0 1&1=1 0&0=0 1 0=0 1=1 1 1=0 0 0=0 Não tem vai um Efetuadas em paralelo Em computadores pessoais N=32 ou N= &

17 Representação de números no computador: números inteiros De volta à regra 90

18 Representação de números no computador: números inteiros De volta à regra 90

19 Classificação de Wolfram: a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 Regra x: Resultado da evolução de um elemento dada a sua vizinhança local ou tabela verdade, escrito como um número x em binário (base 2) Ver programas automata.c e automata_multispin.c

20 Porque são interessantes? S. Wolfram, Statistical Mechanics of Cellular Automata, RMP 55, 601 (1983) Modelos simples, com regras finitas, geram complexidade infinita (alguns) Regra 110 é Turing-completa (emula computador universal) Regra 30 serve como gerador de sequências pseudo-aleatorias no computador Importante para simular processos estocásticos! Regra 90 gera o fractal de Sierpinski a partir de um simples elemento =1

21 Porque são interessantes? S. Wolfram, Statistical Mechanics of Cellular Automata, RMP 55, 601 (1983) Modelos simples, com regras finitas, geram complexidade infinita Regra 110 é Turing-completa (emula computador universal) Regra 30 serve como gerador de sequências pseudo-aleatorias no computador Importante para simular processos estocásticos! Regra 90 gera o fractal de Sierpinski a partir de um simples elemento =1 Ver programa sierpinski.c

22 Órbita de planetas: Poincaré e o caos determinístico 1887 Problema de 3 corpos apresenta soluções com sensitividade às condições iniciais

23 Órbita de planetas: Poincaré e o caos determinístico 1887 Problema de 3 corpos apresenta soluções com sensitividade às condições iniciais Dinâmica no espaço de fase

24 Órbita de planetas: Poincaré e o caos determinístico 1887 Problema de 3 corpos apresenta soluções com sensitividade às condições iniciais Dinâmica no espaço de fase Seções de Poincaré: mapeamendo da dinâmica contínua em dinâmica discreta

25 Órbita de planetas: Poincaré e o caos determinístico 1887 Problema de 3 corpos apresenta soluções com sensitividade às condições iniciais Dinâmica no espaço de fase Seções de Poincaré: mapeamendo da dinâmica contínua em dinâmica discreta

26 Órbita de planetas: Poincaré e o caos determinístico 1887 Problema de 3 corpos apresenta soluções com sensitividade às condições iniciais Dinâmica no espaço de fase Seções de Poincaré: mapeamendo da dinâmica contínua em dinâmica discreta Caos em sistemas dissipativos: bifurcações e rota para o caos Predrag Cvitanović, Universality in chaos (or, Feigenbaum for cyclists), Acta Phys. Polonica A65, 203 (1984)

27 O mapa logístico Paradigma de sistema determinístico caótico Modelo de população em meio de capacidade finita Simple mathematical models with very complicated dynamics R.M.May, Nature 261, 459 (1976)

28 O mapa logístico Paradigma de sistema determinístico caótico Modelo de população em meio de capacidade finita Diferentes regimes dinâmicos

29 O mapa logístico =2.9 Paradigma de sistema determinístico caótico Modelo de população em meio de capacidade finita Diferentes regimes dinâmicos: ponto fixo =2.9 Ver programa logistic.c

30 O mapa logístico =3.1 Paradigma de sistema determinístico caótico Modelo de população em meio de capacidade finita Diferentes regimes dinâmicos: ciclo limite =3.1 Ver programa logistic.c

31 O mapa logístico =3.9 Paradigma de sistema determinístico caótico Modelo de população em meio de capacidade finita Diferentes regimes dinâmicos: caos =3.9 Ver programa logistic.c

32 x* O mapa logístico: Diagrama de bifurcação Ver programa bifurcacao.c

33 Pontos fixos e análise de estabilidade O mapa logístico admite solução estacionária x*=f(x*) onde x* é o ponto fixo. Para ser estável,um ponto próximo xn=x*+ n deve convergir iterativamente para x* sendo f(x*)=x* e escrevendo xn+1=x*+ Se C <1 o ponto fixo x* é estável n+1

34 Para o mapa logístico e os pontos fixos são Sendo O ponto fixo x*=0 é estável na região 0< <1 (C= ). O ponto fixo x*=1-1/ é estável na região 1< <3 (C=2- ) Para valores maiores de nenhum ponto fixo é estável.

35 Para o mapa logístico e os pontos fixos são Sendo O ponto fixo x*=0 é estável na região 0< <1 (C= ). O ponto fixo x*=1-1/ é estável na região 1< <3 (C=2- ) Para valores maiores de nenhum ponto fixo é estável.

36 Para o mapa logístico e os pontos fixos são Sendo O ponto fixo x*=0 é estável na região 0< <1 (C= ). O ponto fixo x*=1-1/ é estável na região 1< <3 (C=2- ) Para valores maiores de nenhum ponto fixo é estável.

37 Ciclos-limite de período 2 são pontos fixos de xn+2=xn onde xn+2=f(f(xn)) e e

38 Ciclos-limite de período 2 são pontos fixos de xn+2=xn onde xn+2=f(f(xn)) pontos fixos (agora instáveis) Estabilidade do ciclo-limite: Pela regra da cadeia:

39 Ciclos-limite de período 2 são pontos fixos de xn+2=xn onde xn+2=f(f(xn)) pontos fixos (agora instáveis) Estabilidade do ciclo-limite:

40 Ciclos-limite de período 2 são pontos fixos de xn+2=xn onde xn+2=f(f(xn)) pontos fixos (agora instáveis) Estabilidade do ciclo-limite:

41 Estabilidade do ciclo-limite:

42 As duplicações de período seguem * até o ponto de acumulação = * Caos, Nelson F.Ferrara e Carmen Cintra do Prado, ed. Edgar Blücher

43 Após = temos caos, com janelas de comportamento periódico

44 Após = temos caos, com janelas de comportamento periódico Como mensurar o caos?

45 Expoente de Lyapunov Mede sensitividade às condições iniciais/taxa de crescimento da incerteza Dado o mapa xn+1=f(xn) e sejam x0 e y0 duas condições iniciais

46 Expoente de Lyapunov Mede sensitividade às condições iniciais/taxa de crescimento da incerteza Dado o mapa xn+1=f(xn) e sejam x0 e y0 duas condições iniciais Pela regra da cadeia e obtemos

47 x* Expoente de Lyapunov

48 x* Expoente de Lyapunov