SIMULAÇÃO DINÂMICA DE UM TREM COM TRÊS VAGÕES RESUMO

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1 Mostra Nacional de Iniciação Científica e Tecnológica Interdisciplinar III MICTI Fórum Nacional de Iniciação Científica no Ensino Médio e Técnico - I FONAIC-EMT Camboriú, SC, 22, 23 e 24 de abril de 2009 Universidade Federal de Santa Catarina - Colégio Agrícola de Camboriú SIMULAÇÃO DINÂMICA DE UM TREM COM TRÊS VAGÕES Rafael Barreto Ramos 1, Marcio Fantini Miranda 2 RESUMO O projeto consiste na modelagem e simulação do sistema de um trem com uma máquina e três vagões, com a finalidade de analisar seu comportamento e, futuramente, efetuar seu controle. A metodologia é, através da equação do sistema, simulá-lo a partir de programação em softwares especializados. Com a simulação, foi possibilitada a criação de situações em que foi analisado o comportamento do sistema. Esta simulação é essencial para o entendimento e futuro controle do sistema. A abordagem inclui o estudo de sistemas dinâmicos,contínuos e discretos, sendo esses últimos descritos por equações de diferenças. Palavras-chave: modelagem, simulação, sistema discreto, equação de diferença, controle, programação 1 INTRODUÇÃO 1.1 Objetivos O objetivo principal dessa pesquisa é estudar, a partir de programas de computador, o comportamento de um sistema dinâmico não linear constituído por um trem com uma máquina e três vagões. Para isso, os seguintes objetivos específicos são definidos: 1. Estudo da teoria de Sistemas Dinâmicos (principalmente lineares) 2. Estudo do ferramental matemático necessários (introdução ao Cálculo Diferencial e Integral) 3. Estudo de ferramentas de programação 4. Estudo da teoria básica de Sistemas de Controle 1 Aluno do Colégio Técnico da UFMG. rafafox@limao.com.br 2 Orientador

2 2 Dentro desse objetivo, desenvolveu-se um programa que, com valores iniciais, preveja o comportamento do sistema (no caso o trem com seus vagões) para que, posteriormente, seja efetuado o controle deste. 1.2 Motivação e Histórico Este projeto foi motivado por uma monografia de Projeto Final de Curso, do Curso de Engenharia de Controle e Automação da UFMG estudada pelo autor (Mariana, 2007). Essa dissertação consiste no estudo de técnicas de controle para um sistema de um ar condicionado por meio de programas de computador. A base do controle desses sistemas é a mesma, sendo utilizado o processo de desenvolvimento para dar início a um novo controle em outra área de atuação. A partir do conhecimento e do interesse por sistemas de controle, iniciou-se o estudo da matemática necessária para o entendimento da teoria de controle e de sistemas, incluindo a noção de derivada, integral, sistema dinâmico, sinais e conceitos correlatos. Além da noção de programação. Em seguida a esse estudo foram estudados alguns sistemas mecânicos e por fim, optou-se por trabalhar com a questão do posicionamento de um trem, composto de uma máquina e três vagões. Esse sistema pode ser encontrado nos trabalhos de Tanaka, principalmente no livro Trajectory control of a vehicle with multiple trailers, ( Kazuo Tanaka, Hua O. Wang) de A partir do livro acima mencionado, as equações do sistema foram obtidas, estuadas e implementadas. 1.3 Revisão da Teoria Um conceito essencial para o entendimento desta pesquisa é o de sistemas: Sistema é um conjunto de componentes interconectados, que apresentam certas relações de causa e efeito e que atuam como um todo, com um determinado objetivo. (Eduardo Oda, p.1) Existem dois tipos de sistemas: estático e dinâmico. Sistema estático é aquele em que as propriedades descritivas do sistema não variam com o tempo,

3 3 podendo variar espacialmente. Já no sistema dinâmico tais propriedades variam no tempo, podendo variar também no espaço. (Eduardo Oda p.1) Sistemas também são classificados como lineares e não-lineares. Um sistema linear é aquele em que respostas a diferentes entradas podem ser obtidas separadamente e depois combinadas linearmente e envolve apenas derivadas de primeira ordem; e um sistema não-linear é classificado como não determinista, onde as implicações dos seus integrantes individualmente são aleatórias e não previsíveis. Estes sistemas evoluem no domínio do tempo com um comportamento desequilibrado e aperiódico, onde o seu estado futuro é extremamente dependente de seu estado atual, e pode ser mudado radicalmente a partir de pequenas mudanças no presente. Se um sistema submetido a uma entrada contínua no tempo, apresentar uma saída também contínua, ele é chamado de sistema contínuo e o seu modelo matemático será constituído por equações diferenciais. Por outro lado, se um sistema submetido a uma entrada discreta no tempo (uma seqüência de números), apresentar uma saída também discreta (outra seqüência de números), ele é chamado de sistema discreto e o seu modelo matemático será constituído por equações a diferenças finitas. Um sistema pode ser representado por dois tipos de equações, sendo elas: (i) Equação diferencial, que é uma equação que envolve derivadas de primeira ordem ou superior; e (ii) por uma função ou equação de diferença, que é a versão discreta de uma equação diferencial. No sistema analisado não há controle, portanto este está em malha aberta, onde há uma entrada, que passa pelo sistema e gera uma saída (figura 1). malha aberta Figura 1: Sistema em No sistema de malha fechada (figura 2) há uma entrada, esta entrada (sinal referência) é subtraída da saída do sistema, gerando um erro, que passa pelo controlador. O controlador deve ser projetado para reduzir o erro (com o tempo), fazendo com que o sistema se comporte conforme o desejado.

4 4 Sistema em malha fechada Figura 2: 2 METODOLOGIA O projeto foi iniciado no dia primeiro de junho de 2007, tendo como local de pesquisa o setor de informática do colégio técnico da UFMG, e ainda está em andamento. Primeiramente, o estudo focou-se na parte teórica, sendo feito através de livros de cálculo e de controle e automação (Cálculo com Geometria analítica, Simmons Vol 1 e 2; Engenharia de Controle Moderno, Katisuhiko Ogata). Com a parte teórica bem estruturada, foi possível dar início à aplicação desses conceitos para a utilização das equações do sistema. Como é necessária a visualização dos gráficos das equações para a análise do comportamento do sistema, passamos a fazer o uso do programa MATLAB, que simula o comportamento deste ao longo do tempo e apresenta esses dados de forma gráfica. Inicialmente, para um melhor entendimento do funcionamento do MATLAB, foram simulados alguns sistemas em s através do Simulink (ferramenta do MATLAB). Logo após, foi iniciada a construção do programa e, como o MATLAB trabalha com equações discretas, não é possível a passagem direta das equações para o programa, sendo necessária a conversão destas equações contínuas. Feita a conversão e terminado o programa, foram propostas três situações iniciais para o sistema em que foi feita a análise do comportamento deste em cada uma das situações, através de gráficos e discussões.

5 5 3 RESULTADOS E DISCUSSÃO 3.1 Equações do Sistema x0(t+1)=x0(t)+v*dt/l*u(t); x1(t+1)=(1-v*dt/m)*x0(t)+v*dt/l*u(t); x2(t+1)=x2(k)+v*dt/m*x1(t); x3(t+1)=(1-v*dt/m)*x3(t)+v*dt/m*x1(t); x4(t+1)=x4(t)+v*dt/m*x3(t); x5(t+1)=(1-v*dt/m)*x5(t)+v*dt/m*x3(t); x6(t+1)=x6(t)+v*dt/m*x5(t); x7(t+1)=x7(t)+v*dt*cos(x5(t))*sin(x6(t+1)+x6(t)/2); x8(t+1)=x8(t)+v*dt*cos(x5(t))*cos(x6(t+1)+x6(t)/2); Onde: l é o comprimento da máquina; dt é a variação do tempo; v é a velocidade do trem; u(t) é o ângulo de viragem do trem; m é distância entre o final da maquina e o final do primeiro vagão, entre o final do primeiro vagão e o final do segundo vagão e entre o final do segundo vagão e o final do terceiro vagão;. x0 é o ângulo da maquina em relação eixo das abscissas do plano; x1 é o ângulo da diferença entre a maquina e o primeiro vagão; x2 é o ângulo do primeiro vagão em relação eixo das abscissas do plano; x3 é o ângulo da diferença entre o primeiro vagão e o segundo; x4 é o ângulo do segundo vagão em relação eixo das abscissas do plano; x5 é o ângulo da diferença entre o segundo vagão e o terceiro; x6 é o ângulo do terceiro vagão em relação eixo das abscissas do plano; x7 é a posição vertical da parte traseira do terceiro vagão; x8 é a posição horizontal da parte traseira do terceiro vagão. Figura 3: Modelo do trem com três vagões

6 6 3.2 Situações para Simulação Situação 1: x0(0)=10, x1(0)=15, x2(0)=8, x3(0)=10, x4(0)=23, x5(0)=15, x6(0)=18, x7(0)=0, x8(0)=0, l=0.087m, m=0.130m, v=-0.10m/seg, dt=0.5seg e u(t)=0 Figura 4: Comportamento do sistema na situação 1 Situação 2: x0(0)=15, x1(0)=5, x2(0)=8, x3(0)=13, x4(0)=20, x5(0)=30, x6(0)=7, x7(0)=0, x8(0)=0, l=0.087m, m=0.130m, v=-0.10m/seg, dt=0.5seg e u(t)=50

7 7 Figura 5: Comportamento do sistema na situação 2 Situação 3: x0(0)=0, x1(0)=-45, x2(0)=0, x3(0)=30, x4(0)=0, x5(0)=-10, x6(0)=30, x7(0)=1, x8(0)=1, l=0.087m, m=0.130m, v=-0.10m/seg, dt=0.5seg e u(t)=0 Figura 6: Comportamento do sistema na situação 3. As situações demonstradas comprovam que o sistema é instável, sendo que, na situação 1, como ângulo de viragem é 0, a instabilidade do sistema é menor em relação à situação 2 onde o ângulo de viragem é igual a 50. Na situação 3, o ângulo de viragem também é igual a 0, mas são mostradas no gráficos 200 posições do trem (nas situações 1 e 2 são mostradas apenas 20) apenas para demonstrar com mais clareza a instabilidade do sistema. A posição inicial do trem também tem grande influência na sua instabilidade, sendo que os valores de x1, x3, x5 e x6 têm uma maior importância. 4 CONCLUSÃO Esta pesquisa objetiva a análise e futuro controle de um sistema não linear, definido a partir de um trem com máquina e vagões. A partir do estudo realizado e do desenvolvimento conclui-se que:

8 8 O sistema estudado é não-linear; A posição inicial do trem afeta o comportamento do sistema; O sistema é naturalmente instável e por isso, para que o trem chegue a uma posição determinada, é necessário um controle, mas para efetuar este controle são necessários maiores conhecimentos; Há uma força u(t), mas em malha aberta, esta força contribui para a instabilidade do sistema; Há necessidade de um controlador ou um compensador, para, em malha fechada o sistema possuir um comportamento desejável e previamente definido. O assunto estudo envolve vários conceitos, alguns deles complexos, de cálculo diferencial e integral, representação de sistemas dinâmicos, representação no tempo, interpretação da resposta temporal, representação de equações diferencias. Para tanto, aplicou-se boa parte do estudo nesses conceitos. Uma parte importante foi a programação, que pode ser desenvolvida tanto no ambiente gráfico do Matlab, o Simulink, quanto em programas (scripts) no próprio Matlab, o que requer conceitos de programação e de equações discretas. Como propostas para a continuidade do trabalho, está a etapa de estudo de técnicas de projetos de controladores, para tornaremo sistema estável e depois a montagem prática de um carrinho controlado por computador. REFERÊNCIAS 1. Eduardo Oda: Introdução ao Estudo de Sistemas Dinâmicos 2. Katsuhiko Ogata: Engenharia de Controle Moderno 3. Kazuo Tanaka; Hua O. Wang: Trajectory control of a vehicle with multiple trailers 4.Leandro dos Santos Coelho; Antonio Augusto Rodrigues Coelho: Sistemas Dinâmicos Lineares 5. Simmons: Cálculo com Geometria Analítica