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Transcrição

1 Forecasting e Otimização i de Carteiras com Matlab AULA 3

2 Guia de Estudo para Aula 03 Modelos Discretos Exercícios - Formulação de um modelo - Programação de modelos com for - A simulação de um modelo - Formas de apresentação do modelo - Simulação de modelos discretos Objetivos da Aula - Aprender function - Simular modelos discretos - uso de variáveis globais. - uso de modelos estocásticos. 2

3 Criar e salvar um programa em Matlab onde está a função. Programar o algoritmo principal do problema. Ligar o principal com a function usando type function Programa Principal 3

4 Function nome_da_function (parâmentro1,...,parâmetron) nome_da_function=...calculo da função... 4

5 A function do problema Nome no início obrigatório Nome da função e parâmetros de entrada Mesmo nome da função 5

6 Programa Principal Indicação do lin do programa com a function f Chamada da função para o cálculo 6

7 O que é uma Simulação? Em sistemas Dinâmicos é a resolução de dx dt x ( t ) = f (, t x) = x 0 0 7

8 A Diferenciabilidade e a Previsão de Eventos Futuros x PONTO DE TANGÊNCIA x dx dt TEMPO (t) 8

9 Sistemas Discretos Aproxima-se um sistema contínuo dx = f (, t x) dt x( t ) = x 0 0 Pelo sistema discreto dx dt = t 0 Lim x t = f (t, x) x = t f (t, x) x t + 1 x t + 1 = f (t, x ) Supondo tempo discreto de 1 unidade x + 1 x f (t, x ) x + 1 = x + f (t, x ) = 9

10 Problema Exemplo Simular o seguinte modelo no Matlab (usando function) x + 1 = x 0.1x 2 Com as condições iniciais: t(0) = 0 x(0) () = 1 tempo final = 15 10

11 A function do problema Modelo entra aqui na function 11

12 Programa Principal Chamada da function 12

13 Resultado da simulação 13

14 Método de Newton-Raphson Determina as raízes de um polinômio da seguinte forma: x + 1 = x f f ( x '( x ) ) Onde f() é o polinômio e f () a derivada. 14

15 Problema 2 Encontrar as raízes do polinômio abaixo no Matlab (usando function), pelo método de Newton: 2 f ( x ) = x 5 x

16 Algoritmo 1- ht chutar a semente x 0. 2-chamar a function da função f(x). 3-chamar a function da derivada d f (x). 4- calcular lar o novo o x calcular a diferença entre o novo x eantigox fazer o antigo x igual ao novo. 16

17 Arquivo ff.m f ( x ) 2 = x 5x + 6 Arquivo ffl.m f ' ( x ) = 2x 5 17

18 Programa Principal Chute inicial 18

19 Com x0 = 0... Com x0 =

20 Função do Matlab fsolve() Encontra as raízes de um polinômio pelo método de Newton. A sintaxe é: O chama a function ff.m Chute inicial 20

21 Dois chutes diferentes x(0) = 0 x(0) = 10 21

22 Problema 3 Simular o seguinte modelo no Matlab (usando function) x + 1 = 5sen(0.1x ) e x Com as condições iniciais: t(0) = 0 x(0) () = 1 tempo final = 15 22

23 A function do problema 23

24 Programa Principal 24

25 Resultado da simulação 25

26 Simulando Modelos de ordem superiores Modelo x y = x = 10 2x + 0.5y x(0) = 2.5 y(0) = y 26

27 A function do sistema É vetor de variáveis do modelo 27

28 Programa Principal Comando para gerar nova janela de figura 28

29 Subplot(211) Subplot(212) Figure 2 29

30 Problema 4 x + 1 = 0.4x y + 1 = 0.4x x(0) = 2.5 y(0) = y 30

31 A function do sistema 31

32 Resultado da simulação 32

33 A estocasticidade entra em cena O matlab possui geradores de números aleatórios conforme a distribuição de probabilidade desejada. Distribuição i i Uniforme : rand Distribuição Gaussiana : randn Faz-se necessário antes a busca de uma semente para geração de números aleatórios. Antes do uso das funções, gera-se a semente da seguinte forma: Uniforme: rand( seed, d sum(100*cloc)) Gaussiana: randn( seed, sum(100*cloc)) 33

34 Processos Estocásticos Sinal no tempo Estatística tí ti (variável aleatória) 34

35 Busca da semente 35

36 A incerteza no modelo x y = 0.4x + w = 0.4x 0.5y x(0) = 2.5 y(0) = 15 Onde w ~N(0,0.4 2 ) Incerteza! 36

37 A function modificada Desvio-padrão dã Ruído branco gaussiano 37

38 O resultado 38

39 Variáveis Globais São Variáveis cujo valores são recebidos no programa principal, mas reconhecidos pelas subrotinas ou functions chamadas durante a execução. Comando é Global nome da variável 39

40 Um Modelo de terremoto para o mercado financeiro y(t) = A + B ( t t) c α + B C ( t c t ) ( t t) c α cos ( ω ln( t t) + φ) c Exemplo A = 20000; B = -6; C = 19; α = 1.33; ω = 20; φ = 5.9 t c =242 c 40

41 41

42 Usando Matlab Variáveis globais 42

43 Na Function As variáveis também são indicadas aqui 43

44 A realidade do Crash na Bovespa Dados reais da Bovespa- Ago/99 a Jun/00 Simulado 44

45 Caminho aleatório sem drift x = x + ε µ = 0 σ = desvio da série tamanho da série 45

46 Série histórica ( opções) PetrB28 Jan/ FUTURO U??????

47 Intervalo de Confiança Lim sup( x 1 ) = estimativa + z. σ. + 1 Limsup( x + 1 ) = estimativa z. σ. z : indica o nível de confiança da distribuição normal z = % de confiança z = 1, % de confiança z = % de confiança 47

48 Forecasting % 68%

49 Forecasting Banda de confiança 0.4 para um desvio padrão (68% de confiança)

50 Forecasting Banda de confiança para 1.96 desvio padrão (95% de confiança)

51 Comparação com valor real (verde) Deterioração da previsão Banda de confiança para 3 desvio padrão (99% de confiança) Tempo (minutos) 51

52 O Programa modelo superior inferior 52

53 Caminho aleatório com drift x = α + x + ε µ = α σ = desvio da série tamanho da série 53

54 O CASO BOVESPA REGIÃO DE INTERESSE 8 x BOVESPA Supor α =

55 Novo Intervalo de Confiança Lim sup( x 1) = x + z. σ. + 1) Limsup( x + 1 ) = x z. σ. Atenção: como existe drift ao invés da média (que é fixa), toma-se cada dado da iteração. 55

56 Cálculos errados do intervalo de confiança! 7 x x 104 Feito pela média Limsup( x z. σ. Lim sup( x 1 ) = xˆ z. σ. ) = xˆ Escolhendo o último dado (fixo) existe uma tendência que o intervalo não acompanha. 2 Limsup( x + 1 ) = x( n) + z. σ Limsup( x + 1 ) = x( n) z. σ. 56

57 Intervalo de confiança iterativo É necessário o cálculo do valores máximos e mínimos para cada valor em cada simulação para a construção do intervalo. 9 x =1 7 max(1),min(1) min(1)

58 Intervalo de confiança iterativo É necessário o cálculo do valores máximos e mínimos para cada valor em cada simulação para a construção do intervalo. 9 x 104 =2 max(2),min(2)

59 Intervalo de confiança iterativo É necessário o cálculo do valores máximos e mínimos para cada valor em cada simulação para a construção do intervalo. 9 x 104 =n max(n),min(n)

60 Borda dos Intervalos de confiança Após 20 iterações, a borda será: 4 9 x

61 Comparação com dados reais (bovespa) 8 x INTERVALO DE CONFIANÇA DE 99% DADOS REAIS

62 O PROGRAMA 62

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