II- Mapas Bidimensionais. Referência: Chaos, K. Alligood, T. D. Sauer, J. A. Yorke; Springer (1997).

Transcrição

1 II- Mapas Bidimensionais Referência: Chaos, K. Alligood, T. D. Sauer, J. A. Yorke; Springer (997).

2 - Novas CaracterísMcas Dinâmicas Além de pontos fixos, há pontos de selas. Ponto de sela: contração em uma direção e expansão na outra. Mapa de Poincaré bidimensional de uma órbita tridimensional.

3 Atratores, Repulsores e Pontos de Sela (Alligood et al. Chaos...)

4 - Mapa de Hénon Hénon (Comm. Math. 5, 69, 976) introduziu o mapa (x n+, y n+ ) f (x n, y n ) (a - x + b y, x) a, b : parâmetros de controle Para a,8 e b -,3 e (x, y ) (, ), trajetória converge para órbita com período Os pontos iniciais convergem para essa orbita ou para x Bacias de atração variam com a, b Para a,8 e b -,3 ; fronteira das bacias é contínua Para a,4 e b -,3 ; fronteira das bacias é fractal

5 Mapa de Hénon b -.3 a.8 a.4 (Alligood et al. Chaos...)

6 4 - Definições de Atratores e Repulsores Definição: O comprimento!! u (x, y) em R é u!! A vizinhançã é N (p) : ε (euclidiano) de x + y!.! { v R : v-p ε} < um vetor! Seja f um mapa em R!!, p um ponto fixo, f!! (p) p Definições :!!!! k!! p é um atrator se ε > tal que v Nε (p) lim f (v) p k!!!! k! p é um repulsor se ε > tal que v N (p) lim f (v) N ε k ε! (p)

7 Atrator e Ponto de Sela no Mapa de Hénon a b.4 Alligood Chaos

8 Bacias de atração para o Mapa de Hénon Alligood Chaos

9 Trator Caótico para o Mapa de Hénon Alligood Chaos

10 5 - Mapas Lineares A x y a a a a x y a x + a y a x + a y! V x y Definição: A é linear se A(a v! + b w)! a A ( v)! +b A ( w! ) λ é um auto-valor da matriz A se (para! v! ) A! vλ! v! v n+ A! v n! v n+ λ n+! v

11 auto - vetor e auto - valor é b b b b a auto - vetor e auto - valor é a a b a b a matriz A a Para Exemplo a

12 em y. b e x direção na a elípse com semi- eixos uma em mapeados são unitário raio de disco um em iniciais Pontos b b b a a a b a b a A n iterações Para n n n n n n n n n n n n n Expansão e Contração no Mapeamento de Um Disco de Pontos Iniciais

13 Um disco de raio ε, i.e., na vizinhança N ε (,) do! ponto P(, ), torná -se uma elípse com semi- eixos ε a a > repulsão na direção x b < atração na direção y n e ε b n

14 Alligood Chaos ) v v A ( v A (v) Em geral,,5 4 x x ;A,5 x x A x e,5 Exemplo:A!!!! y y y y y

15 Alligood Chaos

16 + + ± ± θ θ θ θ θ θ θ θ sen cos - cos sen b a r a r b r - b r a r A b arctg a, b a r rcos b, r sen a Transformação i auto - vetores b i a valores Auto - r de dilata e iteradogira de ponto a b - b a A Exemplo:

17 de r e dilatação (contração) Rotação de sen x cos x r x cos sen -sen cos r x A θ θ θ θ θ θ θ

18 Em uma f ( p + h) f ( p) + h f ʹ( p) 7 Matriz Jacobiana dimensão, com um ponto fixo p f (p), f ʹ f ʹ ( p) < p é um atrator ( p) > p é um repulsor

19 !!! Em duas dimensões, com um ponto fixo p f (p)!!!!!!!!!!!!!! f (p + h) f (p) + D f (p) h p + D f (p) h Teorema : - Se os módulos dos auto - valores da! forem menores que, p é um atrator. - Se os módulos dos auto - valores da! foremmaiores que, p é um repulsor.!!! matriz D f (p)!!! matriz D f (p) Definição:Se um auto - valor for maior quee o outro menor que,! p é um ponto de sela.

20 Em uma dimensão, f (p ) ʹ f (p ) ʹ f (p ) ʹ Em duas dimensões,! D f! (p )! D f! (p! ) D f! (p )

21 sela de ponto,7 ;,47 - b -,,4, b - x b y) x - (a b y) x - (a J -,6) Ponto fixo (-,6, atrator,4 - b -,4 b b - x b y) x - (a b y) x - (a J ) Ponto fixo (, -,4 b e a x) b y, x (a - y) (x, f Mapa de Hénon Exemplo: x y x x y x < > + + < ± λ λ λ λ λ λ λ x x x x y y

22 Esqema Dinâmico de um Ponto de Sela Alligood Chaos

23 Órbitas Próximas de Um Ponto de Sela Alligood Chaos

24 atrator.4.3 i (.7).4 - (-.) J J J.7) (-., -,) (.7, : período de Órbita,4 b,43 a x) b y, x (a - y) (x, f Hénon de Mapa : Exemplo < ± + λ λ λ λ

25 Mudançã de Atratores do Mapa de Hénon Alligood Chaos

26 Diagrama de Bifurcação do Mapa de Hénon Alligood Chaos

27 Mudança de atratores com a, para b.4 Alligood Chaos

28 Variedades Estáveis e Instáveis Variedade estável: conjunto dos pontos iniciais que convergem para um ponto de sela. Variedade instável: variedade estável da transformação inversa

29 Definições das Variedades A variedade n! lim f (v) - f n estável de P, n (P) S(P), é o conjunto de pontos! v tal que A variedade instável de P, -n! -n lim f (v) - f (P) n U(P), é o conjunto de pontos! v tal que

30 e vetores auto - e 3 e.5 valores auto - com ) (, em sela de ponto um tem y) 5x y, 5 (-x y) (x, f linear mapa Exemplo: O

31 Coordenadas dos pontos satisfazendo linha na direção do auto - vetor, de um fator.5 a cada iteração. Esses pontos constituem a variedade a condição y x, sofrem um decréscimo estável. Coordenadas linha de Esses na um direção fator 3 a pontos dos pontos do cada constituem satisfazendo auto - vetor iteração. a variedade, a condição y x, sofrem um acréscimo instável.

32 Alligood Chaos

33 Exemplo: Mapa Auto - valores:, Auto - vetores: com Ponto de sela alternado ( -,5 e f (x, flip - y):( x saddle + 5 y, po int) -.5 y)

34 Alligood Chaos

35 Alligood Chaos

36 Alligood Chaos

37 Alligood Chaos

38 Alligood Chaos

39 Alligood Chaos

40 Bacias de Atração e Atrator CaóMco no Pêndulo Forçado Periódicamente

41 Pêndulo Forçado (Alligood et al. Chaos...)

42 Equação de movimento: θ - c θ senθ + ρ sen t θ ( t) e θ (t + π N) são soluções, N,,, 3,... Portanto, vamos integrar a equação de movimento e anotar os das variáveis nos instantes t π N. valores Para c, ; ρ,66, há ponto fixo e duas órbitas de período. As fronteiras das bacias dessas três órbitas são fractais. Há ainda 5 pontos fixos instáveis

43 Bacias de Atração de Ponto Fixo e Órbitas Periódicas c. ρ.66 Alligood et al. Chaos...)

44 Ampliações das Três Bacias (Alligood et al. Chaos...)

45 Órbita Caótica do Pêndulo Forçado c.5 ρ.5 (Alligood et al. Chaos...)

46 Alligood Chaos

47 Alligood Chaos

48 Órbitas Planetárias CaóMcas

49 Movimento de Três Corpos Restrito (Num Plano) Dois corpos pesados descrevem círculos ao redor do centro de massa. Uma partícula leve de massa m descreve a trajetória mostrada na figura (sem influenciar o movimento dos dois corpos pesados). Método de análise introduzido por Poincaré Ór bita no espaço de fase:(x,. x, y, y) As intersecções da órbita no plano y o, com y > e H cte, são os pontos (x, no x) mapa de Poincaré. Este mapa é bidimensional.

50 Trajetória de Uma Massa Leve no Sistema de Três Corpos (Alligood et al. Chaos...)

51 Mapa de Poincaré Bidimensional Órbita tridimensional (Alligood et al. Chaos...)

52 Caos no Sistema Solar Prêmio do rei Oscar da Suécia em 889 para trabalho sobre a estabilidade do sistema solar. Poincaré mostrou que as trajetórias de 3 corpos que se atraem (Terra, Sol e Jupiter) são sensíveis às condições iniciais se ocorrerem cruzamentos homoclínicos. Sussman, Wisdom, Numerical evidence that the motion of Pluto is chaotic, Science 4, 433 (988)

53 Sussman, Wisdom, Numerical evidence that the mo3on of Pluto is chao3c, Science 4, 433 (988) Integração das equações do movimento de Plutão para um intervalo de 845 milhões de anos. Computador construido para essa investigação: Digital Orrey. Em exposição no Smithsonin Institution em Washington, D.C.

54 Alligood Chaos

55 Inclinação do eixo de rotação de Marte (em relação ao plano do sistema solar) Transições abruptas Alligood Chaos