4.1 INTRODUÇÃO Geodésia Celeste - Objetivo científico e operacional Métodos geométricos e dinâmicos

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1 4 MECÂNICA CELESTE E GEODÉSIA 4. INTRODUÇÃO 4.. Geodésia Celeste - Objetivo científico e operacional 4.. Métodos geométricos e dinâmicos 4. MOVIMENTO ORBITAL 4.. Forças centrais. O problema dos dois corpos 4.. Velocidade crítica 4.3 ELEMENTOS ORBITAIS 4.3. Leis de Kepler 4.3. Geometria da órbita normal no plano Geometria da órbita normal no espaço Elementos orbitais 4.4 PERTURBAÇÕES 4.4. Variação nos elementos orbitais 4.4. Classificação das perturbações 4.5 RETROSPECTO 4.6 ANÁLISE DO MOVIMENTO ORBITAL NO PLANO 4.7 ANÁLISE DO MOVIMENTO ORBITAL NO ESPAÇO 4.8 COORDENADAS URANOGRÁFICAS TOPOCÊNTRICAS DE SATÉLITE E OBSERVADOR

2 4.. OBJETIVO CIÊNTIFICO Determinar a forma e dimensões da Terra. Como ilustração cita-se que o achatamento terrestre foi determinado 3 anos após o lançamento do satélite artificial, com maior precisão que todas as determinações anteriores por métodos astronômicos, geométricos e gravimétricos. OBJETIVO OPERACIONAL Obtenção da posição absoluta ou relativa de pontos na S.F. da Terra, obtenção de parâmetros definidores do campo gravífico da Terra, etc. Os satélites são considerados ativos quando emitem sinais que permitam o posicionamento, são considerados passivos quando são utilizados como refletores de sinais (radar, laser) ou são fotografados contra o firmamento. 4.. MÉTODOS GEOMÉTRICOS São aqueles que conduzem a posição absoluta ou relativa de pontos na S.F. MÉTODOS DINÂMICOS São aqueles que conduzem a parâmetros definidores do campo gravífico. 4.. O estudo do movimento de uma partícula relativamente à outra, quando entre estas partículas existe apenas atração gravitacional, é denominado de problema dos dois corpos. Tanto as partículas como os corpos esféricos, apresentam a mesma estrutura de campo gravitacional, ou seja, superfícies equipotenciais são superfícies esféricas concêntricas (potencial esférico). Tal fato nos permite, admitindo a Terra como esférica, tratar um satélite como submetido a uma força central, dirigida para o CG da Terra (CG do sistema CG da Terra) e tratar ambos como partículas. A órbita resultante do satélite submetido a uma força central é dita normal ou kepleriana. Existem outras forças que atuam sobre satélites artificiais, que os afastam de órbitas normais. Tais forças são analisadas no tópico 4.4, como perturbações.

3 4.. Sendo v c a velocidade crítica, demonstra-se que: c ( km )/ r v (4...) sendo r posição inicial do satélite na órbita M massa da Terra Se v c é a velocidade com a qual um satélite artificial inicia sua órbita, então se: a ) v v / órbita circular c b) v > v v / órbita elíptica c > c c) v v c órbita parabólica d) v > v c órbita hiperbólica 4.3. Para os satélites artificiais, pode-se escrever as leis de Kepler como: - Lei das Órbitas Os satélites artificiais descrevem órbitas elípticas em torno da Terra, das quais o C.M. desta ocupa um dos focos. - Lei das Áreas O raio vetor de um satélite artificial, em qualquer trecho da órbita, descreve áreas iguais em tempos iguais. 3 - Lei dos Períodos Os quadrados dos períodos de revolução dos satélites artificiais, são proporcionais aos cubos dos semi-eixos maiores de suas órbitas. Tais leis são aplicáveis, supostas as órbitas como normais Coordenadas do satélite S ( x, y) coordenadas cartesianas planas ( f, r) coordenadas polares

4 a e a b b a a e b a e f anomalia verdadeira; E anomalia excêntrica r raio vetor ou distância radial a semi-eixo maior; b semi-eixo menor; b / a e excentricidade ( ) e a α ascensão reta; δ declinação; γ ponto vernal C.M. Centro de massa da Terra; PNC Pólo Norte Celeste ( X,Y, ) Sistema Uranográfico Cartesiano Z

5 4.3.4 Elementos Denominação Definem a semi-eixo maior tamanho e forma da órbita e excentricidade Ω i ascensão reta do nodo ascendente inclinação posição do plano orbital no espaço ω argumento do perigeo orientação da elipse no espaço T época de passagem pelo perigeo posição do satélite na órbita

6 4.4. A função potencial para o movimento de um satélite pode ser escrita como: V V + R (4.4..) ( ) r sendo V km / (pot. esf.) (4.4..) e R um potencial perturbador cuja derivada direcional fornece a componente da força perturbadora na direção da derivada. Os elementos orbitais normais, conhecidos para uma época t são: a, e, i, ω, e Ω n ( n n ( T )) et Estes elementos sofrem variações devido a perturbações. Se estas variações são conhecidas na época t a, e, i, ω, Ω e n então, pode-se determinar os elementos orbitais para uma época t, desde que esta variação possa ser considerada constante no intervalo t a t. No NNSS (Navy Navigation Satellite System) tais variações são atualizadas a cada h Quanto às causas, as perturbações classificam-se em: a) Gravitacionais - Terrestre; Luni-Solar; Marés e relativistas b) Não-gravitacionais Atrito atmosférico; Eletromagnética, Pressão de radiação Quanto ao período, classificam-se em:. a) Seculares - Δ (el. Orb.) E constante. E. b) Longo período - E ( ω) E.. c) Curto período - E() f Descrição das perturbações Terrestre: Anomalias no campo gravífico terrestre, devidas à distribuição de massas não ser constante, à falta de uniformidade na densidade da litosfera e a variações temporais no campo gravífico. Luni-Solar: Conjugação das forças exercidas por estes astros sobre o satélite. A resultante varia de instante a instante.

7 Marés: Causam redistribuição de massas, alterando o campo gravífico. Relativista: Variação da massa do satélite devido à variação da velocidade orbital. Atrito atmosférico: Força que se opõe ao movimento do satélite, tendendo a aumentar com o tempo, devido ao decréscimo do período orbital, tendendo a regiões sempre com maior densidade. Eletromagnética: Interação eletromagnética do satélite com o campo magnético da Terra. O satélite é carregado eletrostaticamente pelos raios cósmicos, em seu movimento orbital. Pressão de radiação: O satélite é sujeito à radiação direta ou indireta do Sol. 4.5 Os satélites podem ser empregados para atender aos objetivos científicos e operacionais da Geodésia Celeste. Os satélites podem ser ativos e passivos. Quanto ao método de utilização, este pode ser geométrico ou dinâmico. O problema do movimento de um satélite artificial no campo gravífico da Terra, pode ser deduzido ao problema dos dois corpos, entendendo-se que o movimento real do satélite difere deste movimento normal em torno do C.M. da Terra, devido a existência de perturbações que serão traduzidas na forma de alterações nos elementos orbitais normais. 4.6 A terceira Lei de Kepler tem a expressão: n a 3 k( M + m) (4.6.) onde n velocidade angular média a semi-eixo maior da órbita k constante gravitacional universal M massa do primário M massa do secundário No caso do movimento de satélite artificial no campo gravífico da Terra, tem-se M>>m, então:

8 ou n a 3 km (km x 8 m 3 s - Moritz 97) 3 ( km/ a ) n (4.6.) Sendo M uma anomalia média, que corresponderia à anomalia verdadeira, se o satélite s movesse com velocidade constante em módulo, então: ( t T n π /P M/ ) (4.6.3) sendo P período do satélite t (TU) da época considerada T tempo de passagem pelo perigeo Da (4.6.3) vem: ( t T M n ) (4.6.4) A descrição completa do movimento elíptico pode ser feita com a equação de Kepler: ou M E esene E M + esene (4.6.5) Solução iterativa

9 Da figura tem-se: ( e) x r cos f acose ae a cose y r senf bsene ( a a e ) sene a ( e ) sene 4.7 Obs: R ( θ) cosθ senθ senθ cosθ R ( θ) cosθ senθ senθ cosθ R 3 ( θ) cosθ senθ senθ cosθ Com relação à figura apresentada no item tem-se: (geometria da órbita normal no espaço) y a z ( e ); x a cose ( e ) sene; Pode-se sobrepor o referencial (x, y, z) ao referencial (X, Y, Z) desde que: ) Gire-se o referencial (x, y, z) em torno do eixo z de um ângulo (-ω). (Então x linha do nodo ascendente). ) Gire-se o referencial (x, y, z) em torno do eixo x de um ângulo ( -i). (Então z Z).

10 3 ) Gire-se o referencial (x, y, z) em torno do eixo z de um ângulo ( -Ω). (Então x X; y Y; z Z) De forma geral: XS YS ZS R3 ( Ω) R ( i) R ( ω) 3 x y z celestes geocêntricas plano orbitais Sendo δ sen α Então X r cos δ cos α r ( X + Y + Z ) Y r cos Z r sen δ tg α sen Y / X α Z / r Z / ( X + Y + Z )

11 4.8 (ϕ, λ, H) coordenadas geodésicas e achatamento P observador X Y Z ( N + H ) ( N + H ) N cos ϕ cos λ cos ϕ sen λ e + H sen ϕ (4.8.) Coordenadas geocêntricas do observador

12 X r cos δ cos α Y r cos δ sen α Z r sen δ coord. uranográficas geocêntricas do observador R3 ( S ) G X Y Z (4.8.) Então as coordenadas topocêntricas do satélite serão: X S YS ZS XS ys ZS X Y Z (4.8.3) coord. coord. coord. top. do geoc. do geoc. do satélite satélite observador com: r tg α Y senδ ( X + Y + Z ) Z / X / r