Retratos de Fase de Sistemas Lineares Homogêneos 2 2

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1 Retratos de Fase de Sistemas Lineares Homogêneos 2 2 Reginaldo J Santos Departamento de Matemática-ICE Universidade Federal de Minas Gerais 2 de novembro de 20

2 2 Eemplo Considere o sistema { (t) = (t) (t) 2 (t) = 4 (t) + (t) Este sistema pode ser escrito na forma matricial como em que X (t) = A matriz (t) 2 (t), A = é diagonalizável e as matrizes P = V W = X (t) = AX(t), e X(t) = 4 A = (t) (t) λ 0 e D = = 0 λ são tais que A = PDP Portanto a solução geral do sistema é (t) (t) e 3t 2 2 e t 2 Um gráfico mostrando diversas soluções aparecem na Figura Este tipo de gráfico, em que desenhamos no plano cartesiano várias curvas ( (t), (t)), soluções do sistema, é chamado retrato de fase As curvas ( (t), (t)), soluções do sistema, são chamadas trajetórias Para c 2 = 0 as trajetórias estão contidas na reta que passa pela origem e tem direção do vetor V = (, 2), como pode ser visto mais facilmente fazendo a mudança de variáveis t = e 3t em X(t) e 3t 2 t 2 Estas trajetórias se afastam da origem, quando t cresce Para c = 0 as trajetórias estão contidas na reta que passa pela origem e tem direção do vetor W = (, 2), como pode ser visto mais facilmente fazendo a mudança de variáveis t = e t em X(t) 2 e t 2 2 t 2

3 3 Estas trajetórias se aproimam da origem, quando t cresce Para c = 0 e c 2 = 0, temos curvas semelhantes a hipérboles, como pode ser visto mais facilmente fazendo a mudança de variáveis t = e 3t em X(t) e 3t 2 2 e t 2 t t 2 Estas trajetórias se aproimam da reta que passa pela origem, e tem direção do vetor V = (, 2), quando t cresce A disposição das trajetórias é típica de um sistema linear X = AX, em que os autovalores de A são reais não nulos com sinais contrários Neste caso, dizemos que a origem é um ponto de sela Figura : Trajetórias do sistema do Eemplo

4 4 Eemplo 2 Considere o sistema { (t) = 3 (t) (t) 2 (t) = 2 (t) + 2 (t) A matriz do sistema A é diagonalizável e as matrizes λ 0 P = V W = e D = 2 0 λ 2 = são tais que A = PDP Portanto a solução geral do sistema de equações diferenciais é dada por (t) (t) e t 2 2 e 4t O plano de fase com várias trajetórias é mostrado na Figura 2 Para c 2 = 0 as trajetórias estão contidas na reta que passa pela origem e tem direção do vetor V = (, 2), como pode ser visto mais facilmente fazendo a mudança de variáveis t = e t em X(t) e t 2 t 2 Para c = 0 as trajetórias estão contidas na reta que passa pela origem e tem direção do vetor W = (, ), como pode ser visto mais facilmente fazendo a mudança de variáveis t = e 4t em X(t) 2 e 4t 2 t Para c = 0 e c 2 = 0, temos curvas semelhantes a parábolas, como pode ser visto mais facilmente fazendo a mudança de variáveis t = e t em X(t) e t 2 2 e 4t t 2 2 t 4 Todas as trajetórias se afastam da origem quando t cresce A disposição das trajetórias é típica de um sistema linear X = AX, em que os autovalores de A são reais e positivos Neste caso, dizemos que a origem é um nó instável ou fonte No caso em que os autovalores de A reais e negativos as trajetórias são semelhantes, mas percorridas no sentido contrário às da Figura 2 Neste caso, dizemos que a origem é um nó atrator ou sumidouro

5 5 Figura 2: Trajetórias do sistema do Eemplo 2 Eemplo 3 Considere o sistema { (t) = (t) + 2 (t) 2 (t) = (t) + (t) Este sistema pode ser escrito na forma X (t) = AX(t), em que 2 A = A matriz A = é diagonalizável em C e as matrizes i + i P = Z Z = são tais que 2 λ 0 e D = = 0 λ A = PDP i 0 0 i

6 6 Portanto a solução do sistema de equações diferenciais é dada por { } { } (t) (t) R e it i 2 I e it i ) ( (cos t sen t 0 2 cos t + sen t 0 Os gráficos de diversas soluções aparecem na Figura 3 As trajetórias são elipses e o sentido é o de V = (, ) para W = (, 0) ou de W = (, 0) para V = (, ), como pode ser visto mais facilmente se reescrevemos a solução geral como X(t) os t ( c ) 2 + sen t 0 ( c 2 c 0 A disposição das trajetórias é típica de um sistema linear X = AX, em que os autovalores de A são compleos com a parte real igual a zero Neste caso, dizemos que a origem é um centro ) ) Figura 3: Trajetórias do sistema do Eemplo 3

7 7 Eemplo 4 Considere o sistema { (t) = 3 (t) + 2 (t), 2 (t) = 4 (t) + (t) A matriz do sistema é A = A matriz A é diagonalizável em C e as matrizes P = Z Z = + i i λ 0 e D = 0 λ = + 2i 0 0 2i são tais que A = PDP Portanto a solução do sistema de equações diferenciais é dada por } } (t) (t) R {e ( +2i)t + i 2 I {e ( +2i)t + i ) ( e (cos t 0 2t sen 2t 2 e t 0 cos 2t + sen 2t Plano de fase contendo diversas trajetórias aparecem na Figura 4 As trajetórias são espirais com sentido V = (, ) para W = (0, ) ou de W = (0, ) para V = (, ), como pode ser visto mais facilmente se reescrevemos a solução geral como ( X(t) = e cos t 2t c ) 0 2 ( + sen 2t c 2 0 c ) ) A disposição das trajetórias é típica de um sistema linear X = AX, em que os autovalores de A são compleos com a parte real negativa Neste caso, dizemos que a origem é um foco atrator ou sumidouro espiral Se os autovalores de A fossem compleos com a parte real positiva as trajetórias seriam espirais crescentes percorridas no mesmo sentido que às da Figura 4 As trajetórias para o caso em que P é a mesma matriz deste eemplo, mas com autovalores ± 2i está mostrado na Figura 5 Neste caso, a origem é um foco instável ou fonte espiral

8 8 Figura 4: Trajetórias do sistema do Eemplo 4

9 9 Figura 5: Trajetórias de um sistema cujos autovetores são os mesmos da matriz do Eemplo 4, mas com autovalores iguais a ± 2i

10 0 Eemplo 5 Considere o sistema { (t) = (t) + (t), 2 (t) = (t) 3 (t) A matriz do sistema é As matrizes P = V W = 0 A = 3 e J = λ 0 λ = são tais que A = PJP Portanto a solução geral do sistema é dada por ( (t) (t) e 2t 2 e 2t 0 + t ) A Figura 6 é o plano de fase contendo diversas trajetórias Para c 2 = 0 as trajetórias estão contidas na reta que passa pela origem e tem direção do vetor V = (, ), como pode ser visto mais facilmente fazendo a mudança de variáveis t = e 2t em X(t) e 2t t As trajetórias se aproimam da origem quando t cresce Para c 2 = 0, vamos reescrever a solução geral como X(t) = e 2t ( c t 0 Observamos inicialmente que o ponto inicial da trajetória é c 2 e que 0 a parte que está entre parênteses, c 2 2 t, representa uma 0 reta que passa por c 2 e tem direção de V = (, ) )

11 A reta que passa pela origem e tem direção de V = (, ) divide o plano em dois semiplanos Se o ponto inicial está do mesmo lado de W = (0, ), então c 2 > 0 e o ponto X(t) se move com o seu comprimento sendo reduzido do fator e 2t, sendo puado no sentido de V = (, ), quando t cresce Se o ponto inicial está do lado oposto ao de W = (0, ), então c 2 < 0 e o ponto X(t) se move com o seu comprimento sendo reduzido do fator e 2t, sendo puado no sentido de V = (, ), quando t cresce A disposição das trajetórias é típica de um sistema linear X = AX, em que a matriz A não é diagonalizável em C e o único autovalor é negativo Neste caso, dizemos que a origem é um nó impróprio assintoticamente estável Se neste eemplo, o único autovalor de A, λ, fosse positivo as trajetórias seriam desenhadas da seguinte forma Se o ponto inicial está do mesmo lado de W = (0, ), então c 2 > 0 e o ponto X(t) se move com o seu comprimento sendo aumentado do fator e λt, sendo puado no sentido de V = (, ), quando t cresce Se o ponto inicial está do lado oposto ao de W = (0, ), então c 2 < 0 e o ponto X(t) se move com o seu comprimento sendo aumentado do fator e λt, sendo puado no sentido de V = (, ), quando t cresce As trajetórias para o caso em que P é a mesma matriz deste eemplo, mas λ = 2 está mostrado na Figura 7 Neste caso, dizemos que a origem é um nó impróprio instável

12 2 Figura 6: Trajetórias do sistema do Eemplo 5

13 3 Figura 7: Trajetórias de um sistema que cuja matriz P é a mesma do Eemplo 5, mas com o autovalor λ = 2