REPRESENTAÇÕES PARAMÉTRICAS DE CURVAS PLANAS COM O WINPLOT

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Oswaldo Rijo Valgueiro
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1 15 A 19 DE AGOSTO DE 016 REPRESENTAÇÕES PARAMÉTRICAS DE CURVAS PLANAS COM O WINPLOT Leandro Ferreira da Silva Acadêmico de Matemática da Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul, Unidade de Nova Andradina. leandrodebret@hotmail.com Marcio Demetrius Martinez Professor da Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul, Unidade de Nova Andradina. martinez@uems.br Para este minicurso vamos utilizar o software de domínio público WINPLOT. Trata-se de um programa gráfico de propósito geral, permitindo o traçado e animação de gráficos em D e em 3D, através de diferentes tipos de equações (explícitas, implícitas, paramétricas e outras). Possui interface disponível em língua portuguesa e simples de manipular, possui também inúmeros recursos e ainda assim é pequeno, cabendo em um antigo disquete, 1,48MB. O propósito deste minicurso é trabalhar as equações paramétricas de algumas curvas planas utilizando o recurso de animação do Winplot que consiste em introduzir uma constante (de animação) na expressão ou equação que representa a curva. Essas constantes são as letras do alfabeto exceto x, y e z ou a letra que representa o parâmetro ou a variável da expressão. Também, além de recordar o conteúdo matemático envolvido nas construções dessas curvas, desenvolver algumas habilidades como criticidade, criatividade e autonomia. 1. Estudo do ponto: Esta atividade tem como objetivo a representação gráfica dos pontos no plano cartesiano de acordo com as suas respectivas coordenadas, a parametrização de um dos pontos e a identificação entre as construções de pontos (modo discreto) e o alinhamento destes. Utilizamos como recurso a noção de par ordenado, plano cartesiano, parâmetro e a representação de pontos. Tel. (67)

2 15 A 19 DE AGOSTO DE 016 Para criar um ponto qualquer utilize os comandos Equação Ponto (x,y)... Digite os valores para X e Y e clique em OK. Animação de pontos: Podemos animar um ponto no Winplot desde que ele esteja definido por parâmetros. Atividade 1: Plote os pontos A(1,), B(,3), C(,1), D(-3,0) e E(-4,-3). Observando a representação de pontos no registro gráfico é possível verificar o alinhamento de 3 pontos? Para verificar clique em Inventário Editar e reescreva as coordenadas do ponto A(1+t,+t). Observe que ao clicar em OK temos o ponto A(1,). Que valor assumiu a letra t? Para obter essa solução deve-se observar que dos cinco pontos apresentados apenas três destes estão alinhados. Segundo, ao adicionar um parâmetro às coordenadas do ponto A, obtém no plano cartesiano do Winplot a representação do ponto A(1,), logo o parâmetro t adicionado vale 0. Figura 1: Representação para as Atividades 1 e Atividade : Em Anim, Parâmetros A-W, escolha a letra T, ao abrir uma nova janela movimente a barra a barra de Rolagem. Perguntas: Descreva o que vocês observaram na tela? Qual o valor de T para obter o ponto B? E o ponto E? Tel. (67)

15 A 19 DE AGOSTO DE 016. Curvas Paramétricas: O movimento de uma partícula descreve uma trajetória, que podemos representar por uma curva no plano ou no espaço.

3 15 A 19 DE AGOSTO DE 016. Curvas Paramétricas: O movimento de uma partícula descreve uma trajetória, que podemos representar por uma curva no plano ou no espaço. Para cada instante t, podemos considerar suas coordenadas em função do tempo t, isto é, x=x(t) e y=y(t). Por outro lado, dada uma curva, podemos imaginá-la como uma trajetória e escrever as coordenadas de seus pontos em função de um parâmetro t. Tais funções, juntamente com seus domínios comuns, são denominadas equações paramétricas da curva. Atividade 3: Determine a reta que passa pelos três pontos alinhados. Podemos tomar x=t e y=t+1, t [-5,3]. Se uma curva no plano tem equação y=f(x), x I, então x=t, y=f(t), t I, é uma parametrização para essa curva. Atividade 4:. Por exemplo, x=t, y=t, t é uma parametrização para a parábola y=x para x. Faça o gráfico no Winplot. Atividade 5: Faça um ponto deslizar sobre a função x² sem sair do traçado. Primeiro será preciso plotar o gráfico da função e para isso use os comandos Janela dim Equação Explícita. A seguir, em uma nova tela, digite sua expressão no campo f(x) = (ao invés de x², digite x^) e em seguida, como feito anteriormente, digite o ponto com coordenadas x=a e y=a^, conforme Figura abaixo. Figura : Valores do ponto no Winplot Observe bem os valores dados para x e y, para que o ponto não saia do traçado. No início o ponto ficará na coordenada (0,0), mas ao definirmos os parâmetros ele deslizará sobre o gráfico. Tel. (67)

4 15 A 19 DE AGOSTO DE 016 Atividade 6: Faça a animação de y x,0 x. Equações paramétricas: x( t) t y( t) t,0 t. No menu Equação Paramétrica, digite x( t) kt y( t) ( kt) e escolha o intervalo 0<t<. Em seguida, no menu Anim, selecione o parâmetro k e ajuste-o para variar de 0 (def L) até 1 (def R). Atividade 7: Na Geometria Euclidiana, uma circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão a uma certa distância, chamada raio, de um certo ponto, chamado centro. Num sistema de coordenadas cartesianas, uma circunferência pode ser descrita pela equação geral (x a)² + (y - b)² = r², onde os pontos (a, b) são o centro da circunferência e r é o raio da circunferência. Escreva a equação de uma circunferência de raio e centro no ponto O(,-1). Parametrize esta circunferência e plote no Winplot.. Cicloide: Neste exemplo iremos modelar uma curva imaginando uma circunferência de raio 1 rolando sobre uma reta. Qual será a curva descrita por um ponto sobre a circunferência? A curva é chamada cicloide e é dada na figura abaixo. Como atividade, deduziremos a expressões matemáticas que representam esta curva e faremos a animação no Winplot. Figura3: Cicloide Tel. (67)

5 15 A 19 DE AGOSTO DE Elipse: Uma elipse é o conjunto de pontos em um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos F 1 e F é uma constante. Esses dois pontos são chamados de focos. Atividade 8: Obtenha a equação da elipse com os focos no eixo x e nos pontos (-c,0) e (c,0), cuja a soma das distâncias a partir de um ponto na elipse até eles seja igual a a>0. Mostre que, se P(x,y) é um ponto qualquer da elipse então PF 1 + PF =a e, portanto, a elipse x a y b 1, a b 0 tem focos ( c,0), em que c a b, e vértices ( a,0) e em ( 0, b). Atividade 9: Faça uma animação de um ponto P descrevendo a curva (elipse) de equação PF 1 + PF =4 com focos ( 3,0). Figura 4: Elipse (x,y)=(cos(at),sin(at)) 0 t 1, Equação Paramétrica (x,y)=(-sqrt(3),0) Equação de F 1 (x,y)=(sqrt(3),0) Equação de F seg((-sqrt(3),0)--(cos(at),sin(at)) Equação do Segmento seg((sqrt(3),0)--(cos(at),sin(at)) Equação do Segmento (x,y)=(cos(at),sin(at)) Equação do Ponto (x,y) P F 1 P F Tel. (67)

6 15 A 19 DE AGOSTO DE 016 Uma das Leis de Kepler é que as órbitas dos planetas no sistema solar são elipses com o sol em um dos focos. 4. Órbitas dos planetas: Neste exemplo, para facilitar os cálculos, suporemos as órbitas dos planetas circulares e, visto que o movimento dos astros é periódico, então para o nosso modelo, escreveremos as coordenadas paramétricas em função do ângulo t. Como podemos observar as coordenadas x e y serão representadas por funções trigonométricas, onde: Dados atuais da Terra e Marte: x = a.cos( n t ), y = a.sen( n t ) Distância da Terra ao Sol Distância de Marte ao Sol quilômetros 7.900,000 quilômetros Razão entre as Distâncias 1.54 Período da Órbita de Marte ao redor do Sol 687 dias Razão entre os períodos Para facilitar o cálculo, faremos um arredondamento dos dados, ficando conforme a tabela a seguir: Distância da Terra ao Sol Distância de Marte ao Sol 150 milhões de quilômetros 5 milhões de quilômetros Razão entre as Distâncias 3/ Período da Órbita de Marte ao redor do Sol. anos Razão entre os períodos Atividade 10: Plote a curva resultante para a=1 e n=1? Plote também atribuindo diferentes valores aos parâmetros n e a. O valor do parâmetro a representa a distância dos planetas em relação ao Sol e a razão é 3:, já o valor do parâmetro n é o período de volta dos planetas em torno do sol e a razão é :1. Portanto, Tel. (67)

15 A 19 DE AGOSTO DE 016 Terra Marte x = cos( t ) x = 3cos( t ) y = sen( t ) y = 3sen( t ) Atividade 11: Utilize as equações paramétricas e faça uma animação entre Sol, Terra e Marte.

7 15 A 19 DE AGOSTO DE 016 Terra Marte x = cos( t ) x = 3cos( t ) y = sen( t ) y = 3sen( t ) Atividade 11: Utilize as equações paramétricas e faça uma animação entre Sol, Terra e Marte. Figura 5: Relação entre Sol,Terra e Marte Atividade 1: Desafio. Se a e b forem número fixos, encontre equações paramétricas para o conjunto de todos os pontos P determinados, como mostrado na figura, usando o ângulo como parâmetro. O segmento de reta AB é tangente ao círculo maior. Faça uma animação. Figura 6: Desafio Tel. (67)

8 15 A 19 DE AGOSTO DE 016 Palavras-chave: Geometria Analítica, Paramétricas, Coordenadas Euclidianas. Referências ANTON, Howard. Cálculo: Um Novo Horizonte. 6 ed. Porto Alegre: Bookman, 000. v.. Illuminations. Disponível em: PAIS, L. C. Educação Escolar e as Tecnologias da Informática. Belo Horizonte-MG, Ed. Autêntica, 165p, 00. Winplot. Disponível em: Tel. (67)

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