Algumas Possibilidades do Uso do GeoGebra nas Aulas de Matemática

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA III Semana Acadêmica de Matemática Algumas Possibilidades do Uso do GeoGebra nas Aulas de Matemática Profª Lahis Braga Souza Profª Thais Sena de Lanna Profª Cristiane Neves Mello Profª Bárbara Cunha Fontes Viçosa

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA III Semana Acadêmica de Matemática Sumário Atividade 1 - Teorema de Pitágoras...3 Atividade 2 - Construção de prismas e pirâmides no GeoGebra 3D...4 Atividade 3 - Estudo das funções quadráticas...6 Atividade 4 - Funções trigonométricas...7 Atividade 5 - Trabalhando com triângulos de mesma área...8 Atividade 6 Noção intuitiva de limite e continuidade de uma função...9 Parte Parte Atividade 7- Construindo o gráfico da derivada...10

3 Atividade 1 - Teorema de Pitágoras Objetivo: Formalizar e compreender o conceito do Teorema de Pitágoras. Roteiro de Construção: Esconda o Eixo e a Malha para melhor visualização. Clique na ferramenta Controle Deslizante e clique sobre a janela de visualização. Na janela que abrirá, digite Cateto1 no campo destinado ao Nome e deixe o intervalo entre 0 e 15 com incremento de 1. Com a ferramenta Segmento com Comprimento Fixo, construa um segmento de comprimento Cateto1 (nome dado ao controle deslizante). Clique com o botão direito do mouse sobre o segmento formado e clique em renomear. No campo Nome, digite Cateto1. Selecione a ferramenta Reta Perpendicular e clique sobre o segmento criado no passo anterior e posteriormente sobre o ponto A. Faça agora o passo 2, nomeando o controle deslizante para cateto 2 Construa uma circunferência de centro A e raio Cateto2 (nome dado ao controle deslizante), com a ferramenta Círculo dados Centro e Raio. Com a ferramenta Intersecção de Dois Objetos, clique na circunferência formada no passo anterior e na reta perpendicular que passa pelo ponto A. Com a ferramenta Exibir/Esconder Objeto, esconda: a reta perpendicular, um dos pontos de intersecção entre a reta perpendicular e a circunferência e a circunferência. Construa os segmentos AD e DB (Cateto e Hipotenusa respectivamente). Clique com o botão direito do mouse sobre os segmentos AD e clique em renomear. No campo nome digite Cateto2. Faça o mesmo para o segmento DB renomeando para Hipotenusa. Selecione a ferramenta Polígono Regular e clique sobre os pontos D e B (No sentido horário), na janela que aparecerá digite 4 e clique em OK na janela que aparecerá. Com a mesma ferramenta, clique sobre os pontos A, D (no sentido horário) e por fim nos pontos B, A nessa ordem, digite 4 e clique em Ok na janela que aparecerá. Selecione a ferramenta Área, e clique sobre os três quadrados feitos anteriormente. Questões: 1) Clique em Exibir -> Planilha. Na planilha que aparecerá digite: (lembre-se há diferença com letras minúsculas e maiúscula no GeoGebra) 3

4 Nas células A1, A2, A3 digite db=, ba=, ad= Nas células B1,B2,B3 digite DB, BA, AD Nas células A5, A6, A7 digite (db)²=, (ba)²=, (ad)²= Nas células B5, B6, B7 digite (DB)², (BA)², (AD)² Movendo os controles deslizantes, o que pode observar em relação a área dos quadrados com os dados apresentados na planilha? 2) Digite nas células A9 e A10 digite (db)²=, (ba)² + (ad)²=. nas células abaixo digite (DB)² e (BA)²+(AD)² a) Movimentos os controles deslizantes, o que pode observar? b) Qual a relação as áreas dos quadrados? Atividade 2 - Construção de prismas e pirâmides no GeoGebra 3D Objetivo Compreender as características de um prisma e uma pirâmide no GeoGebra 3D. Roteiro de Construção Clicar em exibir, depois em janela de visualização 3D. Na janela de visualização 2 D, crie dois controles deslizantes com intervalo de 0 a 10, e incremento 0.1, renomeie os dois, o primeiro passando a ser h e o outro passando a ser l. Em seguida, clique em segmento com comprimento fixo, e selecione o comprimento l. Depois, clique em polígono regular, e clique nesses dois pontos do segmento, selecione 4 vértices. Um quadrado de lado l deverá ser formado tanto na janela de visualização 2D, quanto na janela de visualização 3D. Em seguida, clique em segmento com comprimento fixo, e selecione o comprimento l. Depois, clique em polígono regular, e clique nesses dois pontos do segmento, selecione 3 vértices. Um triângulo de lado l deverá ser formado tanto na janela de visualização 2D, quanto na janela de visualização 3D. Em seguida, na janela 3D, clique na sexta janela da direita para a esquerda e selecione a opção fazer extrusão para prisma ou cilindro, aí clique no quadrado, aí dará a opção de altura, coloque h nesse campo. 4

5 Em seguida, na janela 3D, clique na sexta janela da direita para a esquerda e selecione a opção fazer extrusão para pirâmide ou cone, aí clique no triângulo, aí dará a opção de altura, coloque h nesse campo. A figura deverá ficar parecida com esta, utilizando a primeira janela da direita para a esquerda, gire a janela de visualização 3D e explore a figura formada, mude também as cores se assim desejar: Atividade 3 - Estudo das funções quadráticas Objetivo Compreender os significados de cada parâmetro das funções quadráticas. Roteiro de Construção Criar os controles deslizantes a, b e c: Digitar no campo de entrada a função f(x) = ax^2 + bx + c. Mude a cor da parábola se desejar. Nesse momento, já poderia ser solicitado aos alunos que 5

6 manipulassem os parâmetros (com foco no a e c) para que conjecturassem sobre o que acontece. Depois, no campo de entrada, vamos localizar a coordenada do vértice, digitando no campo de entrada: V = ((-b) / (2a), (-(b² - 4a c)) / (4a)). Em seguida, habilite o rastro de V, movimente o controle b, e solicite aos alunos que conjecturem sobre o que estão visualizando. Os alunos devem concluir que a variação do parâmetro b faz com que a parábola se desloque tanto na parte positiva do eixo x quanto na parte negativa, bem como para cima e para baixo. Além disso, a trajetória do vértice traça uma parábola invertida. Atividade 4 - Funções trigonométricas Objetivo: Analisar o valor das funções seno, cosseno e tangente em triangulo retângulo. Roteiro de Construção Clicar na segunda janelinha superior (da direita para a esquerda) controle deslizante, e variar de -5 a 5. Digitar no campo de entrada y = ax, manter a positivo. 6

7 Clicar no segundo ícone da esquerda para a direita, e clicar em ponto sobre objeto, clicar na reta da função. Clicar no quarto ícone da esquerda para a direita, depois clicar em reta perpendicular, depois clicar no ponto A e no eixo x. Na interseção entre o eixo x e a reta perpendicular, colocar um outro ponto B, clicando novamente em ponto sobre objeto. Na interseção da reta com os eixos (na origem), coloque o ponto C, clicando mais uma vez em ponto sobre objeto. Clicando no quinto ícone da direita para a esquerda, clique em ângulo, depois clique (nessa ordem) em B, C, A, aparecerá a medida do ângulo interno correspondente ao vértice C. No campo de entrada, digite Distância[ A, B ], você terá a medida do cateto oposto ao ângulo criado. Será representado por d. No campo de entrada, digite Distância[ A, C ], você terá a medida da hipotenusa do triângulo. Será representado por e. No campo de entrada, digite Distância[ B, C ], você terá a medida do cateto adjacente ao ângulo criado. Será representado por f. No campo de entrada, digite d/e, e você terá a medida do seno do triângulo. Será representado por g. No campo de entrada, digite f/e, e você terá a medida do cosseno do triângulo. Será representado por h. No campo de entrada, digite d/f, e você terá a medida da tangente do triângulo. Será representado por i. Questões: 1) O que acontece com g, h e i quando variamos os pontos A? Justifique baseado na visualização e no que aprendeu em sala de aula. 2) Variando o controle deslizante a, altere as medidas do ângulo correspondente ao vértice C. O que acontece com as medidas de g, h e i, em cada ângulo que aparece, quando deslizamos o ponto A? Justifique. Atividade 5 - Trabalhando com triângulos de mesma área Objetivo: Trabalhar com os alunos os diferentes tipos de triângulo com mesma área. Formalizando a relação para o cálculo de área. 7

8 Roteiro de Construção: Construa uma reta a. Construa com a ferramenta Reta Paralela uma reta b paralela a reta a. Marque usando a ferramenta Ponto em Objeto os pontos D e E sobre a reta b Com a ferramenta Polígono construa os triângulos ABD e ABE. Com a ferramenta Área calcule a área do triângulo ABD e ABE. Questões: 1) O que você pode observar em relação as áreas desses triângulos? Você acha que isto acontece por que? 2) Movimente os pontos D e E, e descreva o que acontece com as medidas das áreas desses triângulos e se possível justifique o por que acontece. 3) Com a ferramenta Ângulo meça os ângulos do triângulo ABE. Quanto vale a soma de todos os ângulos internos? Use a ferramenta Entrada. 4) Com a ferramenta Mover, mova o ponto E. O que acontece com a soma dos ângulos internos do triângulo ABE? Atividade 6 Noção intuitiva de limite e continuidade de uma função Objetivo: Introduzir o assunto de limite de uma função visualizando graficamente, estudar a existência ou não do limite e verificar a continuidade de uma função em um ponto. Parte 1 Roteiro de Construção: Verifique que a janela de visualização esteja aparecendo os eixos coordenados e a malha. Caso contrário, clique com o botão direito do mouse e selecione as opções: Eixos e Malha. Insira na caixa de entrada a seguinte função f ( x)= { x ², x<1 2 x 3, x 1 com o seguinte comando: Se[<Condição>, <Então>, <Senão>] e aperte Enter. Crie um ponto A sobre o eixo x. Crie uma reta perpendicular ao eixo horizontal que passa por A. 8

9 Encontre o ponto B de interseção da reta a perpendicular com a função. Oculte a reta perpendicular. Crie uma reta perpendicular ao eixo y que passe pelo ponto B. Encontre o ponto C de interseção da reta b perpendicular com o eixo vertical. Oculte a reta b e o ponto B. Crie os segmentos AB e BC. Questões: 1) O que acontece com os valores de y quando os valores de x tendem a 1 pela direita? f (x )= x 1 + lim 2) O que acontece com os valores de y quando os valores de x tendem a 1 pela esquerda? f ( x)= x 1 lim 3) De acordo com os itens anteriores, o limite de f existe quando x=1? Justifique. 4) De acordo com o que já foi analisado até o momento, o que você diria sobre a Parte 2 continuidade dessa função? Justifique. Roteiro de Construção: Clique na ferramenta Controle Deslizante e clique sobre a janela de visualização. Na janela que abrirá, digite k no campo destinado ao Nome e deixe o intervalo entre -5 e 5. Clique duas vezes na função criada inicialmente e insira k, ao lado de x 2. Mova o número com a função. k no controle deslizante e observe o que acontece Questão: 9

10 1) Movendo o número k, no controle deslizante, é possível investigar para qual valor de k a função é contínua? 2) De acordo com o gráfico, para k= 1, o que acontece com a função nessa situação? 3) Existe o limite de f quando x tende a -1? Justifique sua resposta. Atividade 7- Construindo o gráfico da derivada Objetivo: Compreender a ideia de função derivada e construir o gráfico da função derivada a partir da função principal. Roteiro de Construção: Insira a função f ( x)=x ³ 4 x+2 na caixa de entrada. Clique na ferramenta Controle Deslizante e clique sobre a janela de visualização. Na janela que abrirá, digite a no campo destinado ao Nome e deixe o intervalo entre -5 e 5. Insira o ponto A=(a,f (a)) na caixa de entrada, em seguida tecle Enter. Utilizando a ferramenta reta tangente, tecle no gráfico da função e no ponto A. Dessa forma, obterá uma reta tangente ao gráfico no ponto A. Na opção inclinação, tecle na reta tangente, obtendo o valor da inclinação da reta tangente no ponto A. Renomeie a inclinação para m. Oculte a inclinação. Insira na caixa de entrada o ponto B=(a,m) Com o botão direito do mouse selecione a opção: habilitar rastro. Clique sobre o ponto B com o botão direito do mouse, selecione Propriedades e escolha uma cor para o ponto. Movimente o parâmetro a e observe a curva obtida pelo rastro deixado.. Questões: 10

11 1) Quais grandezas estão variando para gerar a curva? Elas estão em correspondência biunívoca? 2) A curva resultante da união dos pontos deixados pelo rastro corresponde ao gráfico de uma função? Se sim, qual? 11