Animação de Curvas e Superfícies

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1 II BIENAL DA SBM A DE OUTUBRO DE 00 Animação de Curvas e Superfícies Utiliando Software Livre Adelmo Ribeiro de Jesus Eliana Prates Soares Miriam Fernandes Mascarenhas

2 INTRODUÇÃO Este curso visa traer aos professores e alunos de cursos de Matemática algumas atividades de Geometria Analítica Plana e Espacial especialmente no que se refere a animação de curvas e superfícies. Abordaremos dois tipos básicos de animação: O primeiro deles mais simples trata de apresentar uma família de curvas a um parâmetro prédefinido. Melhor diendo escolhida uma função = f() considerar famílias a -parâmetro = f() + c = cf() ou então famílias do tipo = f(c). Como eemplos citamos as curvas = sen() + c = c sen() e = sen(c) No segundo tipo trabalharemos com a construção de curvas ou superfícies utiliando um parâmetro para sua construção ou seja dada uma curva = f() (ou uma superfície = f( )) trataremos de visualiar seu gráfico continuamente através de uma animação com parâmetro. Para obter esse efeito será necessário utiliar as equações paramétricas dessa curva ou superfície. Em alguns casos faremos uma animação discreta com o parâmetro percorrendo uma família de pontos 0 a 00 por eemplo As atividades que aqui são apresentadas podem servir de base para outras animações que ser poderão ser utiliadas em cursos de Geometria Analítica Álgebra Linear Cálculo e Geometria Diferencial. Agradecemos aos alunos e professores pela compreensão com os possíveis defeitos e agradecemos pelas sugestões. Salvador Bahia outubro de 00 Adelmo R. de Jesus/Eliana P. Soares/Miriam Mascarenhas

3 PARTE I: DESCRIÇÃO DO PROGRAMA O programa Winplot possui uma interface simples com inúmeros recursos. A versão em português (sempre atualiada) pode ser encontrada em com diversos arquivos de Ajuda que podem facilitar bastante a tarefa do usuário. Além disso é possível obter material suplementar sobre a utiliação deste programa escrevendo para adelmo@ufba.br. PARTE II: ANIMAÇÃO DE CURVAS NO PLANO A) Animação de curvas tipo f() +c f(+c) f(c) A animação ao lado mostra uma família de pontos gerando a curva =sen(). Devido a limitações de tempo e espaço não abordaremos nesta conferência este tipo de animação π/ π/ π/ π/ π π/ π/ π/ π B) Construção/Animação de Curvas Utiliando a Forma Paramétrica Nesta ª parte trabalharemos essencialmente com equações na forma paramétrica. Estas equações permitem escreve funções = f() por eemplo em uma forma = t = f(t) com a vantagem que poderemos controlar a ação de t mediante um novo parâmetro chamado parâmetro de animação. Dividiremos esta tarefa em duas sub-partes: B ) Curvas que iniciam na origem dos eios coordenados Dada uma função = f() a b podemos inserir um parâmetro k de animação para visualiar o seu traço. Para isso devemos utiliar suas equações na forma paramétrica. Faendo = t temos = f() = f(t). Logo as equações paramétricas dessa curva ficam = t (t) = f(t) a t b O caso mais simples ocorre quando queremos animar uma curva = f() iniciando a animação na origem O=(0 0). Isto corresponde a iniciar a animação em t = 0

4 Eemplo : = 0 ( ) Equações paramétricas: (t) = t (t) = t 0 < t < Animação no Winplot: a) No menu Equação Paramétrica digite (t) = kt (t) = (kt) e escolha o intervalo 0 < t < b) No menu Anim selecione o parâmetro K e ajuste-o para variar de 0 (def L) até (def R) Eemplo : = sen 0 π Equações paramétricas: = t (t) = sin(t) 0 < t < π Animação no Winplot: = kt (t) = sin(kt) faendo 0 < t < pi Não esqueça de ajustar o parâmetro K para variar entre 0 e π/ π/ π/ π π/ π/ π/ π π/ π/ π/ π π/ π/ π/ π π/ π/ π/ π π/ π/ π/ π

5 Eemplo : A função tangente = tg() 0 π Equações paramétricas: = t (t) = tg(t) 0 < t < π Animação no Winplot: Digite = kt (t) = tan(kt) 0 < t < pi π/ π π/ π π/ π π/ π/ π π/ π π/ π π/ π/ π π/ π π/ π π/ B ) Curvas que iniciam em um ponto qualquer do plano Quando a animação não começa no ponto (0 0) a parametriação é um pouco mais complicada. Eplicaremos brevemente a lógica dessa escolha. Antes apresentaremos alguns eemplos Eemplo : Segmento que liga os pontos P = (- ) a Q = ( ) Lembremos que as equações paramétricas de uma reta que passa por um ponto P= ( o o ) = o + a t são dadas por onde v = (ab) é um vetor direção desta reta. (t) = o + b t com t R Assim para ligarmos os pontos P= ( o o ) Q = ( ) de uma reta basta tomarmos = o + a t (t) = o + b t 0 t onde o vetor direção é v = Q-P = ( - o - o ) Resumindo as equações do segmento são: = o + ( - o ) t (t) = o + ( - 0 ) t e 0 t Daí temos a equação do segmento que liga os pontos P = (- ) a Q = ( ) :

6 = + t (t) = + t 0 t Q=( ) Q=( ) Q=( ) P=( - ) P=( - ) P=( - ) Eemplo : Construir a animação do gráfico = - Suponhamos agora que queiramos ligar os pontos P = (- ) a Q = ( ) através da parábola =. Como faer? As equações paramétricas dessa parábola são : (t) = t (t) = t t 0 ( ) Animação: (t) = + k (t + ) (t) = ( + k (t + ) ) - t (-) A lógica dessa animação é a seguinte: quando k=0 temos (t) = - e (t) =. Conseqüentemente o programa só eibe o ponto P =(- ). Quando k = teremos (t) = - + (t+) ou seja (t) = t. Também temos (t) = = (- + (t+) ) ou seja (t) = t que é a curva = inteira. Os passos intermediários 0 < k < nos dão as várias gradações da curva =

7 Podemos enfim enunciar um princípio geral para animação de curvas que ligam dois pontos do plano. Reparametriar para construir a animação = f(t) Teorema: Se (t) = g(t) a t b é uma curva plana que liga os pontos P = (f(a) g(a)) a = f(a + k(t a)) Q = (f(b) g(b)) a reparametriação (t) = g(a + k(t - a)) a t b 0 k fornece a animação da curva desde o ponto inicial P até Q. Argumento: O novo parâmetro τ = a + k (t-a) é tal que: = f(a) Quando k = 0 temos τ = a. Logo o que representa o ponto P. (t) = g(a) Quando τ = b temos τ = a + (t-a) = a + (t-a) = t o que nos dá toda a curva. Os passos intermediarios 0 < k < nos darão τ = a + k(t-a). Quando t varia entre a e b o parâmetro τ varia entre a e a+k(b-a) =(-k)a + kb gerando as curvas intermediarias = f(t) (t) = g(t) a t a + k(b a) Eemplo : Construir a animação simultânea do segmento e da parábola = no intervalo - Solução: As equações paramétricas do segmento e da parábola são respectivamente: Segmento: = + t (t) = + t 0 t Parábola: (t) = t (t) = t t No caso do segmento temos a = 0. Logo o novo parâmetro é τ = 0 + k(t-0) ou seja τ = kt No caso da parábola temos a =-. Logo τ = - + k(t-(-)) ou seja τ = - + k(t+) Dessa forma teremos: a) Animação do segmento: = + kt (t) = + kt 0 t b) Animação da parábola : (t) = + k (t + ) (t) = ( + k (t + ) ) - t

8 Faendo agora o parâmetro k variar entre 0 e temos a seguinte animação. (-) ( ) (-) ( ) (-) 0 ( ) Fig. Fig. Fig. Eemplo : = sen - π/ π Solução: As equações paramétricas são (t) = t (t) = sin(t) - π < t < π Para a < t < b tome T= a+k(t-a) a< T < b 0<k< Neste caso π a = f(t) =t g(t) = sin(t). π/ π/ π/ π/ π/ π/ π π/ π/ π/ π π/ π/ π π π π O parâmetro τ fica então τ = + k(t ( ) ) = - + k(t + ) A animação fica então: = - π + k(t + π) (t) = sin(- π + k(t + π)) - π t π Eercícios:. Animar o segmento de reta que liga o ponto P = (00) a Q = ( ). Animar o segmento de reta que liga o ponto P = (00) a Q = ( ). Animar o gráfico da parábola = 0. Animar o gráfico da cúbica = 0 **********************************************************

9 . Animar o segmento de reta que liga o ponto P = (-) a Q = ( ). Animar o segmento de reta que liga o ponto P = (- ) a Q = ( ). Animar o gráfico da parábola = -. Animar o gráfico da parábola = -. Animar o gráfico da parábola = Animar o gráfico da parábola = - -. Animar o gráfico da cúbica = -. Animar o gráfico da parábola = + de = até = PARTE III: ANIMAÇÃO DE CURVAS E SUPERFÍCIES NO ESPAÇO O processo para animar uma curva ou superfície no espaço é análogo ao de curvas no plano. O parâmetro K de animação deve sempre variar de 0 até. Eemplo : Animação de uma hélice no espaço = cos(t) Equações paramétricas: (t) = sin(t) é uma hélice inscrita no cilindro + = (t) = t 0 t π = cos(kt) Animação: (t) = sin(kt) (t) = kt 0 t π 0 k

10 0 Eemplo : Animação de um helicóide no espaço(caso contínuo) (t u) = t cos(ku) (t) = tsin(ku) (t) = ku 0 t 0 u π Eemplo : Construção do helicóide como uma superfície regrada (caso discreto) A grosso modo uma hélice é uma curva no espaço descrita pelo movimento de um ponto em redor do eio O ao mesmo tempo que ele se eleva. Neste caso suas equações paramétricas são = a cos(t) (t) = asin(t) onde a b são parâmetros fios. O parâmetro a dá o raio do circulo no (t) = bt plano e b dá o chamado passo da hélice. No caso da figura ao lado tomamos a= b=0. para melhor visualiação e 0 t π O helicóide é a superfície obtida pela união das semiretas que passam por um ponto P da hélice e são perpendiculares ao eio O. Para efeito de visualiação traçamos um segmento gerador do helicóide ligando os pontos genéricos P c =(cos(c) sin(c) 0.c) da hélice e Q c =(00 0.c) do eio O. Qc Observe que como Pc e Qc têm a mesma altura o Pc vetor direção da reta suporte é v = (cos(c) sin(c) 0) que é perpendicular ao eio O A equação vetorial do segmento é dada por ((t) (t) (t) ) = Q c + t (P c Q c ). Na forma paramétrica temos

11 = cos(c) t (t) = sin(c)t (t) = 0.c Finalmente tomando uma família de segmentos no Winplot vemos a seguinte superfície regrada chamada helicóide. Contatos: adelmo@ufba.br elianaps@ufba.br mfm@ufba.br