CAPÍTULO 5 DERIVADAS PARCIAIS

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1 CAPÍTULO 5 DERIVADAS PARCIAIS 51 Introdução Vamos falar agora de derivadas parciais de uma função real de várias variáveis reais f : Dom(f) R n R Para simplificar vamos começar com uma função definida em R para só depois generaliar o conceito de derivada parcial para funções definidas em R n Seja f : Dom(f) R R ( ) = f( ) Suponha que ( 0 0 ) é um ponto interior de Dom(f) e considere os intervalos I e J definidos da seguinte forma: I é o intervalo que contém 0 e é tal que I ( 0 ) Dom(f) e J é o intervalo que contém 0 e é tal que J ( 0 ) Dom(f) Como ( 0 0 ) é um ponto interior de Dom(f) eiste r > 0 tal que B r ( 0 0 ) Dom(f) de modo que ( 0 r 0 + r) I e ( 0 r 0 + r) J Vamos fiar = 0 e com isto criar uma função da reta na reta g 0 definida como g 0 () := f( 0 ) I A função g 0 assim definida é uma função real de variável real bem estudada em Cálculo 1A para a qual sabemos aplicar o conceito de diferenciabilidade Sendo assim se g 0 for diferenciável em 0 temos que eiste g 0 ( 0 ) o qual é dado pelo limite abaio g g 0 ( 0 + h) g 0 ( 0 ) 0 ( 0 ) h 0 h Definimos então a derivada parcial de f com relação a no ponto ( 0 0 ) denotada por ( 0 0 ) como isto é ( 0 0 ) = g g 0 ( 0 + h) g 0 ( 0 ) 0 ( 0 ) h 0 h ( f( 0 + h 0 ) f( 0 0 ) 0 0 ) h 0 h 89

2 Cálculo B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Encontramos também outras notações para a derivada parcial da função f com relação à variável Elas são: = f = f = D f = D 1 f Vamos faer a mesma coisa só que agora com a variável Isto é vamos fiar = 0 e criar a função da reta na reta h 0 definida como h 0 () := f( 0 ) J A função h 0 assim definida é uma função real de variável real Se h 0 for diferenciável em 0 temos que eiste h 0 ( 0 ) a qual é dada pelo limite h h 0 ( 0 + k) h 0 ( 0 ) 0 ( 0 ) k 0 k Definimos então a derivada parcial de f com relação a no ponto ( 0 0 ) denotada por ( 0 0 ) como isto é ( 0 0 ) = h h 0 ( 0 + h) h 0 ( 0 ) 0 ( 0 ) k 0 k ( f( k) f( 0 0 ) 0 0 ) k 0 k Outras notações para a derivada parcial da função f com relação à variável são: = f = f = D f = D f Para melhor entender estas novas definições vamos aplicá-las para determinar as derivadas parciais da função no eemplo abaio Eemplo 511: Determine as derivadas parciais de f onde Solução: Pela definição acima temos que f( ) = + ( f( 0 + h 0 ) f( 0 0 ) 0 0 ) h 0 h ( 0 + h) 0 + ( 0 + h) ( ) h 0 h h h h h 0 h h h 0 + h h 0 h h( h 0 + ) h 0 h h 0 + = h 0

3 Cálculo B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise e ( f( k) f( 0 0 ) 0 0 ) k 0 k h 0 0( 0 + k) + 0 ( ) k h k k 0k h 0 k h 0 0 = 0 Ao olharmos o resultado do limite calculado para encontrar podemos observar que na hora de derivarmos com respeito a tudo se passou como se fosse a única variável da função e fosse apenas uma constante De forma análoga na hora de derivarmos com respeito a para encontrarmos tratamos como se ela fosse a única variável envolvida e como se fosse uma constante arbitrária Sendo assim todas as regras de derivação de funções reais de uma variável real podem ser naturalmente aplicadas considerando que a cada ve eiste apenas uma variável e a outra variável que sobra é vista apenas como uma constante De fato no eemplo acima concluímos que se f( ) = + então ( ) = + ( ) = Vamos aplicar esta observação nos eemplos abaio Eemplo 51: Seja f( ) = arctan( + ) Determine as derivadas parciais de f Solução: De acordo com o que foi observado anteriormente em ve de utiliar a definição vamos aplicar as regras de derivação normalmente considerando apenas uma variável por ve Desta forma se tivermos que derivar a função g(t) = arctan(t + C) onde C é uma constante não teremos dúvida (espero que não) em afirmar que Portanto g (t) = t 1 + (t + C) ( ) = 1 + ( + ) ( ) = 1 + ( + )

4 Cálculo B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Agora sempre no intuito de fornecer as definições e resultados da maneira mais geral possível vamos generaliar o conceito de derivada parcial para uma função real definida em R n 5 Derivadas Parciais Seja f : Dom(f) R n R X = ( 1 n ) f(x) = f( 1 n ) e seja X 0 = ( n 0 ) Dom(f) Vamos criar uma nova função g i X0 i = 1 n definida da seguinte forma: g i X0 : Dom(g i X0 ) R R i g i X0 ( i ) = f( (i 1) 0 i (i+1) 0 n0 ) Isto é todas as variáveis com eceção de i foram fiadas: 1 = 1 0 = 0 i 1 = (i 1) 0 i+1 = (i+1) 0 n = n0 g i X0 assim definida é portanto uma função da reta na reta e se g i X0 é derivável em i 0 definimos a derivada parcial de f com relação à variável i no ponto X 0 = ( n0 ) como g i X 0 ( i0 ) e a notação utiliada é (X 0 ) Sendo assim i (X 0 ) = g g i X0 ( i0 + h) g i X0 ( i0 ) i X 0 ( i0 ) i h 0 h f( 1 0 i0 + h n0 ) f( 1 0 i0 n0 ) h 0 h Neste caso as outras notações utiliadas são: i = i f = f i = D i f = D i f Conforme observado no caso de funções de duas variáveis no cálculo de derivadas parciais de funções de n variáveis todas as regras de derivação de funções de uma variável podem ser naturalmente aplicadas considerando que a cada ve eiste apenas uma variável e as outras variáveis que sobram são vistas apenas como constantes

5 Cálculo B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Vamos agora nos concentrar em funções de duas e de três variáveis e faer um eemplo em R 3 Eemplo 51: Seja f( ) = ln() e Determine as derivadas parciais de f Solução: Utiliando as regras de derivação normalmente incluindo a regra da cadeia temos que ( ) 1 ( ) = e + ln() e = e + ln() e ( ) 1 ( ) = e + ln() e = e + ln() e ( ) ( ) = 1 + ln() e = e (1 + ln()) No Eemplo 5 a seguir vamos faer uma pequena recordação de Cálculo 1A nos preparando para o Eemplo 53 logo após Eemplo 5: Vamos contar a história da professorinha de Cálculo 1A e seus alunos para relaar um pouco Considere a função f definida abaio di a professora { + 3; f() = 7; = Vamos calcular a derivada de f É fácil ver que para f () = Vejamos agora quem é f () Os alunos não se contêm e respondem imediatamente: ZERO! Aí o professora lhes pergunta : Por quê? E cheios de convicção eles respondem: Ora professora que pegadinha boba f é constante e a derivada de constante é ero até meu irmãoinho sabe Depois disso a professora abatida olhando seus alunos de Cálculo B que também foram de Cálculo 1A se pergunta: OH DEUS ONDE FOI QUE EU ERREI? Depois de beber um pouco de água e respirar fundo ela se questiona interiormente: Que faço? Vou embora? Talve dar uma volta no Plaa Então tem uma idéia que transparece em um risinho malicioso para os mais sagaes Resolve se vingar! Então pergunta: Vocês sabem qual é a derivada da função polinomial g() = +3? Os alunos prevendo problemas olham para baio e esperam que um inocente se manifeste De fato um distraído mais afoito responde: É professora Ela concorda e então a turma respira mais aliviada Daí ela complementa: Vocês portanto

6 Cálculo B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise estão de acordo que a derivada desta função no ponto = é 4? Todos balançam a cabeça Ela dá um sorriso de felicidade e todos pensam que ela se acalmou Qual nada é aí que ela contra-ataca: E QUAL É A DIFERENÇA{ ENTRE A FUNÇÃO g() = +3 E A FUNÇÃO QUE EU DEFINI ACIMA f() = + 3; 7; =? Eles boquiabertos veêm seu mundo ruir É verdade elas são iguais o que significa que a derivada da função f não é ero no ponto = e sim 4 Alguns vão para o banheiro chorar O mundo nunca mais será o mesmo A derivada de uma constante não é mais ero Ela percebendo a aflição dos que ficaram se arrepende e tenta se redimir começando a eplicação docemente: Não estamos falando de funções reais de variáveis reais? Todos respondem em uníssono: Sim claro! Então ela desabafa: Como é que vocês queriam então que o valor da função no ponto = fosse outra coisa senão um número? Eles caem em si e faem uma carinha de que estão começando a entender mas na realidade estão apenas mais tranqüilos porque pensaram Então pode ser que derivada da função constante ainda continue sendo ero Ela sentindo um fio de esperança começa: Lembrem-se que na definição de derivada encontramos o limite TAL onde é necessário saber além do valor da função no ponto = seu valor em pontos um pouquinho à direita de = e um pouquinho à esquerda de = Sendo assim PARA O CÁLCULO DA DERIVADA NO PONTO = NÃO BASTA O VA- LOR DA FUNÇÃO NESTE PONTO perde novamente a cabeça e grita a professora Os alunos com medo que ela tenha outro chilique fingem que entenderam Mas ela é macaco velho identifica o fingimento respira fundo mais uma ve bebe mais um pouquinho de água e dá a cartada final aplicando a definição de derivada conforme pode ser visto abaio f () h 0 f( + h) f() h h 0 ( + h) h h h + 4h 4 h h 0 h(h + 4) h h 0 h + 4h h h 0 h + 4 = 4 Assim termina nossa história A professora ensinou seus alunos a calcular direitinho a derivada de funções definidas por mais de uma sentença e depois disto eles acertaram todas as derivadas (sem regra da cadeia aí também seria demais) pelo resto da vida The End Após este momento nostálgico tão singelo vamos resolver os eemplos abaio lembrando da moral da historinha acima: Quando houver mais de uma sentença é necessário utiliar a definição para calcular a derivada no ponto problema Eemplo 53: Determine as derivadas parciais da função 3 ; ( ) (0 0) f( ) = + 0; ( ) = (0 0)

7 Cálculo B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Solução: Para ( ) (0 0) tudo se passa como observado anteriormente ie podemos utiliar as regras de derivação com tranqüilidade considerando apenas uma variável por ve de modo que e ( ) = ( + ) ( 3 ) ( + ) = (1 + ) ( + ) ( ) = 3 ( + ) ( 3 ) ( + ) = ( ) ( + ) Para ( ) = (0 0) conforme observado antes temos que utiliar a definição Portanto e Desta forma e f(0 + h 0) f(0 0) (0 0) h 0 h 1 h 0 h = f(0 0 + k) f(0 0) (0 0) k 0 k k k 0 k = 1 ( ) = ( ) = ( ) ; ( ) (0 0) ( + ) ; ( ) = (0 0) ( ) ; ( ) (0 0) ( + ) 1; ( ) = (0 0) As duas figuras abaio fornecem um esboço da gráfico da função f sob dois ângulos diferentes

8 Cálculo B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Observe que para calcularmos (0 0) em ve de utiliarmos o limite acima temos como forma alternativa a opção de trabalharmos com a função{ g 0 Neste caso de 1; ( ) (0 0) acordo com a definição da função g 0 temos que g 0 () := f( 0) = 0; ( ) = (0 0) que é uma função descontínua na origem e portanto não é diferenciável neste ponto Na primeira figura abaio temos um esboço da gráfico da função f juntamente com o plano = 0 e a curva dada pela interseção do gráfico de f com o plano = 0 A figura a seguir mostra apenas a curva dada pela interseção do gráfico de f com o plano = 0 projetada no plano Observe que esta curva é o gráfico da função g 0 Analisando seu gráfico vemos claramente a descontinuidade da função g 0 na origem Analogamente observe que para calcularmos (0 0) em ve dde utiliarmos o limite acima podemos optar por trabalharmos { com a função h 0 De acordo com a definição ; ( ) (0 0) de h 0 temos que h 0 () := f(0 ) = que é uma função contínua 0; ( ) = (0 0) e diferenciável na origem Na primeira figura abaio temos um esboço da gráfico da função f juntamente com o plano = 0 e a curva dada pela interseção do gráfico de

9 Cálculo B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise f com o plano = 0 A figura a seguir mostra apenas a curva dada pela interseção do gráfico de f com o plano = 0 projetada no plano Observe que esta curva é o gráfico da função h 0 Analisando seu gráfico vemos claramente a diferenciabilidade da função h 0 na origem Eemplo 54: Determine as derivadas parciais da função ; ( ) (0 0) f( ) = + 0; ( ) = (0 0) Solução: Novamente para ( ) (0 0) tudo se passa como antes ie podemos utiliar as regras de derivação com tranqüilidade de modo que e ( ) = ( + ) () ( + ) = ( ) ( + ) ( ) = ( + ) () ( + ) = ( ) ( + ) Para ( ) = (0 0) conforme observado temos que utiliar a definição Portanto e f(0 + h 0) f(0 0) (0 0) h 0 h 0 h 0 h = 0 f(0 0 + k) f(0 0) (0 0) k 0 k 0 k 0 k = 0

10 Cálculo B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Desta forma e ( ) = ( ) = ( ) ; ( ) (0 0) ( + ) 0; ( ) = (0 0) ( ) ; ( ) (0 0) ( + ) 0; ( ) = (0 0) Observação 51: Observe que a função do Eemplo 54 acima apesar de possuir derivadas parciais na origem não é contínua na origem conforme já foi verificado na aula de continuidade no Eemplo 431 Note que não há nenhuma contradição neste fato pois as funções que devem ser contínuas devido à eistência das derivadas parciais são as funções g 0 () f( 0) = 0 e h 0 () f(0 ) = 0 que são perfeitamente contínuas conforme o esperado A seguir vamos faer uma interpretação geométrica das derivadas parciais 53 Interpretação Geométrica Considere a função f : Dom(f) R R Se f possui derivada parcial em relação à variável no ponto ( 0 0 ) A(aberto) Dom(f) então a função g 0 definida como g 0 () f( 0 ) I é diferenciável em 0 e g 0 ( 0 ) = ( 0 0 ) Isto permite concluir que o gráfico da função g 0 possui reta tangente no ponto ( 0 g 0 ( 0 )) e o coeficiente angular m 10 desta reta é igual a m 10 = g 0 ( 0 ) = ( 0 0 ) Mas observe que o gráfico de g 0 pode ser colocado no plano = 0 e que neste caso ele pode ser visto como a curva resultante da interseção do gráfico de f com o plano = 0 Desta forma temos que ( 0 0 ) fornece o coeficiente angular da reta tangente à curva C 10 dada pela interseção do plano = 0 com o gráfico de f no ponto ( 0 0 f( 0 0 )) Neste caso observe que a reta tangente à curva C 10 no ponto ( 0 0 f( 0 0 )) na forma cartesiana é dada pelas equações f( 0 0 ) = ( 0 0 ) ( 0 ) = 0 Por outro lado como C 10 é a curva resultante da interseção do gráfico de f com o

11 Cálculo B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise plano = 0 temos que γ 10 () = ( 0 f( 0 )) fornece uma parametriação para C 10 Desta forma utiliando a parametriação γ 10 temos que a reta tangente à curva C 10 no ponto ( 0 0 f( 0 0 )) na forma paramétrica é dada ( ) = ( 0 0 f( 0 0 )) + λγ 0( 0 ) λ R ( = ( 0 0 f( 0 0 )) + λ 1 0 ) ( 0 0 ) λ R De forma análoga se f possui derivada parcial em relação à variável no ponto ( 0 0 ) é porque a função h 0 definida como h 0 () f( 0 ) J é diferenciável em 0 e h 0 ( 0 ) = ( 0 0 ) Isto permite concluir que o gráfico da função h 0 possui reta tangente no ponto ( 0 h 0 ( 0 )) e o coeficiente angular m 0 desta reta é igual a m 0 = g 0 ( 0 ) = ( 0 0 ) Mas observe que o gráfico de h 0 pode ser colocado no plano = 0 e que neste caso ele pode ser visto como a curva resultante da interseção do gráfico de f com o plano = 0 Desta forma temos que ( 0 0 ) fornece o coeficiente angular da reta tangente à curva C 0 dada pela interseção do plano = 0 com o gráfico de f no ponto ( 0 0 f( 0 0 )) Neste caso observe que a reta tangente à curva C 0 no ponto ( 0 0 f( 0 0 )) na forma cartesiana é dada pelas equações f( 0 0 ) = ( 0 0 ) ( 0 ) = 0 Por outro lado como C 0 é a curva resultante da interseção do gráfico de f com o plano = 0 temos que γ 0 () = ( 0 f( 0 )) fornece uma parametriação para C 0 Desta forma utiliando a parametriação γ 0 temos que a reta tangente à curva C 0 no ponto ( 0 0 f( 0 0 )) na forma paramétrica é dada ( ) = ( 0 0 f( 0 0 )) + λγ 0( 0 ) λ R ( = ( 0 0 f( 0 0 )) + λ 0 1 ) ( 0 0 ) λ R Vamos ilustrar o que vimos acima no eemplo abaio: Eemplo 531: Dado f( ) = 1 4 encontre os coeficientes angulares das retas tangentes respectivamente às curvas dadas pela interseção do gráfico de f com

12 Cálculo B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise o plano = 1 no ponto ( ) e com o plano = 1 neste mesmo ponto 4 Solução: Conforme observado acima o coeficiente angular da reta tangente à curva C 1 dada pela interseção do plano = 1 ( 1 com o gráfico de f no ponto ) é dado por ( ) = Neste caso temos que a reta tangente à curva C 1 cartesiana é dada pelas equações 1 ( = 1 ) 4 = 1 no ponto ( ) na forma Além disso temos que C 1 é a curva contida no plano = 1 parametriada por γ 0 () = ( 1 ( f 1 )) ( 1 R e a reta tangente à curva C 1 no ponto ) na forma paramétrica é dada ( ) 1 ( ) = = ( + λ 1 0 ( )) λ R ( ) + λ (1 0 ) λ R Da mesma forma o coeficiente angular da reta tangente à curva C dada pela interseção do plano = 1 ( 1 4 com o gráfico de f no ponto ) é dado por ( ) = 1 Neste caso temos que a reta tangente à curva C cartesiana é dada pelas equações 1 ( = 1 1 ) = 1 4 no ponto ( ) na forma Além disso temos que C é a curva contida no plano = 1 parametriada por ( ( )) 4 ( γ 0 () = 4 f 4 R e a reta tangente à curva C no ponto )

13 Cálculo B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise na forma paramétrica é dada ( 1 ( ) = ) ( + λ 0 1 ( )) λ R ( 1 = ) + λ (0 1 1) λ R Abaio temos o esboço do gráfico com os planos e as retas tangentes

14 Cálculo B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Interpretação Como Taa de Variação As derivadas parciais podem ser interpretadas como taas de variação como eemplo uma função definida em R dada a função Utiliando f : Dom(f) R R ( ) = f( ) temos que representa a taa de variação de com relação à variação da variável quando é mantido fio Da mesma forma representa a taa de variação de com relação à variação da variável quando é mantido fio Em termos mais práticos podemos citar a função I = f(t H) onde I é o índice de calor (temperatura que corresponde à sensação de calor) T é a temperatura real e H é a umidade relativa do ar Neste caso estamos diendo que o índice de calor é função da temperatura real e da umidade relativa do ar Desta forma temos que I T quando T = T 0 e H = H 0 T (T 0 H 0 ) fornece a taa de variação do índice de calor com relação à variação da temperatura na temperatura T 0 quando a umidade relativa do ar é mantida fia em H 0 Da mesma forma temos que I H quando T = T 0 e H = H 0 H (T 0 H 0 ) fornece a taa de variação do índice de calor com relação à variação da umidade relativa do ar para a umidade relativa do ar igual a H 0 quando a temperatura é mantida fia em T 0 A seguir raciocinando como feito com derivadas de funções da reta na reta vamos fornecer aproimações para variações no índice de calor quando mantemos uma das grandeas fias e variamos apenas a outra Uma ve que T (T 0 H 0 ) T 0 f(t 0 + T H 0 ) f(t 0 H 0 ) h

15 Cálculo B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise para T suficientemente pequeno podemos fornecer a seguinte aproimação de modo que T (T 0 H 0 ) f(t 0 + T H 0 ) f(t 0 H 0 ) T f(t 0 + T H 0 ) f(t 0 H 0 ) + T (T 0 H 0 ) T O significado da aproimação acima é: A variação do índice de calor quando a umidade é mantida fia em H 0 e a temperatura varia de T 0 a T 0 + T é de aproimadamente T (T 0 H 0 ) T Analogamente como H (T 0 H 0 ) H 0 para H suficientemente pequeno temos que de modo que f(t 0 H 0 + H) f(t 0 H 0 ) H H (T 0 H 0 ) f(t 0 H 0 + H) f(t 0 H 0 ) H f(t 0 H 0 + H) f(t 0 H 0 ) + H (T 0 H 0 ) H O significado da aproimação acima é: A variação do índice de calor quando a temperatura é mantida fia em T 0 e a umidade varia de H 0 a H 0 + H é de aproimadamente H (T 0 H 0 ) H De fato considerando agora uma função arbitrária definida em R f : Dom(f) R R ( ) f( ) como ( f( 0 + h 0 ) f( 0 0 ) 0 0 ) h 0 h para h pequeno temos que de modo que ( 0 0 ) f( 0 + h 0 ) f( 0 0 ) h f( 0 + h 0 ) f( 0 0 ) + ( 0 0 )h Neste caso temos que fornece a taa de variação de f com relação à variação da variável quando a variável permanece fia

16 Cálculo B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Da mesma forma como para k pequeno temos que de modo que ( f( k) f( 0 0 ) 0 0 ) k 0 k ( 0 0 ) f( k) f( 0 0 ) k f( k) f( 0 0 ) + ( 0 0 )k Neste caso temos que fornece a taa de variação de f com relação à variação da variável quando a variável permanece fia Eemplo 541: O volume V de um cilindro circular reto é dado pela fórmula V = πr h onde r é o raio do cilindro e h é sua altura a) Determine a taa de variação do volume em relação ao raio se a altura permanece constante; b) Determine a taa de variação do volume em relação à altura se o raio permanece constante; c) Com a altura fiada em 6cm determine a taa de variação do volume em relação ao raio quando o raio é igual a 4cm; d) Use o item anterior para estimar o volume do cilindro quando sua altura é 6cm e seu raio é 4001cm; e) Com o raio fiado em 4cm determine a taa de variação do volume em relação à altura quando a altura é igual a 6cm; f) Use o item anterior para estimar o volume do cilindro quando seu raio é 4cm e sua altura é 5998cm; Solução: a) A taa de variação do volume em relação ao raio se a altura permanece constante trata-se da derivada parcial do volume com relação ao raio ie V (r h) Desta forma r temos que V (r h) = πrh r b) A taa de variação do volume em relação à altura se o raio permanece constante V trata-se da derivada parcial do volume com relação à altura ie (r h) h Desta forma temos que V h (r h) = πr c) A taa de variação do volume em relação ao raio para o raio igual a 4cm quando a altura é fiada em 6cm é V (4 6) Desta forma temos que r V (4 6) = π46 = 48π r

17 Cálculo B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise d) Uma aproimação para o volume do cilindro quando r = = e h = 6 conforme visto acima é dada por V ( ) V (4 6) + V (4 6)0 001 r π π0 001 = π e) A taa de variação do volume em relação à altura na altura é 6cm quando o raio é fiado em 4cm é V (4 6) Desta forma temos que h V r (4 6) = π4 = 16π f) Uma aproimação para o volume do cilindro quando r = 4 e h = = conforme visto acima é dada por V ( ) V (4 6) + V (4 6) 0 00 h π π 0 00 = π Eemplo 54: No estudo da penetração do congelamento determinou-se que a temperatura T no instante t (medido em dias) a uma profundidade (medida em metros) pode ser modelada pela função T ( t) = T 0 + T 1 e λ sen (ωt λ) onde ω = π e λ é uma constante positiva 365 a) Determine T e interprete fisicamente; b) Determine T e interprete fisicamente; t c) Se λ = 0 T 0 = 0 e T 1 = 10 determine e interprete as derivadas parciais de T e T quando = 0 e t = 15 t Solução: a) T ( t) = λt 1e λ sen (ωt λ) λt 1 e λ cos(ωt λ) = λt 1 e λ ( sen (ωt λ) + cos(ωt λ)) T fornece a taa de variação da temperatura em relação à variação da profundidade quando o dia é mantido constante

18 Cálculo B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise b) T t ( t) = ωt 1e λ cos(ωt λ) T fornece a taa de variação da temperatura em relação à variação dos dias quando t a profundidade é mantida constante c) ( T (0 15) = e 00 ( = e 4 sen ( π sen 365 ( ) 6π cos ) ( 6π 73 4 ( π + cos )) )) T (0 15) representa a taa de variação da temperatura em relação à variação da profundidade no nível de profundidade de 0 metros depois de decorridos 15 dias T π (0 15) = t ( π e 000 cos 365 ) = 4π 73 e 4 cos ( 4π 73 4 ) T (0 15) representa a taa de variação da temperatura em relação à variação dos t dias no décimo quinto dia no nível de profundidade de 0 metros Observação 541: O que foi feito acima para uma função real de duas variáveis reais pode ser estendido de forma natural para uma função real de várias variáveis reais Isto é considere a função f : Dom(f) R n R X = ( 1 n ) f( 1 n ) e seja X 0 = ( n0 ) Dom(f) Se f possui todas as derivadas parciais de primeira ordem em X 0 também temos que f( 1 0 i0 + i n0 ) f(x 0 ) + i (X 0 ) i Além disso temos que i fornece a taa de variação de f com relação à variação da variável i quando todas as outras variáveis j j i permanecem fias

19 Cálculo B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Vetor Gradiente Agora vamos definir o vetor gradiente de uma função de n variáveis reais Em alguns livros este vetor só é definido para funções diferenciáveis Optaremos aqui por definir para funções que possuem todas as derivadas parciais conforme pode ser visto abaio DEFINIÇÃO 551: Seja f : Dom(f) R n R X = ( 1 n ) f( 1 n ) e seja X 0 = ( n0 ) Dom(f) Se f possui todas as derivadas parciais de primeira ordem em X 0 o vetor gradiente de f em X 0 denotado por f(x 0 ) é definido como ( ) f(x 0 ) = (X 0 ) (X 0 ) (X 0 ) 1 n Observe que o conceito de vetor gradiente é específico para funções reais de várias variáveis Vamos resolver o eemplo abaio Eemplo 541: Determine f( ) onde f( ) = + Solução: Conforme visto no Eemplo 511 ( ) = + ( ) = Portanto f( ) = ( + ) Eemplo 54: Determine f(0 0) onde ; ( ) (0 0) f( ) = + 0; ( ) = (0 0) Solução: Conforme visto no Eemplo 54 (0 0) = 0 (0 0) = 0

20 Cálculo B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Portanto f(0 0) = (0 0) 56 Eercícios Eercício 561: Determine as derivadas parciais da função ; ( ) (0 0) f( ) = + 0; ( ) = (0 0) Solução: Para ( ) (0 0) podemos utiliar as regras de derivação com tranqüilidade de modo que e ( ) = + + ( + ) = ( + ) 3 ( + ) 3/ = 3 + ( + ) 3/ ( ) = = + ( + ) ( + ) 3/ Já para ( ) = (0 0) conforme observado anteriormente temos que utiliar a definição Portanto e f(0 + h 0) f(0 0) (0 0) h 0 h h 0 h h 0 h h h 0 h = f(0 0 + k) f(0 0) (0 0) k 0 k 0 k 0 k = 0

21 Cálculo B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Desta forma e ( ) = ( ) = 3 + ; ( ) (0 0) ( + ) 3/ ; ( ) = (0 0) ; ( ) (0 0) ( + ) 3/ 0; ( ) = (0 0) Observe que apesar de f não possuir derivadas parciais na origem f é contínua na origem (cf Eercício 441)