PARTE 7 DERIVADA DE FUNÇÃO REAL DE. Seja f : Dom(f) R n R m

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1 PARTE 7 DERIVADA DE FUNÇÃO REAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS 7.1 Introdução Seja f : Dom(f R n R m X = ( 1, 2,..., n f(x = f( 1, 2,..., n e seja X 0 = ( 10, 20,..., n 0 Dom(f. Vamos agora tentar generalizar o conceito de derivada de funções reais de uma variável que foi visto em Cálculo 1A. Uma primeira idéia de definição de derivada de funções reais de várias variáveis, que é bem natural que venha em nossa mente, até pela aula passada, é utilizar as derivadas parciais. Isto é, diríamos que uma função é derivável em um ponto se ela possuisse todas as derivadas parciais neste ponto. Entretanto, também é natural, nesta generalização do conceito de derivada, que queiramos preservar as propriedades importantes que conhecemos de derivada de função da reta na reta. Sendo assim, observamos que infelizmente o conceito de derivada parcial não serve para ser esta generalização, por um motivo muito simples: uma das propriedades mais importantes da derivada, que é o fato de diferenciabilidade implicar em continuidade, não é verdade em se tratando de derivadas parciais. De fato, lembre-se da aula anterior, que a função y ; (, y (0, 0 f(, y = 2 + y2 0; (, y = (0, 0 possui todas as derivadas parciais na origem (Eemplo 6.2.4, embora saibamos da aula de continuidade, que esta função não é contínua na origem (Eemplo De fato, considerando a curva C 1, parametrizada por γ 1 (t = (t, 0, t 0, e a curva C 2, parametrizada por γ 2 (t = (t, t, t 0, e calculando, separadamente, ao longo das curvas C 1 e C 2, temos que y (,y (0,0 2 + y = f(γ 0 1(t = 2 t 0 + t 0 + t = 0 = 0, t 0 + ao longo de C 1 (,y (0,0 y 2 + y 2 111

2 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção - Prof a Denise e = f(γ t 2 2(t = (,y (0,0 t 0 + t 0 + t 2 + t = 1 2 t = 1 2. ao longo de C 2 Como os ites ao longo de dois diferentes caminhos são distintos, temos que não eiste f(, y, de modo que f não é contínua na origem. Seria realmente (,y (0,0 horrível, um verdadeiro trauma, ter uma generalização do conceito de derivada, onde diferenciabilidade não implicasse em continuidade. Abortando a idéia das derivadas parciais, também é natural pensarmos, como uma segunda possilibilidade, no ite H 0 f(x 0 + H f(x 0. H Neste caso, nos deparamos de imediato com um problema: H é da forma H = (h 1,..., h n, ou seja, tem dimensão n e portanto a divisão acima não faz sentido. Pensamos então em contornar o problema, dividindo não por H mas, por H. Pelo menos assim, o quociente passaria a fazer sentido. Então, vamos tentar generalizar o conceito de derivada utilizando o ite H 0 f(x 0 + H f(x 0. H Vamos aplicá-lo à função f(, y = + y, que é uma função polinomial e linear. Nossa intuição construída em Cálculo 1A, diz que uma função polinomial e, mais ainda, linear, com certeza será diferenciável se a generalização do conceito de derivada for uma generalização decente. Então, mãos à obra, vamos calcular este ite: f( 0 + h, y 0 + k f( 0, y h + y 0 + k 0 + y = 0 (h,k (0,0 h2 + k 2 (h,k (0,0 h2 + k 2 h + k = (h,k (0,0 h2 + k. 2 Opa! Problema! O ite acima não eiste para nenhum ( 0, y 0 R 2. De fato, considerando as curvas C 1, parametrizada por γ 1 (t = (t, 0, t 0, e a curva C 2, h + k parametrizada por γ 2 (t = (t, 0, t 0, e calculando, separadamente, h2 + k 2 ao longo das curvas C 1 e C 2, temos que (h,k (0,0 e (h,k (0,0 ao longo de C 1 h + k h2 + k 2 = t 0 + = (h,k (0,0 t 0 ao longo de C 2 t t = t 0 t t = t t 0 + t = 1 = 1, t 0 + t t = t 0 1 = 1.

3 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção - Prof a Denise Isto é inadmissivel, abalaria as estruturas da terra se uma função linear pudesse ter a ousadia de não ser derivável. Vamos então abortar imediatamente esta idéia. Partiremos então para eplorar algum outro aspecto da definição de derivada, fora o ite, que por algum infortúnio, tenha passado despercebido no curso de Cálculo 1A. 7.2 Retorno ao Conceito de Derivada de Função da Reta na Reta Seja f : Dom(f R R uma função diferenciável em 0 I(aberto Dom(f. Então, temos que sua derivada f ( 0 é dada por f f( 0 + h f( 0 ( 0 =. h 0 h Sabemos portanto, da teoria de ite, que para h suficientemente pequeno, f ( 0 f( 0 + h f( 0. h Temos assim, que nas proimidades de 0, i. e. para 0 + h, onde h é suficientemente pequeno, f( 0 + h f( 0 + f ( 0 h. Vamos definir uma função chamada erro, dependente do quanto nos afastamos de 0, i.e. dependente de h (e, intrinsicamente, de 0 que irá transformar o sinal de aproimadamente igual em um sinal de igual. Isto é, vamos fazer de modo que, Observe que, assim definido, erro(h f( 0 + h f( 0 f ( 0 h, f( 0 + h = f( 0 + f ( 0 h + erro(h. erro(h h 0 h f( 0 + h f( 0 f ( 0 h = h 0 h f( 0 + h f( 0 = f ( 0 h 0 h = f ( 0 f ( 0 = 0. h 0 Portanto, concluimos que se f é diferenciável em 0, então, numa vizinhança de 0, f pode ser escrita como f( 0 + h = f( 0 + f ( 0 h + erro(h, onde erro(h h 0 h = 0.

4 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção - Prof a Denise erro(h Vamos interpretar este resultado: Se h 0 = 0, isto significa que erro(h vai h para zero muito mais rápido do que h e, portanto, para h muito pequenininho, erro(h é insignificante com relação a h, ou melhor, desprezível com relação a h. Logo, em qualquer ponto = 0 + h, numa vizinhança pequena de 0, o valor da função em pode ser bem aproimado por um polinômio do primeiro grau, i.e. uma função afim (linear + constante: f( f( 0 + f ( 0 ( 0. Vamos agora tentar fazer o caminho inverso, i.e. vamos admitir que uma função f : Dom(f R R seja bem aproimada numa vizinhaça pequena de 0 ( 0 I(aberto Dom(f por um polinômio do primeiro grau, i.e. uma função afim (linear + constante e, a partir disto, vamos ver o que é necessário e razoável que aconteça. Desta forma, traduzindo matematicamente esta informação, temos que para valores de numa vizinhança de 0, f( a + b ou melhor, para ficar bem claro que estamos em um ponto próimo a 0, vamos escrever = 0 + h, com h representando esta pequena variação em torno de 0, i.e. f( 0 + h a( 0 + h + b. Em primeiro lugar, é natural que se aproimação for boa numa vizinhança de 0, então ela deve ser ótima, ou melhor, eata, no próprio ponto 0. Sendo assim, fazendo h = 0 na equação anterior, temos que f( 0 = a 0 + b b = f( 0 a 0. Substituindo então, o valor de b encontrado acima, em nossa equação, temos que, f( 0 + h a( 0 + h + f( 0 a 0 f( 0 + h f( 0 + ah. Vamos então definir uma função erro, dependente de h (e, intrinsicamente, de 0 para transformar o sinal de aproimadamente igual em um sinal de igual. Escrevemos portanto, f( 0 + h = f( 0 + ah + erro(h, onde erro(h é definido como erro(h f( 0 + h f( 0 ah. Mas, esta função erro não pode ficar solta, ela tem que satisfazer certas propriedades para que a epressão boa aproimação na vizinhança do ponto 0 não se perca. Em primeiro lugar, quanto menor h, menor deveria ser erro(h. Matematicamente, esta nossa condição pode ser epressa pedindo que erro(h = 0. h 0 Observe que, pelo ite acima, temos que erro é uma função contínua em zero. De fato, conforme estabelecido antes, a aproimação deve ser eata em 0, de modo que, fazendo h = 0 na equação de definição da função erro, segue que f( 0 = f( 0 + erro(0 erro(0 = 0,

5 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção - Prof a Denise o que leva a erro(h = 0 = erro(0. h 0 Mas, nossas eigências razoáveis sobre a função erro não terminam aqui. Observe ainda para h pequeno, eigir erro(h também pequeno, não é o suficiente, afinal de contas, queremos que o papel de aproimar o valor da função em 0 seja desempenhado por f( 0 +ah e não por erro(h ou, melhor ainda, para separar quantidades diferentes, queremos que a alteração que o valor da função sofre passando de 0 para 0 + h (i.e. f( 0 + h f( 0 não seja aproimado por erro(h, mas sim, por ah. Em outras palavras, queremos que para h muito pequenininho, erro(h seja insignificante ou desprezível em relação a h, ou melhor, que quando h tender a zero, que erro(h vá mais rápido para zero do que h. Matematicamente, podemos traduzir este nosso desejo eigindo que erro(h = 0. h 0 h Portanto, chegamos a onde, f( 0 + h = f( 0 + ah + erro(h erro(h h 0 h Observe então, que, nestas condições, a derivada de f em 0 eiste e é igual a a. De fato, f ( 0 = h 0 f( 0 + h f( 0 h = 0. = h 0 ah + erro(h h Concluimos assim, que se uma função f : Dom(f R R é bem aproimada numa vizinhaça de 0 por um polinômio do primeiro grau, então ela é derivável em 0 e a constante a, que tem um papel super importante neste processo, é justamente f ( 0. Observe que, chegamos à conclusão que L(h = f( 0 + ah = f( 0 + f ( 0 h é a melhor função afim que aproima f( 0 + h numa vizinhança de 0, no sentido de que é a única função afim que aproima f( 0 + h nesta vizinhança, com erro tendendo a zero mais rápido que h, quando h 0. Resumindo então tudo o que vimos até agora, podemos concluir que possuir derivada em um ponto e possuir uma boa aproimação polinomial de primeiro grau numa vizinhança do ponto são de fato condições equivalentes. = a. TEOREMA 7.2.1: A função f : Dom(f R R é diferenciável em 0 I(aberto Dom(f se e somente se eiste a R tal que f( 0 + h = f( 0 + ah + erro(h,

6 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção - Prof a Denise onde erro(h h 0 h = 0. Devido à condição de equivalência, que epressa necessidade e suficiência, esta propriedade pode ser utilizada como definição. Acrescentando-se ainda o fato de que erro(h h 0 h = 0 h 0 erro(h h = 0, temos a seguinte definição equivalente para função diferenciável. DEFINIÇÃO 7.2.1: A função f : Dom(f R R é diferenciável em 0 I(aberto Dom(f se eiste a R tal que onde, f( 0 + h = f( 0 + ah + erro(h, erro(h h 0 h = 0. A derivada de f em 0, denotada por f ( 0 é igual à a. Temos então, na Definição 7.2.1, uma outra forma de definir derivada de função da reta na reta. Observe que esta forma é, obviamente, equivalente àquela vista em Cálculo 1A, f( 0 + h f( 0 que estava apenas focada na eistência do ite h 0. Inclusive, h é justamente nesta nova forma de ver a derivada, que temos o ponto crucial onde se fundamenta o conceito de derivada, que tornará possível uma verdadeira generalização deste conceito para funções f : Dom(f R n R m. Vamos deiar mais claro qual é o ponto crucial. Ele está no fato de que se f é diferenciável em 0, então numa vizinhança de 0, a diferença f( 0 + h f( 0 é igual a onde Ou seja, a diferença é aproimadamente ah + erro(h, erro(h h 0 h = 0. f( 0 + h f( 0 ah

7 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção - Prof a Denise que é uma função linear de h (agora é linear mesmo, onde a epressão aproimadamente é tornada precisa na eigência de erro(h h 0 h = h 0 f( 0 + h f( 0 ah h Observe ainda, que se f fosse ele próprio um polinômio do primeiro grau, dado por f( = a+b, então a diferença f( 0 +h f( 0 seria eatamente ah, com erro(h = 0. Com tudo o que foi visto acima, e utilizando o fato de que, como função de h, a epressão ah pode ser representada pela função linear T, dada por T (h = ah, podemos reescrever novamente o conceito de derivada de uma função real de variável real. = 0. DEFINIÇÃO 7.2.2: A função f : Dom(f R R é diferenciável em 0 I(aberto Dom(f se eiste uma função linear T : R R tal que onde f( 0 + h = f( 0 + T (h + erro(h, erro(h h 0 h Representando a transformação linear T : R R por T (h = ah, h R, temos que a derivada de f em 0, denotada por f ( 0 é igual à a. = 0. Vamos agora utilizar as idéias acima no processo de generalização do conceito de derivada. 7.3 Derivada de Funções Reais de Várias Variáveis Antes de mais nada, lembre-se que, em Álgebra Linear, foi definido que uma função ou transformação T : R n R m é linear se T (a + by = at ( + bt (y, onde a e b são escalares e e y pertencem a R n. Sabemos que uma transformação linear da reta na reta é bem representada por uma constante a, i.e. T (h = ah. Agora, se formos pensar em funções de R n em R, temos que atentar para o fato de que H é um ponto em R n e que a transformação linear T que atuar nele, deverá levá-lo em R, i.e. T (H R. Já sabemos de Álgebra Linear também que, fiadas as bases de Rn e R m, uma transformação linear T : R n R m é representada de forma única por uma matriz n m. Sendo assim, em particular, utilizando-se as bases canônicas de R n e R, uma transformação linear T : R n R, pode ser representada de forma única por uma matriz M M 1 n. Observe que, mais em particular ainda, uma matriz 1 1 é

8 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção - Prof a Denise um escalar a R, o que corrobora nossa afirmação de que uma transformação linear da reta na reta é bem representada por uma constante a. Finalmente observe que h representa a distância entre o ponto 0 e o ponto 0 + h na vizinhança de 0. Vamos então adaptar a Definição 7.2.1, de derivada de funções da reta na reta, às funções de R n em R, tendo em mente que o ponto crucial é que a diferença entre o valor da função na vizinhança X 0 + H do ponto X 0 e o valor da função no ponto X 0, pode ser bem aproimada por uma transformação linear aplicada na diferença H entre os pontos, num sentido bem preciso, que consiste no erro tender a zero mais rápido do que a distância entre os pontos X 0 + H e X 0, quando X 0 + H se aproima de X 0. DEFINIÇÃO 7.3.1: A função f : Dom(f R n R é diferenciável em X 0 A(aberto Dom(f se eiste uma transformação linear T : R n R tal que onde f(x 0 + H = f(x 0 + T (H + erro(h, erro(h H 0 H = 0. A transformação linear T é denominada diferencial de f em X 0. Conforme mencionado anteriormente, fiadas as bases de R n e R m, uma transformação linear T : R n R é representada de forma única por uma matriz n 1. Desta forma, se a função f : Dom(f R n R é diferenciável em X 0 A(aberto Dom(f, utilizando-se as bases canônicas de R n e R, a transformação linear T : R n R a qual a definição de derivada se refere, pode ser representada de forma única por uma matriz M M 1 n. Esta matriz que representa T é chamada de derivada de f em X 0 e é denotada por f (X 0 ou d X0 f. Abaio daremos uma definição equivalente à Definição 7.3.1, utilizando a matriz no lugar da transformação linear. DEFINIÇÃO 7.3.2: A função f : Dom(f R n R é diferenciável em X 0 A(aberto Dom(f se eiste uma matriz M M 1 n tal que f(x 0 + H = f(x 0 + M.H + erro(h, onde onde (. é o produto matricial. erro(h H 0 H = 0, A matriz M M 1 n é chamada de derivada de f em X 0 e é denotada por f (X 0 ou d X0 f.

9 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção - Prof a Denise Abaio vamos definir diferenciabilidade em um conjunto aberto. DEFINIÇÃO 7.3.3: Se f é diferenciável em todos os pontos do aberto A Dom(f, dizemos que f é diferenciável em A. Conforme veremos, nossa primeira dificuldade encontrada na hora de definir derivada, foi então superada, pois correspondendo as nossas epectativas, diferenciabilidade continua implicando em continuidade. O mundo permanece em ordem. TEOREMA 7.3.1: Se f : Dom(f R n R é diferenciável em X 0 A(aberto Dom(f, então f é contínua em X 0. Demonstração: Se f é derivável em X 0, então temos que eiste uma transformação linear T : R n R tal que f(x 0 + H = f(x 0 + T (H + erro(h, (1 com erro(h = 0. H 0 H Lembre-se que mostrar que f é contínua em X 0 corresponde a demonstrar que H 0 f(x 0 + H = f(x 0 ou, de forma equivalente, que H 0 f(x 0 + H f(x 0 = 0. Sendo assim, como f é diferenciável em X 0, pela igualdade (1, temos que H 0 f(x 0 + H f(x 0 = H 0 T (H + erro(h = erro(h T (H + H H 0 H erro(h H 0 H = T (H + H 0 = 0. H H 0 A igualdade ( se deve a eistência dos ites de todas as funções envolvidas e a igualdade H 0 T (H = 0 se deve ao fato de T ser uma transformação linear. Concluimos portanto que f é contínua em X 0. De acordo com o teorema acima, temos que, se f não é contínua em X 0, então f também não é diferenciável em X 0. Mais tarde, com mais informações, se quisermos, poderemos comprovar, utilizando a y ; (, y (0, 0 definição de derivada, que a função f(, y = 2 + y2, de fato, não é 0; (, y = (0, 0

10 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção - Prof a Denise diferenciável na origem. Entretanto, como sabemos que ela não é contínua na origem, de acordo com o teorema acima, já podemos concluir que ela não é diferenciável. Vamos agora utilizar este teorema para resolver o eemplo abaio. Eemplo 7.3.1: Verifique se a função 2 y 2 ; (, y (0, 0 f(, y = 2 + y2 0; (, y = (0, 0 é diferenciável na origem. Solução: Lembre-se que foi verificado na aula de continuidade que f não é contínua em (0, 0 (Eemplo De fato, considerando a curva C 1, parametrizada por γ 1 (t = (t, 0, t 0, e a curva C 2, parametrizada por γ 2 (t = (0, t, t 0, e calculando separadamente (,y (0,0 2 y y 2 ao longo das curvas C 1 e C 2, temos que e 2 y2 (,y (0,0 2 + y = f(γ t 2 0 1(t = 2 t 0 + t 0 + t = 1 = 1, t 0 + ao longo de C 1 = f(γ 0 t 2 2(t = (,y (0,0 t 0 + t t = 1 = 1. 2 t 0 + ao longo de C 2 Como os ites ao longo de dois diferentes caminhos são distintos, temos que não 2 y 2 eiste, de modo que f não é contínua em (0, 0. Sendo assim, pelo (,y (0,0 2 + y2 Teorema acima, temos que f não é diferenciável em (0, 0. Vamos agora confirmar a superação da nossa segunda dificuldade. Vamos testemunhar que a função f(, y = + y é diferenciável, conforme era de se esperar, já que se trata de uma função linear. Aliás, mais tarde falaremos especificamente de funções lineares. Para resolver o próimo eemplo, observe que, especificamente para funções reais de duas variáveis reais, temos que f : Dom(f R 2 R é diferenciável em ( 0, y 0 A(aberto Dom(f se eiste transformação linear T : R 2 R tal que f(( 0, y 0 + (h, k = f( 0 + h, y 0 + k = f( 0, y 0 + T (h, k + erro(h, k, onde erro(h, k (h,k 0 h, k erro(h, k = (h,k (0,0 h2 + k = 0. 2

11 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção - Prof a Denise Eemplo 7.3.2: Dado f(, y = + y, mostre que a derivada de f é dada por f (, y = (1 1. Solução: Para isto, devemos mostrar que Temos então, que erro(h, k (h,k 0 h, k erro(h, k = (h,k (0,0 h2 + k 2 (h,k (0,0 = (h,k (0,0 erro(h, k = (h,k (0,0 h2 + k = 0. 2 ( h f( + h, y + k f(, y (1 1 k h2 + k 2 + h + y + k y h k h2 + k 2 = 0. Observe que, de fato, erro(h, k é identicamente nulo. Além disso, observe que f é uma na verdade ela própria uma transformação linear, a qual é representada, na base canônica e 1 = (1, 0 e e 2 = (0, 1, pela matriz (1 1, i.e. f(, y = (1 1 Sendo assim, é natural que sua derivada seja ela própria, pois a transformação linear que melhor aproima uma transformação linear é ela mesma. ( y. Eemplo 7.3.3: Dado f(, y = 2 y, mostre que a derivada de f é dada por f (, y = (2y 2. Solução: Novamente, devemos mostrar que Temos então, que erro(h, k (h,k 0 h, k erro(h, k = (h,k (0,0 h2 + k 2 (h,k (0,0 erro(h, k = (h,k (0,0 h2 + k = 0. 2 ( h f( + h, y + k f(, y (2y 2 k h2 + k 2 ( + h 2 (y + k 2 y 2yh 2 k = (h,k (0,0 h2 + k 2 h 2 y + h 2 k + 2hk = (h,k (0,0 h2 + k 2 h = h2 + k + k 2 h2 h2 + k + 2h k 2 h2 + k = 0, 2 (h,k (0,0 yh ( h pois os três ites são do tipo produto de função itada 1 h2 + k 1 e 2 k 1 h2 + k 1 por função que tende a zero quando (h, k (0, 0 (yh, h 2 e 2

12 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção - Prof a Denise h. Observe que, nos eemplos anteriores, nos foi pedido apenas para comprovar que uma transformação linear dada era de fato a derivada da função. Isto é, apenas tivemos que confirmar que erro(h = 0. H 0 H E se nos for pedido para achar a derivada, caso ela eista? O que vamos fazer? Eiste algum candidato? Note que no Eemplo 7.2.3, a derivada f (, y é dada por ( f (, y = (, y (, y. y Isto não foi coincidência, conforme veremos a seguir, a matriz de qualquer transformação T que satisfaz a condição dada na definição de diferenciabilidade, associada às bases canônicas, pode ser calculada em termos das derivadas parciais de f. Com isto, temos que T é univocamente determinada por f em cada ponto X 0 pertencente ao interior de seu domínio. Portanto podemos falar de a diferencial de f em X 0. Considere a função f : Dom(f R 2 R e seja X 0 A(aberto Dom(f. Se f é diferenciável em X 0, então eiste uma transformação linear T : R 2 R tal que f(x 0 + H f(x 0 T (H H 0 H = 0. (2 Como X 0 é um ponto no interior do domínio de f, temos que, para todo Y R n, se t é suficientemente pequeno, então X = X 0 + ty Dom(f. Desta forma, vamos fazer H = ty no ite (2. Sendo assim, temos que f(x 0 + ty f(x 0 T (ty t 0 ty f(x 0 + ty f(x 0 tt (Y = 0 = 0 t 0 ty f(x 0 + ty f(x 0 tt (Y t 0 ty = 0 1 Y f(x 0 + ty f(x 0 tt (Y t 0 t = 0 f(x 0 + ty f(x 0 tt (Y = 0 t 0 t f(x 0 + ty f(x 0 t 0 t = T (Y. (3 Fazendo então Y = e j, j = 1, 2, em (3,onde e j são os vetores da base canônica de R 2, temos que T (e j = t 0 f(x 0 + te j f(x 0 t = j (X 0. (4

13 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção - Prof a Denise Concluimos portanto, que f (X 0 = d X0 f = M = (m 1j = ( ( (X 0 = j (X 0 y (X 0. Observe que, no que foi feito acima, o fato de n ser igual a dois não foi usado. Desta forma, tudo o que foi feito, é válido para um n qualquer. De um modo geral, a derivada de uma função real de várias variáveis é representada, nas bases canônicas, por uma matriz formada pelas suas derivadas parciais. Confira o teorema a seguir. TEOREMA 7.3.2: Seja f : Dom(f R n R X = ( 1, 2,..., n f(x = f( 1, 2,..., n Se f é diferenciável em X 0 A(aberto Dom(f, então f admite todas as derivadas parciais em X 0 e a derivada da f em X 0, denotada por f (X 0 ou d X0 f, é dada por ( ( f (X 0 = d X0 f = M = (m 1j = (X 0 = (X 0 (X 0... (X 0. i 1 2 n Observação 7.3.1: A derivada de f em X 0 também é chamada de Matriz Jacobiana de f em X 0. Como consequência do teorema acima, temos portanto o corolário abaio, que utilizaremos para determinar se uma função é ou não diferenciável em um ponto. COROLÁRIO 7.3.1: f : Dom(f R n R é diferenciável em X 0 A(aberto Dom(f se e somente se (a f admite todas as derivadas ( parciais em X 0, i.e. f admite a matriz M das derivadas parciais em X 0, (m 1j = (X 0 ; i ( f(x 0 + H f(x 0 (X 0.H erro(h i (b = H 0 H H 0 H f(x 0 + H f(x 0 (X 0 h 1... (X 0 h n = 1 1 H 0 H = 0, onde ( (X 0 i = ( 1 (X 0 e o produto (. é um produto entre matrizes. 2 (X 0... n (X 0, H = h 1. h n

14 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção - Prof a Denise Vamos agora voltar aos eemplos antigos e, de posse das informações previamente obtidas, verificar o que se pode dizer a respeito da diferenciabilidade destas funções. 7.4 Eemplos Eemplo 7.4.1: Seja y 3 ; (, y (0, 0 f(, y = 2 + y2 0; (, y = (0, 0 (a Verifique se f é contínua na origem. (b Verifique se f é possui derivadas parciais na origem. (c Verifique se f é diferenciável na origem. Solução: a Note que y 3 f(, y = (,y (0,0 (h,k (0,0 2 + y 2 y2 = y y 2 (,y (0,0 2 + y. 2 Como y = 0 e 0 < < 1, o ite acima é o ite do produto de uma (,y (0,0 2 + y2 função itada por outra que tende a zero quando (, y (0, 0. Desta forma, pelo Teorema do Anulamento, temos que este ite é zero. Sendo assim, concluimos que de modo que f é contínua em (0, 0. f(, y (,y (0,0 = y 2 (,y (0,0 2 + y 2 = 0 = f(0, 0, b Lembre-se que as derivadas parciais na origem devem se calculadas pela definição, pois estamos diante do caso de funções definidas por sentenças. Desta forma, e f(0 + h, 0 f(0, 0 (0, 0 = h 0 h f(0, 0 + k f(0, 0 (0, 0 = y k 0 k 0 = h 0 h = 0. = k 0 k k = 1.

15 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção - Prof a Denise Portanto, a matriz das derivadas parciais de f na origem eiste e é igual a ( (0, 0 (0, 0 = (0 1. y erro(h, k erro(h, k c Devemos calcular (h,k 0 = (h,k (0,0 h2 + k. 2 que h, k erro(h, k = (h,k (0,0 h2 + k 2 (h,k (0,0 = (h,k (0,0 ( h f(0 + h, 0 + k f(0, 0 (0 1 k h2 + k 2 k 3 h 2 + k 2 k h2 + k 2 kh 2 = (h,k (0,0 (h 2 + k 2. 3/2 ( (0, 0 = i Temos então Observe que o ite acima não eiste, pois ao longo da curva C 1, parametrizada por γ 1 (t = (t, t, t 0, temos que kh2 t 3 = (h,k (0,0 (h 2 + k 2 3/2 t 0 + (2t 2 = 3/2 ao longo de C 1 t 3 = t /2 t 3 t 3 = t /2 t 3 = 1 2, 3/2 enquanto que, ao longo da curva C 2, parametrizada por γ 2 (t = (t, t, t 0, temos que kh2 t 3 = (h,k (0,0 (h 2 + k 2 3/2 t 0 2 3/2 t 3 ao longo de C 2 t 3 = t 0 2 3/2 t 3 = /2 Sendo assim, a função f não é diferenciável na origem.

16 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção - Prof a Denise z z y y Eemplo 7.4.2: Seja y 4 ; (, y (0, 0 f(, y = 2 + y2 0; (, y = (0, 0 (a Verifique se f é contínua na origem. (b Verifique se f é possui derivadas parciais na origem. (c Verifique se f é diferenciável na origem. Solução: a Note que y 4 f(, y = (,y (0,0 (h,k (0,0 2 + y 2 y2 = y 2 y 2 (,y (0,0 2 + y. 2 Como y 2 = 0 e 0 < < 1, o ite acima é o ite do produto de uma (,y (0,0 2 + y2 função itada por outra que tende a zero quando (, y (0, 0. Desta forma, pelo Teorema do Anulamento, temos que este ite é zero. Sendo assim, concluimos que de modo que f é contínua em (0, 0. f(, y (,y (0,0 = y 2 (,y (0,0 y2 2 + y 2 = 0 = f(0, 0,

17 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção - Prof a Denise b Lembre-se que as derivadas parciais na origem devem se calculadas pela definição, pois estamos diante do caso de funções definidas por sentenças. Desta forma, e f(0 + h, 0 f(0, 0 (0, 0 = h 0 h f(0, 0 + k f(0, 0 (0, 0 = y k 0 k 0 = h 0 h = 0. k 2 = k 0 k = k = 0. k 0 Portanto, a matriz das derivadas parciais de f na origem eiste e é igual a ( (0, 0 (0, 0 = (0 0. y erro(h, k erro(h, k c Devemos calcular (h,k 0 = (h,k (0,0 h2 + k. 2 que erro(h, k = (h,k (0,0 h2 + k 2 (h,k (0,0 = (h,k (0,0 h, k ( h f(0 + h, 0 + k f(0, 0 (0 0 k h2 + k 2 k 4 h 2 + k 2 h2 + k 2 = (h,k (0,0 k 4 ( (0, 0 = i Temos então (h 2 + k 2 3/2 ( = k k 3 k 2 3/2 = (h,k (0,0 (h 2 + k 2 k = 0, 3/2 (h,k (0,0 h 2 + k 2 pois o ite acima é o ite do produto de uma função itada (0 < k2 h 2 + k < 1 2 por outra que tende a zero quando (h, k (0, 0 (a função k. Sendo assim, concluimos que f é diferenciável na origem. z z y y

18 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção - Prof a Denise Eemplo 7.4.3: Seja ( 1 ( 2 + y 2 sen ; (, y (0, 0 f(, y = 2 + y 2 0; (, y = (0, 0 (a Verifique se f é contínua na origem. (b Verifique se f é possui derivadas parciais na origem. (c Verifique se f é diferenciável na origem. Solução: a Note que f(, y = (,y (0,0 (h,k (0,0 (2 + y 2 sen ( 1 = 0 = f(0, 0, 2 + y 2 ( ( 1 pois o ite acima é o ite do produto de uma função itada 1 sen 2 + y 2 por outra que tende a zero (a função 2 + y 2 quando (, y (0, 0. Sendo assim, concluimos que f é contínua em (0, 0. b Lembre-se que as derivadas parciais na origem devem se calculadas pela definição, pois estamos diante do caso de funções definidas por sentenças. Desta forma, ( 1 f(0 + h, 0 f(0, 0 (0, 0 = h 0 h = h 0 h sen ( 1 h 2 = 0, = h 0 h2 sen ( ( 1 pois o ite acima é o ite do produto de uma função itada 1 sen 2 + y 2 por outra que tende a zero (a função h quando (h, k (0, 0. Analogamente ( 1 f(0, 0 + k f(0, 0 (0, 0 = y k 0 k = k 0 k sen ( 1 k 2 = 0. = k 0 k2 sen Portanto, a matriz das derivadas parciais de f na origem eiste e é igual a ( (0, 0 (0, 0 = (0 0. y c Devemos calcular (h,k 0 erro(h, k h, k h k h 2 k 2 = (h,k (0,0 erro(h, k h2 + k 2. ( (0, 0 = i Temos então 1 1

19 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção - Prof a Denise que erro(h, k = (h,k (0,0 h2 + k 2 (h,k (0,0 = (h,k (0,0 = (h,k (0,0 ( h f(0 + h, 0 + k f(0, 0 (0 0 k h2 + k 2 ( 1 (h 2 + k 2 sen h 2 + k 2 h2 + k ( 2 1 h2 + k 2 sen = 0, h 2 + k 2 ( ( 1 pois o ite acima é o ite do produto de uma função itada 1 sen 2 + y 2 por outra que tende a zero (a função h 2 + k 2 quando (h, k (0, 0. Sendo assim, concluimos que f é diferenciável na origem. 1 z z y y 7.5 Condição Suficiente para Diferenciabilidade Temos a seguir um teorema que pode ajudar a determinar se uma função é derivável em um ponto, sem ter que passar pela análise da função erro. Além disso, ele será verdadeiramente útil quando quisermos determinar se uma função é derivável em um conjunto aberto. Pois, com o que temos até agora, para verificar se f é derivável em um ponto (, y arbitrário, deveríamos calcular as derivadas parciais em (, y arbitrário e então calcular erro(h H 0 H = H 0 f( + h, y + k f(, y (, yh (, yk y, h2 + k 2 o que pode ser bastante compleo. Apesar de estarmos nos restringindo nos eemplos a funções de R 2 em R, o teorema será enunciado para funções de R n em R.

20 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção - Prof a Denise TEOREMA 7.5.1: Seja f : Dom(f R n R e seja X 0 A(aberto Dom(f. Se f possui todas as derivadas parciais em A e elas são contínuas em X 0, então f diferenciável em X 0. Eemplo 7.5.1: Mostre que y 4 ; (, y (0, 0 f(, y = 2 + y2 0; (, y = (0, 0 é diferenciável em todo R 2. Solução: Já mostramos no Eemplo que f é diferenciável na origem. Vamos agora mostrar que f é diferenciável em R 2 \{(0, 0}. Observe que (, y = 2y4 e ( 2 + y 2 2 (, y = 4y3 ( 2 + y 2 2y 5 ( 2 + y 2 2 se (, y (0, 0. Portanto, as derivadas parciais de f em R 2 \{(0, 0} são funções racionais, cujos denominadores não se anulam neste conjunto. Conseqüentemente elas são contínuas, pois toda função racional é contínua em seu domínio. Agora, basta aplicar o Teorema para concluir que f é diferenciável em R 2 \{(0, 0}. Desta forma, mostramos que f é diferenciável em todo R 2. Observe bem que o teorema não diz nada se f falhar em ter todas as derivadas parciais contínuas em X 0. Ele não diz que a derivada então não irá eistir. Ele se abstém de comentários e, neste caso, você não vai escapar de ter que calcular o ite que tentou evitar. Confira o eemplo a segir. Eemplo 7.5.1: Seja ( 1 ( 2 + y 2 sen ; (, y (0, 0 f(, y = 2 + y 2 0; (, y = (0, 0 (a Mostre que f é diferenciável em R 2 \{(0, 0}. (b Mostre que as derivadas parciais de f não são contínuas na origem e compare com a conclusão obtida na resolução do Eemplo 7.4.3, de que f é diferenciável na origem. Solução: a Já mostramos no Eemplo que f é diferenciável na origem. Vamos agora mostrar que f é diferenciável em R 2 \{(0, 0}. Note que (, y = 2 sen ( y y 2 cos ( 1, 2 + y 2

21 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção - Prof a Denise se (, y (0, 0. Esta função é formada pelo produto, soma e composição de funções contínuas em R 2 \{(0, 0}. Por simetria, tudo se passa da mesma forma para y. Sendo assim, a diferenciabilidade em R 2 \{(0, 0} é conseqüência do Teorema Concluimos portanto que f é diferenciável em todo R 2. b Para mostrar que as derivadas parciais de f não são contínuas na origem, observe que não eiste (,y (0,0 (, y. De fato, enquanto que por um lado temos que 2 sen (,y (0,0 ( 1 = 0, 2 + y 2 ( ( 1 por ser o ite do produto de uma função itada 1 sen 1 por 2 + y 2 outra que tende a zero (a função 2 quando (, y (0, 0, por outro lado temos que ( 2 1 (,y (0,0 2 + y cos = y 2 Para ver que este último ite não eiste, observe que como cosseno é uma função periódica, se escolhermos uma curva C, parametrizada por γ(t = (t, 0, t 0, ficamos com (,y (0,0 ao longo de C ( y cos y 2 Note agora, que toda vez que t assumir valores iguais a inteiro, teremos que ( 2 1 t cos = 0. t 2 Por outro lado, toda vez que t assumir valores da iguais a teremos que ( 2 1 t cos = 2nπ, t 2 ( 2 1 = t 0 + t cos. t 2 1, para algum n 2nπ + π/2 1, para algum n inteiro, 2nπ quando n. Desta forma enquanto, t 0 +, o quociente acima ( alterna valores 2 1 muito grandes com nulos. Sendo assim, não eiste t 0 + t cos, o que significa que não eiste (,y (0,0 ( t y cos. O mesmo acontece com y 2 y. Portanto, as derivadas parciais de f não são contínuas na origem. Entretanto, conforme visto no Eemplo 7.4.3, f é diferenciável na origem. Este eemplo mostra que continuidade das derivadas parciais é uma condição realmente só suficiente para diferenciabilidade e, não é de forma alguma necessária.

22 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção - Prof a Denise Diante da importância que acabamos de ver de uma função possuir todas as derivadas parciais contínuas, vamos a seguinte definição. DEFINIÇÃO 7.5.1: Considere a função f : Dom(f R n R. Se, para todo X = ( 1, 2,..., n A(aberto Dom(f, as derivadas parciais i, i = 1,..., n, eitem e são contínuas, dizemos que f é de classe C 1 em A. Aplicando a Definição ao Teorema 7.5.1, temos o seguinte corolário. COROLÁRIO 7.5.1: Seja f : Dom(f R n R e seja A(aberto Dom(f. Se f é de classe C 1 em A, então f é diferenciável em A. 7.6 Plano Tangente De acordo com a definição equivalente de diferenciabilidade para funções da reta na reta que apresentamos, temos que f : Dom(f R é diferenciável em 0 I(aberto Dom(f e sua derivada é f ( 0 se e só se, numa vizinhança de 0, tivermos onde, f( 0 + h = f( 0 + f ( 0 h + erro(h, erro(h h 0 h = 0. Desta forma, ao fazermos = 0 + h, ficamos com onde, f( = f( 0 + f ( 0 ( 0 + erro( 0, erro( Portanto, se f é diferenciável em 0, então, numa vizinhança de 0, temos que f( pode ser bem aproimado por Desta forma, se definirmos = 0. f( f( 0 + f ( 0 ( 0. L( = f( 0 + f ( 0 ( 0, R, temos que L é a função afim que melhor aproima f numa vizinhança de 0, no sentido de que é a única função afim que aproima f nesta vizinhança, com erro dado por erro( 0 = f( f( 0 f ( 0 ( 0, onde este erro tende a zero mais rápido que 0, quando 0. Agora, lembre-se que foi visto, em Cálculo 1A, que se

23 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção - Prof a Denise f : Dom(f R R é diferenciável em 0, então o gráfico de f possui reta tangente no ponto ( 0, f( 0 e a equação desta reta é dada por y = f( 0 + f ( 0 ( 0. Em outras palavras, foi eatamente o gráfico da melhor aproimação afim da função numa vizinhança do ponto 0, que chamamos de reta tangente ao gráfico da função f no ponto ( 0, f( 0, quando f é diferenciável em 0. Da mesma forma, uma função f : Dom(f R 2 R é diferenciável em ( 0, y 0, se e só se, numa vizinhança de ( 0, y 0, tivermos onde, f( 0 + h, y 0 + k = f( 0, y 0 + ( 0, y 0 h + y ( 0, y 0 k + erro(h, k erro(h, k (h,k (0,0 (h, k = 0. Sendo assim, ao fazermos = 0 + h e y = y 0 + k, ficamos com f(, y = f( 0, y 0 + ( 0, y 0 ( 0 + y ( 0, y 0 (y y 0 + erro( 0, y y 0, onde, erro( 0, y y 0 (,y ( 0,y 0 ( 0, y y 0 Portanto, se f é diferenciável em ( 0, y 0, então numa vizinhança de ( 0, y 0, temos que f(, y pode ser bem aproimado por = 0. f(, y f( 0, y 0 + ( 0, y 0 ( 0 + y ( 0, y 0 (y y 0. Novamente, vemos que se definirmos L(, y = f( 0, y 0 + ( 0, y 0 ( 0 + y ( 0, y 0 (y y 0 (, y R 2, temos que L é a função afim que melhor aproima f numa vizinhança de ( 0, y 0, no sentido de que é a única função afim que aproima f nesta vizinhança, com erro dado por erro( 0, y y 0 = f(, y f( 0, y 0 ( 0, y 0 ( 0 y ( 0, y 0 (y y 0, onde este erro tende a zero mais rápido que ( 0, y y 0, quando (, y ( 0, y 0. Portanto, é eatamente o gráfico da melhor aproimação afim da função, que vamos chamar de plano tangente ao seu gráfico no ponto ( 0, y 0, f( 0, y 0, se f for diferenciável em ( 0, y 0. Confira a definição a seguir. DEFINIÇÃO 7.6.1: Seja f : Dom(f R 2 R uma função diferenciável em ( 0, y 0 A(aberto Dom(f. O plano z = f( 0, y 0 + ( 0, y 0 ( 0 + y ( 0, y 0 (y y 0

24 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção - Prof a Denise denomina-se plano tangente ao gráfico da função f no ponto ( 0, y 0, f( 0, y 0. Podemos reescrever a equação do plano tangente definido acima, na forma ( ( 0, y 0, y ( 0, y 0, 1 ( 0, y y 0, z f( 0, y 0 = 0. Sendo assim, fica evidente que o vetor ( ( 0, y 0, y ( 0, y 0, 1 é perpendicular ao plano tangente, de modo que cabe a definição de reta normal ao gráfico. Confira a definição abaio. DEFINIÇÃO 7.6.2: Seja f : Dom(f R 2 R uma função diferenciável em ( 0, y 0 A(aberto Dom(f. A reta ( (, y, z = ( 0, y 0, f( 0, y 0 + λ ( 0, y 0, y ( 0, y 0, 1, λ R denomina-se reta normal ao gráfico da função f no ponto ( 0, y 0, f( 0, y 0. Vamos fazer um eemplo. Eemplo 7.6.1: Seja f(, y = 2 y e da reta normal ao gráfico da função f no ponto. Determine as equações do plano tangente ( 1 2, 1 2, Solução: Em primeiro lugar, observe que f é uma função polinomial. Portanto, f possui todas as derivadas parciais e elas são todas contínuas em R 2. Desta forma, pelo Teorema 7.5.1, f é diferenciável em todo R 2. Deste modo, o gráfico de f possui plano tangente ( e reta normal em todos os pontos de seu gráfico e, em particular, no ponto 1 2, 1 2, 9. Neste ponto, o plano tangente e reta normal ao gráfico de f, são dados, 32 respectivamente, pelas equações ( 1 z = f 2, e Como (, y, z = ( 1 2, 1 ( ( (1, 2 y 1 y 2 ( 1 2, 1 ( 1 2, f 2, 1 ( ( 1 + λ 2 2, 1, ( 1 2 y 2, 1, 1, λ R. 2 2y + 2 (, y = 4 2 (, y = y 4, = y + 1 2

25 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção - Prof a Denise temos que, ( 1 2, 1 2 ( 1 y 2, 1 2 = 5 8 = Sendo assim, as equações do plano tangente e da reta normal são dadas, respectivamente, por z = ( ( y e ( 1 (, y, z = 2, 1 2, 9 ( 5 + λ 32 8, 1 16, 1, λ R. Abaio temos os desenhos relativos a este eemplo. z z y y z z y y Observe que o plano tangente, bem como a reta normal, ao gráfico de uma função f no ponto ( 0, y 0, f(, y 0, só foram definidos no caso de f ser diferenciável em ( 0, y 0. Se f não for diferenciável em ( 0, y 0, mas mesmo assim possuir todas as derivadas parciais neste ponto, ainda é possível escrever a equação z = f( 0, y 0 + ( 0, y 0 ( 0 + y ( 0, y 0 (y y 0. Entretanto, este plano não será plano tangente ao gráfico da função. Observe que o conceito de plano tangente envolve uma noção de aproimação que só está presente em

26 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção - Prof a Denise funções diferenciáveis. Eemplo 7.6.2: Seja y 3 ; (, y (0, 0 f(, y = 2 + y2. 0; (, y = (0, 0 Mostre que o gráfico de f não admite plano tangente em (0, 0, f(0, 0. Solução: No Eemplo verificamos que f não é diferenciável em (0,0, de modo que f não possui plano tangente em (0, 0, f(0, 0. É natural se pensar que o plano tangente ao gráfico de uma função f contenha as retas tangentes às curvas diferenciáveis contidas no gráfico de f. De fato, mais tarde, após termos aprendido regra da cadeia, provaremos este resultado, que está enunciado no final desta seção. Por ora, vamos usar este fato, que é bastante intuitivo, para reafirmar que realmente, para uma função que não é diferenciável, não faz sentido falar em plano tangente. Confira a observação abaio. Observação 7.6.1: Para reafirmar que se f não é diferenciável em ( 0, y 0, muito embora eista o plano z = f( 0, y 0 + ( 0, y 0 ( 0 + y ( 0, y 0 (y y 0, ele não carrega em si nenhuma propriedade de tangência, vamos considerar Eemplo 7.6.1, visto anteriormente. Vimos, neste caso, que f não é diferenciável em (0,0, de modo que o gráfico de f não possui plano tangente no ponto (0, 0, f(0, 0. Entretanto, as derivadas parciais de f na origem são (0, 0 = 0 (0, 0 y = 1, de modo que, podemos escrever a equação do plano z = f( 0, y 0 + ( 0, y 0 ( 0 + y ( 0, y 0 (y y 0 no caso em que ( 0, y 0 = (0, 0, resultando na equação z = y. Agora, considere a curva parametrizada pela função γ dada por γ(t = (t, t, t, t R. 2 É fácil ver que esta curva está contida no gráfico de f, uma vez que f(t, t = t. Além disso, a função γ é 2 diferenciável e γ(0 = (0, 0, f(0, 0 = (0, 0, 0. Entretanto, observe que a reta (, y, z = (0, 0, 0 + λ(1, 1, 1, λ R, 2

27 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção - Prof a Denise que é a reta tangente a γ, no ponto (0, 0, 0, não está contida no plano z = y. Portanto, realmente não faria o menor sentido, chamar o plano z = y de plano tangente ao gráfico de f no ponto (0, 0, f(0, 0. z z y y TEOREMA 7.6.1: Seja f : Dom(f R 2 R uma função diferenciável em ( 0, y 0 A(aberto Dom(f. Considere uma curva C inteiramente contida no gráfico de f, onde C é parametrizada pela função γ, e γ é tal que γ(t 0 = ( 0, y 0, f( 0, y 0, γ é diferenciável em t 0 e γ (t 0 0. Então, a reta tangente a C, no ponto γ(t 0, está contida no plano tangente ao gráfico de f no ponto γ(t Aproimação Linear Conforme vimos na seção anterior, se f : Dom(f R 2 R uma função diferenciável em ( 0, y 0 A(aberto Dom(f, temos que L(, y = f( 0, y 0 + ( 0, y 0 ( 0 + y ( 0, y 0 (y y 0, (, y R 2, é a melhor aproimação afim de f, numa vizinhança do ponto ( 0, y 0. Desta forma, se f é diferenciável em ( 0, y 0, podemos dizer que para (, y numa vizinhança suficientemente próima de ( 0, y 0, temos que f(, y é bem aproimado por L(, y, ou seja para (, y suficientemente próimo de ( 0, y 0, segue que f(, y L(, y = f( 0, y 0 + ( 0, y 0 ( 0 + y ( 0, y 0 (y y 0, ou, de forma equivalente, definindo h = 0 e k = y y 0, temos que f( 0 + h, y 0 + k L( 0 + h, y 0 + k = f( 0, y 0 + ( 0, y 0 h + y ( 0, y 0 k.

28 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção - Prof a Denise Desta forma, se f é uma função diferenciável em um ponto ( 0, y 0, podemos agora obter uma boa aproimação linear do valor de f( 0 +, y 0 + y. Observe que diferentemente da aproimação que obtivemos quando vimos derivadas parciais (Seção 6.4, agora podemos alterar ligeiramente os valores das duas variáveis, sem necessidade de meer só em uma e manter a outra fia. Eemplo 7.7.1: O volume V de um cilindro circular reto é dado pela fórmula V = πr 2 h, onde r é o raio do cilindro e h é sua altura. Determine uma boa aproimação linear para o volume do cilindro quando o raio é 4,001 e a altura é 5,998. Solução: Como V é uma função polinomial, temos que V é diferenciável para todo (r, h R 2. Além disso, a derivada de V é dada por ( V V V (r, h = (r, h (r, h = ( 2πrh πr 2, r h de modo que V (4, 6 = ( V V (4, 6 r (4, 6 = (48π 16π. h Desta forma, temos que V (4 + 0, 001, 6 0, 002 L(4 + 0, 001, 6 0, 002 = V (4, 6 + f (4, 6 ( 0, 001 0, 002. Portanto, V (4 + 0, 001, 6 0, π + (48π ( 0, π 0, π + 0, 048π 0, 032π 96, 016π. Observação 7.7.1: O que foi feito acima para uma função real de duas variáveis reais pode ser estendido de forma natural para uma função real de várias variáveis reais. Isto é, considere a função f : Dom(f R n R X = ( 1, 2,..., n f( 1, 2,..., n e seja X 0 = ( 10, 20,..., n0 A(aberto Dom(f. Se f é diferenciável em X 0, temos que temos que L(X = f(x 0 + f (X 0 (X X 0, X R n,

29 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção - Prof a Denise é a melhor aproimação afim de f numa vizinhança do ponto X 0. Desta forma, se f é diferenciável em X 0, podemos dizer que, para X numa vizinhança suficientemente próima de X 0, temos que f(x é bem aproimado por L(X, ou seja para X suficientemente próimo de X 0, segue que f(x L(X = f(x 0 + f (X 0 (X X 0, onde é o produto matricial, ou, de forma equivalente, definindo H = X X 0, temos que f(x 0 + H L(X 0 + H = f(x 0 + f (X 0 H.