Atividades Dinâmicas Com o Winplot, Wingeom e Cabri-Géomètre

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Afonso Lencastre Aquino
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Atividades Dinâmicas Com o Winplot, Wingeom e Cabri-Géomètre Adelmo Ribeiro de Jesus INTRODUÇÃO Este artigo visa apresentar algumas atividades em três softwares de grande utilidade prática e fácil

1 Atividades Dinâmicas Com o Winplot, Wingeom e Cabri-Géomètre Adelmo Ribeiro de Jesus INTRODUÇÃO Este artigo visa apresentar algumas atividades em três softwares de grande utilidade prática e fácil manuseio. São eles: Winplot, Winmat e Cabri-Géomètre. Com o Winplot (versão em português) abordaremos tópicos mais avançados, relacionados à animação de curvas e superfícies no plano e espaço. No Winmat (versão preliminar, em português) faremos uma atividade passo a passo com o recurso de escalonamento de matrizes. Finalmente, eploraremos no Cabri-Géomètre o sutil conceito de radiano. I) ANIMAÇÕES DE CURVAS E SUPERFÍCIES COM O WINPLOT O Winplot é um programa livre, disponível em várias línguas (inglês, alemão, francês, português, espanhol, etc). Ele pode ser encontrado no site Peanut Softwares, endereço Abordaremos com este programa dois tipos básicos de animação: O primeiro deles, mais simples, apresenta famílias de curvas, a um parâmetro pré-definido. Melhor dizendo, escolhida uma função = f(), considera famílias a -parâmetro = f() + c, = cf(), ou então famílias do tipo = f(c). Como eemplos citamos as curvas = sen() + c, = c sen() e = sen (c) O segundo tipo, mais avançado, trabalha com a construção de curvas ou superfícies utilizando um parâmetro para sua construção. Melhor dizendo, dada uma curva = f() (ou uma superfície z = f(, )) tratamos de construir seu traço Professor Adjunto IV da UFBA (aposentado). Professor dos cursos de Matemática da UCSAL e Faculdades Jorge Amado. E-coordenador de Matemática do Programa Pró-Ciências, da CAPES/FAPEBA/UFBA. adelmo@ufba.br

2 Anais do VIII ENEM - Palestra 2 continuamente, através de uma animação com parâmetro. Para obter esse efeito dinâmico, utilizamos as equações paramétricas dessa curva ou superfície. ) Visualização do traço de = sen() de P = (0, 0) até Q = (2π, 0) (t) = t As equações paramétricas da curva = sen() são onde 0 t 2π. Para (t) = sin(t) obter o efeito de traçado, ou seja, para visualizar na tela o traço desta curva, introduzimos um novo parâmetro de animação, que denominamos de k. Este novo parâmetro terá a função de retardar o traçado da curva =sen(), para valores 0< k <. Somente para o valor de k= teremos a curva inteiramente traçada, ligando os pontos P e Q. Animação no Winplot: No programa, use a opção Equação paramétrica e digite (t) = kt (t) = sin(kt), fazendo 0 < t < 2pi π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π 2) Visualização do traço da parábola = 2 de P = (-2, 4) até Q = (3, 9) Para visualizar na tela do computador o traçado da parábola = 2, ligando os pontos P = (-2, 4) a Q = (3, 9), procedemos da seguinte forma: As equações paramétricas dessa parábola que liga os pontos P e Q são : (t) = t 2 (t) = t, 2 t 3

3 Anais do VIII ENEM - Palestra 3 A animação correspondente é similar ao caso anterior, com um cuidado adicional pelo fato de que a curva não inicia no ponto (0,0) (3, 9) Animação: (t) = 2 + k (t + 2) 2 (t) = ( 2 + k (t + 2) ), - 2 t 3 (-2,4) A lógica dessa animação é a seguinte: quando k=0 temos (t) = -2 e (t) = 4. Conseqüentemente, o programa só eibe o ponto P =(-2, 4). Quando k = teremos (t) = -2 + (t+2), ou seja, (t) = t. Também, temos (t) = = (-2 + (t+2) ) 2, ou seja, (t) = t 2, que é a curva = 2 inteira. Os passos intermediários 0 < k < nos dão as várias gradações da curva = 2 3) Animação de uma helicóide no espaço De modo análogo ao eposto acima para curvas planas e espaciais, podemos construir a animação de superfícies, usando a forma paramétrica (t, u) ( (t,u), (t,u), z(t,u) ). No eemplo abaio, mais uma vez denotamos por k o parâmetro de animação. (t, u) = (t) = tsin(k2u) z(t) = ku t cos(k2u) 0 t 2, 0 u 2π z z

As suas únicas desvantagens no momento são: a) Sua interface ainda em teste, e portanto sujeita a pequenos bugs ; b) Disponibilidade para o usuário apenas em língua inglesa, trazendo um certo

4 Anais do VIII ENEM - Palestra 4 II) ESCALONAMENTO PASSO A PASSO UTILIZANDO O WINMAT O Winmat é um programa da mesma família do Winplot. Ele é gratuito e simples, e disponível em site da Peanut Softwares. As suas únicas desvantagens no momento são: a) Sua interface ainda em teste, e portanto sujeita a pequenos bugs ; b) Disponibilidade para o usuário apenas em língua inglesa, trazendo um certo desconforto para alguns professores e alunos de Matemática. Por outro lado, a versão em português do Winmat já está terminada e deve entrar em rede em maio ou junho deste ano, no mesmo site O Winmat é um software que eecuta uma série de operações com matrizes: Calcula somas e produtos de matrizes, determina o posto e o determinante de uma matriz, escalona matrizes, etc. Por essa razão, ele é muito útil para o Ensino Médio. Para disciplinas de Geometria Analítica e Álgebra Linear, do Ensino Superior, temos as opções de escalonar matrizes, determinar as raízes do polinômio característico (mesmo as raízes compleas), e determinação de uma base para o núcleo de um operador linear. No presente artigo eaminamos o escalonamento passo a passo de uma matriz A do tipo 33. Esta atividade tem aplicação na resolução de sistemas lineares. A matriz para ser escalonada: Abrimos o programa e escolhemos a opção Matriz Nova. Uma caia de diálogo se abre, onde podemos escolher o tipo de matriz. Escolhemos 33, de nome A. Dessa forma, digitamos os valores dos elementos da matriz A, obtendo a seguinte janela:

5 Anais do VIII ENEM - Palestra 5 Os Passos do Escalonamento : Usando a opção Calc Oper linhas/col do menu, acessamos a caia de diálogo operações, onde serão digitados os cálculos. Efetuando as operações elementares sobre as linhas da matriz, obtemos os passos do escalonamento:

Este conceito é delicado para se epor em sala de aula, e via de regra os professores do Ensino Fundamental e Médio evitam comentar sobre ele.

6 Anais do VIII ENEM - Palestra 6 III) PRINCÍPIOS DA TRIGONOMETRIA COM O CABRI-GÉOMÈTRE Afinal, o que é um radiano? É comum se ouvir dizer que uma circunferência tem 2π radianos, e também ouvir que π é igual a 80 o. Este conceito é delicado para se epor em sala de aula, e via de regra os professores do Ensino Fundamental e Médio evitam comentar sobre ele. Vemos que na maioria dos casos, a única medida de arcos e ângulos que é utilizada é o grau, pela razão de que é mais simples dizer que dividese a circunferência em 360 partes e toma-se uma delas. Em minha opinião, a melhor forma definir (e de visualizar) um radiano em uma circunferência é através da transposição de um raio para esta circunferência. Melhor dizendo, dada uma circunferência, um arco AP cuja medida é igual a do raio desta circunferência é chamado arco de radiano. Ou ainda, radiano se obtém em uma circunferência de raio r tomando-se na mesma um arco AB de medida igual ao raio. Como o comprimento de uma circunferência é C = 2π r temos: C= 2π(r) = 2π rad, ou seja, C 6,28 rad O radiano no Cabri-Géomètre A atividade abaio mostra uma circunferência de raio igual a 5cm. Nela foram marcados 2 arcos, um deles de comprimento 5 cm (igual ao do raio) e outro de 0 cm. Com a opção de medida de ângulos do Cabri, marcamos e medimos estes ângulos, em radianos. O que vemos é eatamente o conceito mencionado acima, ou seja, que radiano é a medida do arco (ou ângulo) que corresponde ao (ou subtende o) raio de uma circunferência dada. Esta atividade é eperimental, simples, e bastante interessante para se compreender o conceito de radiano. Alguns comandos do Cabri são necessários, como transferência de medidas.

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