II BIENAL DA SBM 06 A 11 DE NOVEMBRO DE Equações Paramétricas E... x y. Animação ADELMO RIBEIRO DE JESUS UCSAL/FJA - SALVADOR BAHIA

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1 II BIENAL DA SBM 06 A DE NOVEMBRO DE 006 Equações Paramétricas E... Animação ADELMO RIBEIRO DE JESUS UCSAL/FJA - SALVADOR BAHIA

2 INTRODUÇÃO Neste trabalho analisaremos as várias formas de apresentação das equações em Matemática, e nos deteremos, em particular, na utiliação de equações paramétricas em vários níveis de ensino. Estas equações (as paramétricas) aparecem no Ensino Médio nas equações do movimento em Física, onde o parâmetro t é o tempo. Em Matemática a situação é diferente, estas equações não são muito utiliadas. Uma eceção ocorre na Geometria Analítica Plana, quando esta é lecionada através de vetores. Mais precisamente, pretendemos: Apresentar (do ponto de vista da Matemática) as diferenças entre equações na forma eplícita, implícita e paramétrica. Justificar (em termos matemáticos e computacionais) as vantagens da utiliação das equações paramétricas em várias situações Utiliar as equações paramétricas para compreensão do aspecto de certas curvas no plano. Criar atividades de animação onde as equações paramétricas são inevitáveis. Tendo em vista estas questões vamos enfatiar a importância das equações paramétricas em Matemática, não somente para o que foi referido acima como para atividades mais interativas, como animação em D e D. Por eemplo, a visualiação da construção da ciclóide e da astróide podem ser realiadas com certa facilidade quando se utiliam as equações paramétricas. De forma análoga, é possível realiar a animação em D do espaço gerado por vetores v e v, utiliando as equações paramétricas (e parâmetros etras de animação). Nossa abordagem será elementar, decepcionando talve aqueles professores com nível matemático mais avançado, porém nosso foco está voltado mais para a para a relação Matemática Informática e de sua utiliação em cursos do Ensino Médio à Pós-Graduação Adelmo Ribeiro de Jesus Prof. dos Cursos de Matemática da UCSAL e FJA ; adelmo@ufba.br

3 I. As Epressões que a Matemática Utilia Eistem basicamente 0 formas de apresentar um vínculo, uma relação entre pontos do plano IR. A depender do caso, e da aplicação, é comum e cômodo utiliar uma ou outra dessas epressões. São elas:. Forma Eplícita = f() Estas representam a maioria das funções do Cálculo e Geometria, como = a+b, =a +b+c, = sen(), = ln(), entre inúmeras outras. A grande vantagem dessa forma é que a variável (dependente) é dada, como o nome di, eplicitamente em relação à variável (independente). Epressões desse tipo representam o que chamamos de funções. Diemos frequentemente é função de. Dois bons motivos da popularidade da forma eplícita estão em que: (i) o gráfico associado é do tipo {(, f()) ; X } ; onde X é um subconjunto da reta chamado domínio da função f. Isso significa geometricamente que a cada o X fiado, a reta = o intersecta o gráfico de f eatamente uma ve. Em geral, para cada o IR fio, a reta = o intersecta o gráfico de f no máimo uma ve. (ii) é relativamente fácil se traçar o gráfico dessa função, atribuindo certos valores à variável e encontrando (eplicitamente) o valor f(). Computacionalmente falando, fica etremamente simples construir uma tabela com 00 pontos e obter os respectivos 00 valores f(). Isso pode ser feito com o Ecel, por eemplo, ou um programa computacional como o Winplot. f()= ,5,5-0 -,5 -, ,5 -,75 0-0,5 -,75 -,5 -,75 0,5,5 5 5

4 . Forma Implícita F(,) = c Nem sempre é possível obter uma relação eplicita entre duas (ou mais) variáveis,. A forma implícita F(,) = c às vees é a única forma de se ter a relação entre elas. O eemplos mais comuns são os polinomiais a + b = c, + -a = 0, + -a = 0, ( + ) a = 0. As curvas associadas às duas primeiras epressões são uma reta, e um círculo que passa na origem e centro (a, 0). As outras duas curvas são o folium de Descartes e a cissóide de Diocles, dadas nas figuras abaio: Forma Polar r = f(θ), ou F(r, θ) = 0 A forma polar se destaca por ser uma forma (quase sempre) eplícita de relacionar pontos do plano, embora seja utiliada de forma muito limitada em Matemática. Certas equações complicadas se escrevem facilmente na forma polar, como por eemplo a equação de uma circunferência + = c, que se eprime na forma polar simplesmente por r = c. Uma reta de equação =a que passa pela origem tem ângulo constante, ou seja, sua equação na forma polar se torna θ =cte. Outras curvas que são distinguidas na forma polar são as rosáceas. A equação dessas curvas são dadas por r = a cos(nθ). Geometricamente a é o raio do círculo onde ela se inscreve e n é o número de pétalas da rosácea. As rosáceas r = cos(θ) e r = cos(5θ) têm as formas abaio: A A

5 5 As aspas na palavra número querem indicar uma propriedade interessante destas curvas que veremos mais adiante com o recurso da animação: Quando n é ímpar a rosácea tem eatamente n pétalas, mas quando n é par a rosácea correspondente tem o dobro do número de pétalas. As limaçons são dadas pela relação r = + a cos(θ). Quando - a obtemos as curvas abaio: a = - a = a =

6 6. Forma Paramétrica = f(t) ; = g(t) Como dissemos anteriormente, as equações paramétricas são pouco utiliadas em Matemática, principalmente no Ensino Médio. Achamos que esta atitude pode e deve ser revertida, introduindo-se mais cedo estas equações pelo menos nos casos mais simples de retas, parábolas, circunferências, elipses. Já no nível universitário estas equações assumem grande importância, sendo utiliadas em Cálculo, Geometria Analítica, e principalmente em Geometria Diferencial. A primeira grande vantagem das equações paramétricas é que elas se prestam a generaliações para espaços de dimensão maior. Uma reta em D não tem uma epressão simples na forma eplicita ou implícita, pois é escrita como uma interseção de dois planos. Por outro lado, as equações paramétricas desta reta são inteiramente análogas, pois derivam da mesma equação vetorial P = P o + tv, como veremos a seguir: A Equação de Uma Reta Uma equação = A + B pode ser parametriada, ou seja, podemos eprimir as variáveis e em função de outra variável t, chamada parâmetro. De fato, chamando =t temos que = A+B toma a forma = t. = At + B Outra maneira de se obter uma reta na forma paramétrica é partir de sua equação vetorial P = P o + tv, onde P o =( o, o ) é um ponto fio do plano e v = (a, b) o vetor direção da reta. Dessa equação obtemos as equações paramétricas da reta = o + a t = o + b t. P = (-,) v = (,) A reta de equação = + t = + t No caso D a equação de uma reta se generalia facilmente para = o + a t = o + b t = o + c t P= (,,) = + t A reta de equação = + t = + t

7 7 Circunferências e Elipses Dada uma circunferência de equação (- o ) + (- o ) = r é fácil mostrar que esta equação = o + rcos(t) implícita pode ser traduida na forma paramétrica pelas equações. Com efeito, = o + rsin(t) faendo - o = rcos(t) e - o = rsen(t) temos (- o ) + (- o ) = (rcos(t)) +( rsen(t)) = r. Analogamente podemos verificar que = o + acos(t) = o + bsin(t), a, b >0 definem elipses. 5 II. Construção de Curvas Utiliando a Forma Paramétrica As equações paramétricas são particularmente úteis quando queremos construir o traço de uma curva C do plano, a fim de compreender melhor o movimento do ponto P = ((t), (t) ) da curva C. Eistem dois casos que podemos eaminar: Um simples, caso particular, e o outro caso a situação geral. São eles: ) Curvas que iniciam na origem (0,0) ) Curvas que iniciam em um ponto qualquer do plano º Caso: Curvas que iniciam na origem (0,0) Dada uma curva = f(), 0 b e f(0)=0, podemos inserir um parâmetro k de animação para visualiar o seu traço. Para isso, devemos utiliar suas equações na forma paramétrica (t) = t (t) = f (t), 0 t b Eemplo : = sen, 0 π (t) = t As equações paramétricas dessa curva são. Usando no Winplot a (t) = sin(t), 0 < t < π opção Equação Paramétrica visualiamos a curva. Se quisermos visualiar continuamente o traço dessa curva precisamos de um parâmetro etra, que chamaremos k.

8 8 A animação no Winplot é dada por (t) = kt (t) = sin(kt), faendo 0 t π Usando a opção Anim K e colocando 0 k temos a animação abaio: π/ π/ π/ π 5π/ π/ 7π/ π π/ π/ π/ π 5π/ π/ 7π/ π π/ π/ π/ π 5π/ π/ 7π/ π Eemplo : A função tangente = tg(), 0 π Equações paramétricas: (t) = t (t) = tg(t), 0 < t < π Animação no Winplot: Digite (t) = kt (t) = tan(kt), 0 < t < pi π/ π π/ π 5π/ π 7π/ π/ π π/ π 5π/ π 7π/ π/ π π/ π 5π/ π 7π/ Eemplo : A ciclóide (t) = t - sin(t), (t)=-cos(t), 0 t π A ciclóide é o lugar geométrico descrito por um ponto de um círculo de raio r que se desloca sobre uma reta. = r(t sent) As equações paramétricas da ciclóide são 0 t π. = r( cost)

9 A fim de construirmos o traço dessa ciclóide usamos um parâmetro etra k, ou seja, digitamos = (kt sin(kt)) onde faremos 0 t π ; 0 k = ( cos(kt)) Note também que para efeito de visualiação traçamos um círculo de centro em (a,) e raio de equação (-a) + (-) = e o ponto que descreve a curva P= (a-sin(a), -cos(a)) 9 π/ π π/ π 5π/ π π/ π π/ π 5π/ π π/ π π/ π 5π/ π Quando animamos simultaneamente os parâmetros a, k vemos o traço da ciclóide sendo construído. º Caso: Curvas que iniciam em qualquer ponto do plano (t) = f (t) Seja, a t b uma curva qualquer que liga P=(f(a), g(a)) a Q=(f(b), g(b)). A (t) = g(t) parametriação (para animação contínua) neste caso é um pouco mais delicada, e é dada no resultado abaio. (t) = f (t) Proposição: Se (t) = g(t), a t b é uma curva C que liga o ponto P = (f(a), g(a)) ao ponto (t) = f (a + k(t a)) Q=(f(b), g(b)), então a reparametriação (t) = g(a + k(t - a)), a t b, 0 k, fornece a construção da curva desde o ponto P até Q. Prova: Observe inicialmente que t está fiado entre a e b. Introduindo um novo parâmetro τ = a + k (t-a), temos que: Quando k = 0, temos τ = a. Logo, (t) = f (a) (t) = g(a) Quando τ = b, temos τ = a + (t-a) = a + (t-a) = t. Logo,, que representa o ponto P.

10 0 (t) = f (a + k(t a)) = f (t), que é toda a curva C. (t) = g(a + k(t - a)) = g(t) Para k fio 0 < k < temos τ = a + k(t-a). Quando t varia entre a e b, o parâmetro τ varia entre (t) = f (t) a e a+k(b-a)=(-k)a+kb, gerando curvas intermediárias, a t a + k(b a) (t) = g(t) Eemplo : Construir a animação do gráfico =, - Neste caso temos os pontos P = (-, ) e Q = (, 9). As equações paramétricas dessa parábola são : (t) = t (t) = t, t (-,) (, 9) Usando a Proposição acima, temos que a reparametriação é dada por (t) = + k (t + ) (t) = ( + k (t + ) ) - t, 0 k A lógica dessa animação é a seguinte: Quando k=0 temos (t)=- e (t) =. Logo, o programa só eibe o ponto P =(-, ). Quando k = teremos (t) = - + (t+), ou seja, (t) = t e (t) = = (- + (t+) ) = t, que é a curva = completa. Os passos intermediários 0 < k < nos dão as várias gradações da curva = (-,) (, 9) (-,) (, 9) (-,) (, 9) Fig. Fig. Fig.

11 Eemplo 5: = sen, - π/ π Solução: As equações paramétricas são (t) = t (t) = sin(t), - π < t < π Neste caso a π =, f(t) =t, g(t) = sin(t) π π π π O parâmetro τ fica então τ = + k(t ( ) ) = - + k(t + ) Logo, (t) = - π + k(t + π ) (t) = sin(- π + k(t + π )), - π t π é a reparametriação procurada. π/ π/ π π/ π π/ π/ π π/ π As equações paramétricas nos ajudam a entender melhor o traço de algumas curvas, como o eemplo abaio. Eemplo 6: O folium de Descartes + -a = 0 tem o aspecto de uma folha, como na figura abaio. Faendo a mudança de variáveis t =, ou seja, = t, obtemos: +(t) -a(t) = 0, ou seja, [ (+t ) at ] = 0. Logo, supondo 0 ficamos com = at + t. As equações paramétricas do folium são: at = t + at = + t ; - < t < + Esta curva não está definida para t=-. Para compreender melhor como é descrita essa curva observe que:

12 (i) (ii) t lim (t) = lim = 0 t + t t t t + e t lim (t) = lim = 0 t ± + t t lim (t) =+ e lim (t) =. iii) Também, lim (t) = e lim (t) = t t (iv) Em t=0 temos (t) = 0 (t) = 0 (v) t lim (t) = lim = 0 t + + t t + + e t lim (t) = lim = 0 t + + t t + +. Resumindo, temos: Para valores de t (-, -) o traço vai da origem (0,0) a (+, - ) no º quadrante (veja o traço vermelho na figura). Logo após t=- a curva passa (descontinuamente) para o º quadrante (-, + ) e tende a ero quando t 0. Dessa forma, para t (-, 0) a curva vem de (-, + ) até (0,0) ( cor verde). Entre t=0 e t =+ a curva descreve a folha, no º quadrante (cor aul)

13 Eemplo 7: Vejamos como usar equações paramétricas para construir o traço da astróide. = rcos t As equações paramétricas de uma astróide genérica são 0 t π = r sen t Essa curva é descrita por um ponto de um círculo de raio r/, tangente interior a um círculo de raio r, que gira sem escorregar. 5 Tomando a equação desse círculo + =6 (raio ) temos que o círculo gerador tem raio e tangencia o círculo maior. Logo sua equação é (-) + =, como na figura ao lado O centro desse círculo gira em torno de um círculo de raio, logo a equação desse ponto genérico é P= (cos(a), sin(a)). Conseqüentemente o círculo gerador tem equação (-cos(a)) +(-sin(a)) = Para efeito da animação introduimos outro parâmetro b na equação da astróide e ficamos com = (cos(bt)) = (sin(bt)) 0 t π ; 0 b Feito isso, selecionamos a opção Anim Simultânea do Winplot e digitamos A, B na lista de parâmetros. Colocando agora 0 < a < π Anim Individuais A e 0 < b< em Anim Individuais B obtemos o efeito abaio

14 III. A Forma Paramétrica para Animação em D Eemplo 8: Abaio vemos uma animação da curva interseção de um cilindro + =com o plano = -+. Utiliando as equações paramétricas para o cilindro = cos(mt) = sin(mt) 0 t π ; u R = u onde o parâmetro m varia entre 0 e podemos ver o cilindro sendo construído. Da mesma forma, a interseção do cilindro com o plano = -+ tem equações paramétricas = cos(kt) = sin(kt) 0 t π ; 0 k = cos(kt) + sin(kt) Procedendo analogamente com a opção Anim M e Anim K pode-se ver o cilindro sendo construído concomitantemente com sua interseção com o plano.

15 5 v=(,, ) v=(,, ) v=(,, ) v=(,, -) v=(,, -) v=(,, -) O plano gerado pelos vetores v = (,,) v =(,,-) tem equação vetorial P =t v + u v onde t, u são números reais. Como P = (,,) as equações paramétricas deste plano são = t+ u = t + u t, u R = t u A animação desse subespaço é dada então por = ct+ du = ct + du ; 0 c, d = ct du

16 6 Eemplo 0: Animação de um helicóide no espaço O helicóide é a superfície obtida pela união das semiretas que passam por um ponto P da hélice e são perpendiculares ao eio O. Tomando as equações paramétricas do helicóide na forma = sinh(u)cos(t) = sinh(u)sin(t) ; 0 t π ; - u = t podemos faer uma passagem desta superfície para o catenóide abaio. O catenóide é obtido pela rotação da curva =cosh em torno do eio O. Suas equações paramétricas são = cosh(u) sin(t) = cosh(u)cos(t) ; 0 t π ; - u = u As equações que permitem passar do catenóide para o helicóide são: = cos(a)sinh(u)cos(t) sin(a)cosh(u)sin(t) = cos(a)sinh(u)sin(t) + sin(a)cosh(u)cos(t) ; 0 a π = cos(a)t + sin(a)u Observe que quando a = 0 temos o helicóide e quando a=π temos o catenóide.