13.1 Exercícios. ; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador 1. As Homework Hints estão disponíveis em

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1 . Eercícios Determine o domínio das funções vetoriais.. r t s t, e t,ln(t ). r t t t i sen t j ln 9 t k 6 Calcule os limites.. lim t l e. lim t l t i t sen t j cos t k t t senpt i st 8j t ln t t e t. lim t l t,tg t t t t 6. lim t l te t, t t, t sen 7 Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro t cresce. 7. r t sen t, t 8. r t t, t 9. r t t, t,t. r t sen pt, t, cos pt. r t, cos t, sen t. r t t i t j k. r t t i t j t 6 k. r t cos t i cos t j sen t k k 7 Encontre uma equação vetorial e equações paramétricas para o segmento de reta que liga P e Q. 7. P,,, Q,, 8. P,,, Q,, 9. P,,, Q,,. P a, b, c, Q u, v, w 6 Faça uma correspondência entre as equações paramétricas e os gráficos (identificados com números de I VI). Justifique sua escolha. I II III IV V VI 6 Desenhe as projeções da curva nos três planos coordenados. Use essas projeções para ajudá-lo a esboçar a curva.. r t t, sen t, cos t 6. r t t, t, t ; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador. As Homework Hints estão disponíveis em

2 . t cos t, t, t sen t, t. cos t, sen t, ( t ). t, t, t. cos t, sen t, cos t. cos 8t, sen 8t, e,8t, t 6. cos t, sen t, t 7. Mostre que a curva com equações paramétricas t cos t, t sen t, t está no cone, e use esse fato para esboçar a curva. 8. Mostre que a curva com equações paramétricas sen t, cos t, sen t é a curva de intersecção das superfícies e. Use esse fato para esboçar a curva. 9. Em quais pontos a curva r t t i t t k intercepta o paraboloide?. Em quais pontos a hélice r t sen t, cos t, t intercepta a esfera? ; Utilie um computador para traçar a curva da equação vetorial dada. Escolha o domínio do parâmetro e ponto de vista de forma a revelar a verdadeira naturea da curva.. r t cos t sen t, sen t sen t, cos t. r t t,lnt, t. r t t, t sen t, t cos t. r t t, e t, cos t. r t cos t, cos t, cos t ; 6. Trace a curva com equações paramétricas sen t, sen t, cos t. Eplique sua forma representando por gráficos suas projeções para os três planos coordenados. ; 7. Trace a curva com equações paramétricas cos 6t cos t cos 6t sen t cos 6t. Eplique a aparência da curva, mostrando que ela está em um cone. ; 8. Trace a curva com equações paramétricas s, cos t cos t s, cos t sen t, cos t Eplique a aparência da curva, mostrando que ela está em uma esfera. 9. Mostre que a curva com equações paramétricas t, t, t passa pelos pontos (,, ) e (9, 8, 8), mas não passa pelo ponto (, 7, 6). Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela intersecção das duas superfícies.. O cilindro de e a superfície. O cone s e o plano. O paraboloide e o cilindro parabólico. A hipérbole e o cilindro. O semielipsoide,, e o cilindro ;. Tente esboçar à mão a curva obtida pela intersecção do cilindro circular com o cilindro parabólico. Determine então as equações paramétricas dessa curva e utilie um computador para desenhá-la. ; 6. Tente esboçar à mão a curva obtida pela intersecção do cilindro circular e a metade superior do elipsoide 6. Determine então as equações paramétricas dessa curva e utilie um computador para desenhá-la. 7. Se dois objetos viajam pelo espaço ao longo de duas curvas diferentes, é sempre importante saber se eles vão colidir. (Será que um míssil atingiu seu alvo em movimento? Vão se colidir duas aeronaves?) As curvas podem se interceptar, mas precisamos saber se os objetos estarão na mesma posição no mesmo instante. Suponha que as trajetórias de duas partículas sejam dadas pelas seguintes funções vetoriais r t t,7t, t r t t, t,t 6 para t. As partículas colidem? 8. Duas partículas se movem ao longo das curvas espaciais r t t, t, t r t t, 6t, t As partículas colidem? Suas trajetórias se interceptam? 9. Suponha que u e v sejam funções vetoriais que possuem limites quando t l a e seja c uma constante. Demonstre as seguintes propriedades de limites. (a) lim t l a (b) lim cu t c lim u t t l a t l a (c) lim u t v t lim u t lim v t t l a t l a t l a (d) lim u t v t lim u t lim v t t l a t l a t l a. A visão do nó de trevo apresentada na Figura 8 é correta, mas não muito reveladora. Use as equações paramétricas sen,t para esboçar à mão a curva vista de cima, deiando pequenas falhas para indicar os pontos onde a curva se sobrepõe. Comece mostrando que sua projeção sobre o plano tem coordenadas polares r cos,t e t, de forma que r varia entre e. Mostre então que tem um valor máimo e um mínimo quando a projeção está entre r e r. ; Quando você terminar o esboço à mão livre, utilie um computador para traçar a curva com o observador vendo de cima e compare-a ao seu desenho. Trace a curva sob outros pontos de vista. Você alcançará melhor resultado se traçar um tubo de raio, em torno da curva. (Utilie o comando tubeplot do Maple ou o curvetube ou comando Tube no Mathematica.). Mostre que lim t l a r t b se e somente se para todo eiste um número tal que se u t v t lim u t lim v t t l a t l a cos,t cos t cos,t sen t t a então r t b

3 . Eercícios. A figura mostra uma curva C dada pela função vetorial r t. (a) Desenhe os vetores r, r e r, r. (b) Esboce os vetores r, r, e (c) Escreva a epressão para r e para seu vetor tangente unitário T(). (d) Desenhe o vetor T(). C R r(,) r(,) r(). (a) Faça um esboço grande da curva descrita pela função vetorial r t t, t, t, e desenhe os vetores r(), r(,) e r(,) r(). (b) Desenhe o vetor r começando em (, ) e o compare com o vetor r, r, Eplique por que esses vetores estão tão próimos um do outro tanto em módulo quanto em direção e sentido. 8 (a) Esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada. (b) Encontre r t. (c) Esboce o vetor posição r t e o vetor tangente r t para o valor dado de t.. r t t, t, t. r t t, t, t. r t sen t i cos t j, t 6. r t e t i e t j, t 7. r t e t i e t j, t 8. r t cos t i sen t j, t Determine a derivada da função vetorial. 9. r t t sen t, t, t cos t. r t tg t, sec t, t. r t i j e t k. r t t i t t j t t k. r t e t i j ln t k. r t at cos t i b sen t j c cos t k. r t a t b t c r, r, P Q 6. 7 Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro dado t. 7. r t te t, arctg t, e t, t 8. r t t t, t, t, t 9. r t cos t i t j sen t k, t. r t sen t i cos t j tg t k, t. Se r t t, t, t, encontre r t, T, r t e r t r t.. Se r t e t, e t, te t, encontre T, r e r t r t. 6 Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado.. st, t t, t t; (,, ). e t, te t, te t ; (,, ). e t cos t, e t sen t, e t ;,, 6. st ; ln(t ) ; t; (, ln, ) 7. Encontre uma equação para a reta tangente à curva de intersecção dos cilindros e no ponto (,, ). 8. Encontre o ponto na curva de r t cos t, sen t, e t, t p, em que a reta tangente é paralela ao plano s. SCA 9 Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado. Ilustre traçando o gráfico da curva e da reta tangente em uma mesma tela. 9. t, e t, t t ;,,. cos t, sen t, cos t; (s,,). t cos t, t, t sen t;,,. (a) Determine o ponto de intersecção das retas tangentes à curva r t sen pt, sen pt, cos pt nos pontos t e t,. ; (b) Ilustre traçando o gráfico da curva e ambas as tangentes.. As curvas de r t t, t, t e r t sen t, sen t, t se interceptam na origem. Determine o ângulo de intersecção destas com precisão de um grau.. Em que ponto as curvas r t t, t, t e r s s, s, s se cruam? Determine o ângulo de intersecção destas com precisão de um grau. Calcule a integral.. 6. r t t a b t c t i t j t k dt 7. p sen t cos t i sen t cos t j sen t cos t k dt 8. (t i tst j t sen pt k) dt t j t t k dt ; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador SCA É necessário usar um sistema de computação algébrica. As Homework Hints estão disponíveis em

4 768 CÁLCULO 9. e t i t j ln t k dt. cos pt i sen pt j t k dt. Encontre r t se r t t i t j st k e r i j.. Encontre r t se r t t i e t j te t k e r i j k.. Demonstre a Fórmula do Teorema.. Demonstre a Fórmula do Teorema.. Demonstre a Fórmula do Teorema. 6. Demonstre a Fórmula 6 do Teorema. 7. Se u t sen t, cos t, t e v t t, cos t, sen t, utilie a Fórmula do Teorema para encontrar d u t v t dt 8. Se u e v são as funções de vetor no Eercício 7, utilie a Fórmula do Teorema para encontrar d u t v t dt 9. Determine f (), onde f(t) u(t) v(t), u(),,, u (),, e v(t) t, t, t.. Se r(t) u (t) v(t), onde u e v são as funções de vetor no Eercício 9, encontre r ().. Mostre que se r é uma função vetorial tal que eista r, então d r t r t r t r t dt d. Determine uma epressão para u t v t w t. dt d. Se r t, mostre que r t r t. r t r t r t r t dt r t [Dica: ]. Se uma curva tem a propriedade de o vetor posição r t estar sempre perpendicular ao vetor tangente r t, mostre que essa curva está em uma esfera com o centro na origem.. Se u t r t r t r t, mostre que u t r t r t r t 6. Mostre que o vetor tangente a uma curva definida por uma função vetorial r(t) aponta no mesmo sentido da curva com t aumentando. [Dica: Consulte a Figura e considere os casos h e h separadamente.]

5 . Eercícios 6 Determine o comprimento da curva dada.. r t t, cos t, sen t, t. r t t, t, t, t. r t st i e t j e t k, t. r t cos t i sen t j ln cos t k, t. r t i t j t k, t 6. r t t i 8t j t k, t 7 9 Encontre o comprimento da curva com precisão de quatro casas decimais. (Use sua calculadora para aproimar a integral.) 7. r t st, t, t, t 8. r t t, e t, te t, t 9. r t sen t, cos t,tgt, t ;. Trace a curva com equações paramétricas sen t, sen t, sen t. Encontre o comprimento total desta curva com precisão de quatro casas decimais.. Seja C a curva de intersecção do cilindro parabólico e da superfície. Encontre o comprimento eato de C da origem até o ponto (6, 8, 6).. Encontre, com precisão de quatro casas decimais, o comprimento da curva de intersecção do cilindro com o plano. Reparametrie a curva com relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto onde t na direção crescente de t.. r t t i t j t k. r t e t cos t i j e t sen t k. Suponha que você comece no ponto (,, ) e se mova unidades ao longo da curva sen t, t, cos t na direção positiva. Onde você está agora? 6. Reparametrie a curva r t t i t t j em relação ao comprimento do arco medido a partir do ponto (, ) na direção crescente de t. Epresse a reparametriação em sua forma mais simples. O que você pode concluir sobre a curva? 7 (a) Determine os vetores tangente e normal unitários T(t) e N(t). (b) Utilie a Fórmula 9 para encontrar a curvatura. 7. r t t, cos t, sen t 8. r t t, sen t t cos t, cos t t sen t, t 9. r t s t, e t, e t. r t t, t, t Utilie o Teorema para encontrar a curvatura.. r t t j t k. r t t i t j t k. r t t i sen t j cos t k. Encontre a curvatura da curva r t e t cos t, e t sen t, t no ponto (,, ).. Encontre a curvatura de r t t, t, t no ponto (,, ). ; 6. Trace o gráfico da curva com equações paramétricas cos t, sen t, sen t e calcule a curvatura no ponto (,, ). 7 9 Use a Fórmula para encontrar a curvatura tg 9. e Em que ponto a curva tem curvatura máima? O que acontece com a curvatura quando l?. ln. e. Determine a equação de uma parábola que tenha curvatura na origem. ; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador SCA É necessário usar um sistema de computação algébrica. As Homework Hints estão disponíveis em

6 . Eercícios. A tabela fornece coordenadas de uma partícula movendo-se no espaço ao longo de uma curva suave. (a) Determine a velocidade média nos intervalos de tempo [, ], [,; ], [, ] e [;,]. (b) Estime a velocidade e a velocidade escalar da partícula no instante t. t,7 9,8,7,, 7,,,, 6,,,,9 6,,8, 7, 7,8,7. A figura mostra a trajetória de uma partícula que se move com vetor posição r t no instante t. (a) Desenhe um vetor que represente a velocidade média da partícula no intervalo de tempo t,. (b) Desenhe um vetor que represente a velocidade média da partícula no intervalo de tempo, t. (c) Escreva uma epressão para o vetor velocidade v(). (d) Desenhe uma aproimação do vetor v() e estime a velocidade escalar da partícula em t. r(,) r() r(,) 8 Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada. Esboce a trajetória da partícula e desenhe os vetores velocidade e aceleração para os valores de t especificados.. r t t, t, t. r t t, st, t. r t cos t i sen t j, t 6. r t e t i e t j, t 7. r t t i t j k, t 8. r t t i cos t j sen t k, t 9 Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada. 9. r t t, t, t ; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador. As Homework Hints estão disponíveis em

7 78 CÁLCULO..... r t cos t,t, sen t r t s t i e t j e t k r t t i t j ln t k r t e t cos t i sen t j t k r t t sen t i t cos t j t k 6 Determine os vetores velocidade e posição de uma partícula, dadas a sua aceleração, velocidade e posição iniciais.. a t i j, v k, r i 6. a t i 6t j t k, v i, r j k 7 8 (a) Determine o vetor posição de uma partícula, dada a sua aceleração e suas velocidade e posição iniciais. ; (b) Utilie o computador para traçar a trajetória percorrida pela partícula. 7. a t t i sen t j cos t k, v i, r j 8. a t t i e t j e t k, v k, r j k 9. A função posição de uma partícula é dada por r t t,t, t 6t. Quando sua velocidade escalar é mínima?. Qual a força necessária para que uma partícula de massa m tenha a função posição r t t i t j t k?. Uma força com magnitude N atua diretamente para cima do plano em um objeto com massa de kg. O objeto começa na origem com velocidade inicial v i j. Encontre a sua função posição e a sua velocidade no instante t.. Mostre que, se uma partícula se move com velocidade escalar constante, então os vetores velocidade e aceleração são ortogonais.. Um projétil é disparado com uma velocidade escalar inicial de m/s e ângulo de elevação de 6º. Determine (a) o alcance do projétil, (b) a altura máima atingida e (c) a velocidade escalar no impacto.. Repita o Eercício, considerando agora o projétil disparado de uma posição m acima do solo.. Uma bola é atirada em um ângulo de elevação de º em relação ao solo. Se a bola cai no solo a uma distância de 9 m, qual a velocidade escalar inicial da bola? 6. Uma arma é disparada com ângulo de elevação de º. Qual a velocidade de disparo se o máimo de altura que a bala atinge é de m? 7. A velocidade de disparo de uma arma é m/s. Determine dois ângulos de elevação que podem ser utiliados para atingir um alvo que está a 8 m de distância. 8. No beisebol, um batedor rebate uma bola, que está pés acima do chão, em direção à parte central da cerca do campo, que tem pés de altura e dista pés da base do lançamento. A bola deia o bastão com uma velocidade escalar de pés/s e com ângulo de º acima da horiontal. Foi home run? (Em outras palavras, a bola passou por cima da cerca?) 9. Uma cidade medieval tem a forma de um quadrado e está protegida pelas muralhas com comprimento de m de altura de m. Você é o comandante de um eército de ataque e o mais próimo que você pode chegar da muralha é m. Seu plano é incendiar à cidade catapultando rochas aquecidas sobre a parede (com uma velocidade inicial de 8 m/s). Em que intervalo de ângulos você deve dier a seus homens para armar a catapulta? (Suponha que a trajetória das rochas seja perpendicular à muralha.). Mostre que um projétil atinge três quartos da sua altura máima em metade do tempo necessário para atingir a sua altura máima.. Uma bola é lançada para o ar para leste a partir da origem (na direção do eio positivo). A velocidade inicial é i 8 k, com a velocidade medida em pés por segundo. A rotação da bola resulta em uma aceleração em direção ao sul de pés/s, de modo que o vetor aceleração é a j k. Onde a bola cai e com que velocidade escalar?. Uma bola com massa,8 kg é arremessada ao ar em direção ao sul com velocidade escalar de m/s e ângulo de º com o solo. Um vento do oeste aplica uma força constante de N à bola na direção leste. Onde a bola cai e com que velocidade escalar? ;. A água, descendo por um trecho reto de um rio, em geral escoa mais rapidamente no meio e a velocidade escalar diminui para quase ero nas margens. Considere um trecho longo de rio escoando para o norte com as margens paralelas distando m uma da outra. Se a velocidade máima da água é de m/s, pode-se utiliar uma função quadrática como um modelo básico para a taa de fluo de água unidades de distância da margem oeste: f. (a) Um barco se move com uma velocidade escalar constante de m/s a partir de um ponto de A na margem oeste enquanto se mantém direcionado perpendicularmente à margem. A que distância rio abaio, na margem oposta, o barco vai atingir a terra firme? Faça um gráfico da trajetória do barco. (b) Suponha que quiséssemos pilotar o barco para terra no ponto B na margem leste em frente A. Se mantivermos uma velocidade constante de m/s, e uma direção constante, encontre o ângulo em que o barco deve dirigir. Depois, faça o gráfico do caminho real que o barco segue. Essa trajetória parece realista?. Outro modelo raoável para a velocidade escalar da água do rio no Eercício é uma função senoidal: f sen p. Se o piloto do barco quiser atravessar o rio de A até B com direção constante e velocidade escalar constante de m/s, determine o ângulo no qual o barco deve seguir.. Uma partícula tem função posição r(t). Se r (t) c r(t), onde c é um vetor constante, descrevem o caminho da partícula. 6. (a) Se uma partícula se move ao longo de uma linha reta, o que você pode dier sobre seu vetor aceleração? (b) Se uma partícula se move com velocidade constante ao longo de uma curva, o que você pode dier sobre seu vetor aceleração? 7 Determine as componentes tangencial e normal do vetor aceleração. 7. r t t t i t j 8. r t t i t t j 9. r t cos t i sen t j t k. r t t i t j t k. r t e t i s t j e t k. r t t i cos t j sen t k

8 CAPÍTULO EXERCÍCIOS.. (, ]. i j k. k, p/, l π (,, ) _... = _. _π _ π. 7. _ _π _ π. r(t) t i (t )j (t ) k. r(t) cos t i sen tj cos t k, t p (,, ) 7. r(t) kt, t, tl, t ; t, t, t, t 9. r(t) kt, t, t l, t ; t, t, t, t. II. V. IV (,, ), (,, ). cos t, sen t, cos t 7. Sim EXERCÍCIOS.. (a) (b), (d) r(.) C r(.) r() r(.)-r(). r(.) C r(.) r() R r(.)-r(). R r(.)-r() Q r(.)-r() P Q P T()

9 (c) r () lim hm r( h) r() ; T(). (a), (c) (b) r (t) k, tl (_, ). (a), (c) (b) r (t) cos t i sen t j 7. (a), (c) (b) r (t) e t i e t j (, ) h rª(_) r() rª() r(_) œ, œ π rª π r r () r () 7. /( 6 6 ) / 9. e /[ (e e ) ] /. ( ln, / ); tende a. (a) P (b),,,7. 7. _ 9. a é f (), b é k() 6 cos. k(t) t cos t k(t) =k() (7 cos t) / (t).6 _ t 9. r (t) kt cos t sen t, t, cos t t sen tl. r (t) e t k. r (t) te t i [/( t)] k. r (t) b tc 7. k,, l 9. j k. k, t, t l, k/, /, / l, k,, 6tl, k6t, 6t, l. t, t, t. t, t, t 7. r(t) ( t) i ( t) j ( 6t) k 9. t, t, t π π 6π. 6t /(t + 9t ) / inteiros múltiplos de p. /( e t ) 7. k,, l, k,, l, k,, l 9. 6 p, 6 6p 8. ( ), ( ) t 6 9. p t, p t, pt. 66. i j k 7. i j k 9. e t i t j (t ln t t)k C 7,,. t i t j ( t / ) k 7. t cos t sen t cos t sen t 9. EXERCÍCIOS... e e. ( / 8) 7.,8 9., r(t(s)) s i ( s ) j ( s ) k. ( sen,, cos ) 7. (a) k/, ( / )sen t, (/ ) cos tl, k, cos t, sen tlmmm(b) 9. (a) k e t, e t, l, k e t, e t, e t l e t e t (b) e t /(e t ) 9. 6t /(9t t ) / (,, ). 7, /(t t ) 6.,7 Å m EXERCÍCIOS.. (a),8i,8 j,7k,,i, j,6k,,8i,8j,k,,8i,8j,k (b),i,8j,k,,8. v(t) k t, l a(t) k, l v(t) t v() a() (_, )

10 . v(t) sen t i cos t j a(t) cos t i sen t j v(t) sen t (, ) π v π a, œ (, ) Eercícios. (a) (,, ) (,, ) 7. v(t) i t j a(t) j v(t) t 9. kt, t, tl, k, 6t, l, t 9t 8. i e t j e t k, e t j e t k, e t e t. e t [(cos t sen t)i (sen t cos t) j (t )k], e t [ sen t i cos t j (t )k], e t t t. v(t) t i t j k, r(t) ( t ) i t j t k 7. (a) r(t) ( t t) i (t sen t ) j ( cos t) k (b),6,, _ 9. t. r(t) t i t j t k, v(t) t. (a) m (b) m (c) m/s _ (,, ) a() v() (b) r (t) i p sen pt j p cos pt k, r (t) p cos pt j p sen pt k. r(t) cos t i sen t j ( cos t)k, t p. i (/p ) j (/p) k 7. 86,6 9. p/. (a) kt, t, l/ t t (b) kt t, t, t tl/ t 8 t 6 6t t (c) t 8 t 6 6t t /(t t ). /7 /. p 7. v(t) ( ln t) i j e t k, v(t) ln t (ln t) e t, a(t) (/t) i e t k 9. (a) Cerca de,8 m acima do chão, 8, m do atleta (b) 6, m (c) 9, m do atleta. (c) e t v d e t R. (a) v vr( sen vt i cos vt j) (c) a v r PROBLEMAS QUENTES. (a) 9º, v /(t). (a), m à direita da borda da mesa,,9 m/s (b),9º (c),6 m à direita da borda da mesa,. 6º 7. r(u, v) c u a vb onde a ka, a, a l, b kb, b, b l, c kc, c, c l. m/s 7.,º, 79,8º 9.,º u 6,º,,º u 8,º. (,, ); 9 96, pés/s. (a) 6 m (b),6º rio acima _. O caminho está contido em um círculo que está em um plano perpendicular a c com centro em uma reta pela origem na direção de c. 7. 6t, 6 9.,. e t e t,., cm/s, 9, cm/s. t CAPÍTULO REVISÃO Teste Verdadeiro-Falso _. Verdadeiro. Falso. Falso 7. Falso 9. Verdadeiro. Falso. Verdadeiro