Deduzimos a equação do ciclóide na proxima seção.

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1 Chapter Curvas Paramétricas Introdução e Motivação: No estudo de curvas cartesianas estamos acostumando a tomar uma variável como independente e a outra como dependente, ou seja = f() ou = h(). Porem, alguns movimentos ou caminhos são inconveniente, difícil ou impossível de ser descrito por uma função de uma variável ou formula da forma = f(). Por eemplo é impossível de descreve na forma = f(), o ciclóide - trajetória de um ponto pertencente a um círculo de raio R posto a girar, sem deslizar, ao longo de uma reta situada num plano horizontal. Deduzimos a equação do ciclóide na proima seção. Outro eemplo, suponhamos dois aviões com mesmo velocidade percorre caminhos retas de equações = + 3 e = 3 respectivamente.será eles vão colidir? Mesmo as retas interceptando no ponto (5,13), as equações não indicar que os aviões vão colidir. 71

2 Sec.1: Definição e eemplos Para resolve destes problemas, introduzimos curvas paramétricas. Em vez de definir em termos de ou em termos de definimos ambos e em termos de uma terceira variável chamado parâmetro..1 Definição e Eemplos.1 Definição. Sejam um intervalo I R e funções contínuas (t) e (t) definidas em I. 1) Dizemos que a função λ : I R t ((t),(t)) é uma curva parametrizada. ) O conjunto C = {((t),(t)); t I} (imagem da função λ) é uma curva. 3) As equações (t) ;t I (t) são equações paramétricas da curva C. Dizemos também que essas equações parametrizam a curva C. O parâmetro t pode ser interpretado como tempo e ((t),(t)) nos dá a posição de um ponto no instante t, que se desloca no plano XOY. A curva C é a trajetória descrita pelo ponto. Assim como é possível fazer um percurso de várias maneiras (mais rápida ou mais devagar, num sentido ou no outro, etc) uma dada curva pode ter várias equações paramétricas. Se o domínio do parâmetro é o intervalo fechado [a,b], então ((a),(a)) é o ponto inicial da curva e ((b),(b)) é o ponto final da curva.. Observação. O gráfico de qualquer função pode ser pensado como uma curva parametrizada. De fato, dado uma função = f(), o gráfico de f consiste dos pontos (,f()), onde Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yarte e Silvia Velloso 7

3 Sec.1: Definição e eemplos percorre os valores permitidas do domínio. Se definimos = (t) = t = (t) = f(t), então plotando os pontos P(t) = ((t), (t)) = (t, f(t)) da o gráfico de f. Eemplo.1. Considere a função = no domínio. O gráfico da função como uma curva parametrizada é: = t = t ; t. Seja P(t) = (t,t ), então P( ) = (,4), P(1) = (1,1) assim por diante. P( ) P() P( 1.5) P(1.5) P( 1) P(1) P() gráfico estático movimento ao longo a curva Eemplo.. Determine equações paramétricas para a reta que liga P = (, ) ao P 1 = ( 1, 1 ). Método I: A reta é o conjuntos de pontos P = P(t) = ((t),(t)) tais que P P = t P P 1, e portanto, representa a reta ligando P ao P 1. (t) = +( 1 )t (t) = +( 1 )t ; t 1 Método II: A equação cartesiana da reta que liga (, ) ao ( 1, 1 ) é dada por ( ) 1 = + ( ), 1. 1 Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yarte e Silvia Velloso 73

4 Sec.1: Definição e eemplos Logo, da observação.1., podemos parametrizar a reta por (t) = t ( ) 1 (t) = + (t ) ; t 1 1 Eemplo.3. Determine equações paramétricas para o círculo C 1 de raio 1 e centro na origem. Temos, P = (,) C 1 + = 1 Para cada ponto P = (,) C 1, tomemos o ângulo t entre OX e OP tal que t [, π]. Então (t) = cos t (t) = sen t ;t [,π] O t P X são equações paramétricas dessa curva. Eemplo.4. Os dois pares de equações a seguir também parametrizam o círculo C 1 de raio 1 e centro na origem: (t) = cos (t) i) ;t [,π] (t) = sen (t) ii) (t) = cos ( t) (t) = sen ( t) ;t [,π] Em i) o ponto se desloca mais rápido, percorre o círculo na metade do tempo, no sentido anti-horário. Em ii) o ponto se desloca mais devagar e em sentido horário. Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yarte e Silvia Velloso 74

5 Sec.1: Definição e eemplos Eemplo.5. Dado o círculo C de raio r > e centro no ponto (h,k) determine equações paramétricas para C. Temos, P = (,) C ( h) +( k) = r ( ) ( ) h k + = 1 ( r r) h k Q =, pertence ao círculo C 1, r r dado anteriormente. Tomemos então h = cos t r k ;t [,π] = sen t r Para cada ponto P = (,) C temos (t) = r cos t+h ;t [,π] (t) = r sen t+k k O h t P que são equações paramétricas de C. Eemplo.6. Seja a elipse E com centro no ponto (h,k), eios paralelos aos eios coordenadas e semi-eios a e b. Determinar equações paramétricas para E. ( ) ( ) Temos P = (,) E ( h) ( k) h k + = 1 + = 1 ( ) a b a b h k Q =, pertence ao círculo C 1. Tomemos então a b h = cos t a k ;t [,π] = sen t b Para cada ponto P = (,) E temos (t) = a cos t+h que são equações paramétricas de E. (t) = b sen t+k ;t [,π] Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yarte e Silvia Velloso 75

6 Sec.1: Definição e eemplos Eemplo.7. Determinar as equações paramétricas do ciclóide - trajetória descrita por um ponto P sobre uma circunferência de raio R que rola sem deslizar sobre o eio. C t C P Q P A B t é o ângulo varrido pelo raio CP quando o círculo rola para uma nova posição. O giro da circunferência implica que o comprimento do segmento PA= o comprimento do arco P A, ou seja, OA = Rt. Seja P = (,) e considere o triângulo C P Q : P R t 18 R cos t C R sen t Q Logo as equações paramétricas são: = PA + AB = PA + C Q = Rt R sen t = R(t sen t) = QB + P Q = R R cos t = R(1 cos t) Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yarte e Silvia Velloso 76

7 Sec.1: Definição e eemplos Eemplo.8. Determinar as equações paramétricas do astróide - trajetória descrita por um ponto P sobre uma circunferência de raio R/4 rolando sem deslizar ao longo de outro círculo de raio R. A P α R S θ O t Q A t é o ângulo varrido pelo raio OA quando o círculo rola para uma nova posição. O giro da circunferência implica que o comprimento do arco AA = o comprimento do arco PA, ou seja, Rt = Rθ 4 θ = 4t, onde θ é o ângulo P ˆSA. Seja P = (,) e considere o triângulo PSR, com ângulo P ˆSR = α. Então α = θ t 18 = 3t 18. As coordenadas do ponto P satisfazem as relações: = OQ RS = 3R 4 cos t R 4 (1) = SQ + PR = 3R 4 sen t+ R 4 cos α sen α Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yarte e Silvia Velloso 77

8 Sec.1: Definição e eemplos Como α = 3t 18, temos que cos (3t 18 ) = cos (3t) = 3 cos t 4 cos 3 t () sen (3t 18 ) = sen (3t) = 4 sen 3 t 3 sen t Substituindo () em (1) temos = R cos 3 t = R sen 3 t que são as equações paramétricas do astróide. Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yarte e Silvia Velloso 78

9 Sec.: Construção de gráficos. Construção de gráficos de curvas paramétricas Neste seção, estudamos maneiras de esboçar gráficos de curvas paramétricas = f(t) = g(t) MÉTODO I: Fazendo uma tabela As vezes podemos esboçar o gráfico fazendo uma tabela escolhendo alguns valores de t. Neste método não é sempre aconselhável pois é difícil sabe até quantos valores de t podemos escolher para pode esboçar o gráfico perfeitamente. Eemplo.9. Esboçar a curva descrita pelas equações paramétricas = t 4 = t t 3 t , , ,5 t = t = t = 3 MÉTODO II: Transformando a equação paramétrica para cartesiana Podemos esboçar o gráfico de uma paramétrica transformando-la para cartesiana eliminando o parâmetro t entre as equações. Eemplo.1. Ache a equação cartesiana da astróide = R cos 3 t t π = R sen 3 t Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yarte e Silvia Velloso 79

10 Sec.: Construção de gráficos ( 1/3 = R cos 3 t cos t = ( R) 1/3 = R sen 3 t sen t = R) Como cos t+ sen t = 1 ( ) /3 ( ) /3 + = 1 R R /3 + /3 = R /3 que a equação cartesiana. Eemplo.11. Eliminar o parâmetro t na seguinte equação paramétrica e esboçar seu gráfico = t t = t Substituindo em =, temos t+1 1 = t+1 = t t+1 t > 1 = 1 ou = 1. 1 Ou seja o gráfico é parte do gráfico da parabola = 1, com > e < Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yarte e Silvia Velloso 8

11 Sec.: Construção de gráficos Eemplo.1. Eliminar o parâmetro t na seguinte equação paramétrica e esboçar seu gráfico = 3 cos (t) t π = 1+ cos (t) = 3 cos (t) cos (t) = 3 Substituindo em = 1+ cos (t), temos = 1+ ( 3) = t = π t =,π Ou seja o gráfico é parte do gráfico da parabola = 1+ 9 percorrida duas vezes, com t = π 4, 3π e 1. MÉTODO III: Usando Noções de Calculo A a) Pontos de interseção com os eios, caso eistem,ou fácil de calcular b) Pontos de auto-interseção - pontos por onde a curva passa duas vezes (ou seja em dois instantes diferentes), caso eistem, ( d c) Os tangentes horizontais = e d ) = caso eistem, ( d d) Os tangentes verticais = e d ) = caso eistem, e) Estudo de crescimento e decrescimento de e Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yarte e Silvia Velloso 81

12 Eemplo.13. Esboçar o gráfico de Interseção com os eios: = t +1 = t3 3 +t+1 = t3 +t+1 = que é difícil de resolver. 3 = t, então a curva não intersecta o eio. Auto-Interseção: Sejam t 1 < t tais que (t 1 ) = (t ) e (t 1 ) = (t ). Sec.: Construção de gráficos (t 1 ) = (t ) (t 1 ) +1 = (t ) +1 t 1 = ±t t 1 = t. (t 1 ) = (t ) e t 1 = t (t 1 ) 3 3 t 1 = t 1 = ou t 1 = ± 3 t 1 = t 1 = t (não serve!). Então t 1 = 3 e t = 3. Temos, t = ± = 4 3 = 1 Tangentes d = t = t =, ou seja a função tem uma reta tangente vertical no ponto (1,1). d = t +1 = t = ±1, ou seja a função tem retas tangentes horizontais nos pontos (, 5) e (, 1). 3 3 Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yarte e Silvia Velloso 8

13 Crescimento e decrescimento Sec.: Construção de gráficos sinal de d t crescimento de descrescente 1 descrescente crescente 1 crescente sinal de d t crescimento de descrescente 1 crescente crescente 1 descrescente t = 1 1 t = t = ± 3 t = Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yarte e Silvia Velloso 83

14 .3 Eercícios Sec.3: Eercícios [1] Esboçar os gráficos das seguintes curvas paramétricas. Eliminando t nas equações, achar as equações na forma cartesiana: = t = t 5 4t 3 (1.1) (1.) = t 3 = t (1.3) = e t = t 3 +t (1.4) = t = t, t. (1.5) (1.7) = 3t+ = 1 t 1 = t(t ) = (t 1) (1.6) (1.8) = cotg θ = sen θ = 3t 1+t 3 = 3t 1+t 3 Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yarte e Silvia Velloso 84

15 .4 Reta Tangentes de curvas Paramétricas Sec.4: Reta Tangentes Neste seção queremos determinar a equação da reta tangente ao equações paramétricas dado por: = f(t) = g(t) ( ) Recordamos que a equação da reta tangente ao = F() no ponto (a,f(a)) é dado por = F(a)+m( a), onde m = d = F (a) ( ) d =a Então se podemos calcular d para as equações paramétricas, podemos usar ( ) d para achar a equação da reta tangente. Cálculo de d d : Suponha que podemos eliminar o parâmetro t em ( ) e reescreve-lo na forma = F(). Se substituirmos = f(t) e = g(t) na equação = F(), obtermos g(t) = F(f(t)) Derivando usando a Regra da Cadeia, temos g (t) = F (f (t)) Mudando a notação, temos que Resolvendo por F() = d d temos d = F () d d d = d d, desde que d = Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yarte e Silvia Velloso 85

16 Da mesma forma Sec.4: Reta Tangentes d d = d d, desde que d = Eemplo.14. Ache as retas tangentes ao curva paramétrica dada por = t 3 t no ponto (,). = t m = d d = d d = 4t 3t Quando =, = t = ± Para t =,m = d = d t= Então a reta tangente no ponto (t = ) é = Para t =,m = d = d t= Então a reta tangente no ponto (t = ) é = + Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yarte e Silvia Velloso 86

17 Cálculo de d d : Sec.4: Reta Tangentes Para calcular a segunda derivada usamos a regra da cadeia duas vezes: d d = d d ( ) d = d ( ) d d d d Eemplo.15. Calcule a segunda derivada da seguintes equações paramétricas = t 3 t no ponto (,) = t e diga se ela tem concavidade voltada para baio ou para cima neste ponto. d d = ( ) ( ) d d d 4t d 3t = d 3t ( ) 4(3t ) (4t)(6t) (3t = ) 3t = 1t 8 (3t ) 3 Quando =, = t = ±, Logo d d t=± = 1 < Portanto a concavidade é voltada para baio on ponto (,). Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yarte e Silvia Velloso 87

18 .5 Eercícios Sec.5: Eercícios [1] Calcule as epressões das derivadas e os seus respectivos valores nos pontos dados: = sen t [ (1.1), t π = sen t, π ] d, d, no ponto t = π 6 = 6t(1+t ) 1 d (1.), t 1, = 6t (1+t ) 1 d, no ponto de abscissa 1 5 = t+ sen ( π (1.3) t) d, t >,, no ponto t = 8 = t+lnt d [] Calcule d nos seguintes casos: d = sen t [ (.1),t π = sen t, π ] = e t (.) = e 3t [3] Verifique se: = sec (t) (3.1) = ln( cos t) = arcsen(t) (3.) = 1 t ],t π, π [, satisfaz a equação d d +e d d =,t [ 1,1], satisfaz a equação sen d d + d d = [4] Determine uma equação da reta tangente ao gráfico da curva C, no ponto de abscissa = 1, sendo C, definida parametricamente pelas equações 4 = cos 3 t, t [,π]. = sen 3 t [5] Determine as equações das retas tangentes e normal ao gráfico da curva C, no ponto com t = 1, sendo C, definida parametricamente pelas equações = t. = t+ arctg(t) Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yarte e Silvia Velloso 88

19 .6 Área de curvas paramétricas Sec.6: Áreas Determinamos a área sobre uma curva dado por equações paramétricas: = f(t) t [α,β] ( ) = g(t) tais que t 1 = t ((t 1 ),(t 1 )) = ((t ),(t )) (não queremos repetir trechos da curva). Recordamos que a área sob uma curva = F() de a b é A = b a F() d, ( ) onde F(). Usando a equação paramétrica ( ) como uma mudança na integral definida ( ), Vamos supor que quando = a, t = α (ou seja f(α) = a) e quando = b, t = β (ou seja f(β) = b.) d = f (t) = F() = F(f(t)) = g(t) Substituindo em ( ), temos que área é A = β α g(t)f (t). = 6(t sen t) Eemplo.16. Determine a área por baio da ciclóide = 6(1 cos t) t π. Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yarte e Silvia Velloso 89

20 Observe que não há trechos repetidos. Logo Sec.6: Áreas A = π (t) d = π = 36 = 36 = 18 π 6(1 cos t) 6(1 cos t) π π (1 cos t+ cos t) ( 1 cos t+ 1+ cos t (3 4 cos t+ cos t) = 18 [3t 4 sen t+ 1 ] π sen t = 18π. ) Eemplo.17. Calcular a área da região do plano limitada pelo laço da curva C de = t3 equações paramétricas 3 +t ( ) = t 1 Estudo de crescimento e decrescimento de e : d = t +1 d = t d = t = = = 1 d = t = 1 = 3 = ou t = 1 = 3 = Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yarte e Silvia Velloso 9

21 Sec.6: Áreas sinal de d t crescimento de descrescente 1 crescente crescente 1 descrescente sinal de d crescimento de descrescente 1 descrescente crescente 1 crescente t Usando apenas estas informações temos a seguinte representação gráfica para a curva (fig.1) e no (fig. ) apresenta esta curva de forma mais eata. t = 3 t = É preciso calcular o ponto de auto-interseção da curva, que é um ponto por onde o móvel passa duas vezes )ou sejam em dois instantes diferentes). Logo, sejam t 1 < t tais que (t 1 ) = (t ) e (t 1 ) = (t ). (t 1 ) = (t ) (t 1 ) 1 = (t ) 1 t 1 = ±t t 1 = t. (t 1 ) = (t ) e t 1 = t (t ) 3 t = (t ) 3 +t (t ) 3 t = t = ou t = ± Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yarte e Silvia Velloso 91

22 t = t 1 = t (não serve!). Então t 1 = 3 e t = 3. Temos, t = ± = 3 = Sec.6: Áreas Pela maneira como a curva é descrita pelas equações, vemos que não há repetição de trechos. Logo, A = = = = 4 [ t5 = 4 = (t) d ( t33 ) +t t ( t43 +t ) 15 + t3 3 [ ] ] Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yarte e Silvia Velloso 9

23 .7 Eercícios Sec.7: Eercícios [1] Determine a área limitada: (1.1) pelo eio O, = 1, = e e a curva de = e t equações paramétricas = +t 1 e (1.) pelas curvas de equações = e = t +1 = t 3 +t = t 3 t (1.3) pelo laço de curva = t 1 Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yarte e Silvia Velloso 93

24 Sec.7: Eercícios (1.4) pelo laço de curva = t = t t3 3 [] Seja R a região do plano acima da reta = e abaio do arco da ciclóide de equações (t) = (t sen t), t [,π]. (t) = (1 cos t) Esboce R e calcule a sua área. Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yarte e Silvia Velloso 94

25 .8 Comprimentos de curvas paramétricas Sec.8: Comprimentos de arcos Dedução da fórmula para comprimentos de arcos Seja uma curva dada por equações paramétricas contínuas = (t) tais que = (t) t [a,b] t 1 = t ((t 1 ),(t 1 )) = ((t ),(t )) (não queremos repetir trechos da curva) Vamos determinar (ou melhor, definir) o comprimento L da curva: Tomemos números t,t 1,,t n tais que a = t < t 1 < t i 1 < t i < t n = b e pontos sobre a curva P i = ((t i ),(t i )), para i = 1,,n. O comprimento da linha poligonal P P 1,P 1 P,,P i 1 P i,,p n 1 P n é uma estimativa para L, e tomando-se pontos P i cada vez mais próimo uns dos outros espera-se que este comprimento se aproime cada vez mais de L. Isto é, indicado a distância entre P i 1 e P i por d(p i 1,P i ) temos L d(p,p 1 )+d(p 1,P )+ +d(p n 1,P n ) Da geometria analítica temos, d(p i 1,P i ) = ((t i ) (t i 1 )) +((t i ) (t i 1 )) Supondo que cada uma das funções (t) e (t) tenha derivada contínua, pelo teorema do valor médio para derivadas, em cada intervalo [t i 1,t i ] eistem α i,β i [t i 1,t i ] tais que (t i ) (t i 1 ) = (α i ) (t i t i 1 ) e (t i ) (t i 1 ) = (β i ) (t i t i 1 ) Indicando Δt i = t i t i 1 temos d(p i 1,P i ) = ( (β i )) +( (β i )) Δt i Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yarte e Silvia Velloso 95

26 Então, L n i= ( (β i )) +( (β i )) Δt i e L = lim maδt i Como (t) e (t) são contínuas, L = b a Sec.8: Comprimentos de arcos ( n i= ( (t)) +( (t)). ( (β i )) +( (β i )) Δt i ).3 Observação. Se v(t) é o vetor velocidade da curva parametrizada então L = Isto é "a integral do módulo da velocidade é igual à distância percorrida". b a v(t). Eemplo.18. Use integral para calcular o comprimento do circulo de raio 4 e centro (1,). Sejam as equações paramétricas do circulo = 4 cos t+1 = 4 sen t+ t [,π] Com estas equações não há repetição de trechos da curva L = π π π ( 4 sen t) +(4 cos t) = 4 sen t+ cos t = 4 = 8π..4 Observação. O comprimento da elipse (que não seja círculo) não pode ser calculado a de forma análoga pois para a = b a integral sen (t)+b cos (t) não pode ser representada usando funções elementares. Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yarte e Silvia Velloso 96

27 Sec.8: Comprimentos de arcos Eemplo.19. Calcule o comprimento de arco da curva de equações paramétricas = t t t 1 = Observe que há trechos repetidos pois ((t 1 ),(t 1 )) = ((t ),(t )) t 1 [,1/[ e t ]1/,1]. Logo o comprimento L = 1/ 1/ (1 t) +() = 1 t = 1/ (1 t) = 1 4. Eemplo.. Esboce e calcule o comprimento de arco de equações paramétricas = ( cos t 1) t [,π] = (t+ sen t) Estudo de crescimento e decrescimento de e : d = sen t d = (1+ cos t) d = t = d = = = 4 = t = π = π = ou t = π = 4π Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yarte e Silvia Velloso 97

28 Sec.8: Comprimentos de arcos sinal de d crescimento de descrescente π crescente π sinal de d crescimento de crescente π crescente π t t Usando apenas estas informações temos a seguinte representação gráfica para a curva (fig.1) e no (fig. ) apresenta esta curva de forma mais eata. Pela maneira como a curva é descrita pelas equações, vemos que não há repetição de trechos. Logo, L = = π π = ( sen t) +((1+ cos t)) = π sen t+1+ cos t+ cos t = + cos t π 1+ cos t Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yarte e Silvia Velloso 98

29 ( ) t Usando a fórmula cos = 1+ cos t. Temos Sec.8: Comprimentos de arcos L = π π cos (t/) = 4 cos (t/) Então de acordo com o sinal de cos (t/), ( π L = 4 cos (t/) π π ) cos (t/) = 8[ sen (t/)] π 8[ sen (t/)]π π = 16. Eemplo.1. Esboce a curva e calcule o comprimento de arco do laço da curva de equações paramétricas = t +1 = t3 3 t+1 t R Estudo de crescimento e decrescimento de e : d = t d = t 1 d = t = = 1 = 1 d = = t = 1 = 5 3 ou = t = 1 = 1 3 Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yarte e Silvia Velloso 99

30 Sec.8: Comprimentos de arcos sinal de d crescimento de descrescente 1 descrescente crescente 1 crescente sinal de d crescimento de crescente 1 descrescente descrescente 1 crescente t t Calculando a auto-interseção: Sejam t 1 < t tais que (t 1 ) = (t ) e (t 1 ) = (t ). (t 1 ) = (t ) (t 1 ) +1 = (t ) +1 t 1 = ±t t 1 = t. (t 1 ) = (t ) e t 1 = t (t ) 3 3 +t +1 = (t ) 3 3 t +1 (t ) 3 3 +t = t = out = ± 3 t = t 1 = t (não serve!). Então t 1 = 3 e t = 3. Temos, t = ± = 4 3 = 1 Esboçando a curva com estas informações temos a seguinte representação gráfica para a curva (fig.1) e no (fig. ) apresenta esta curva de forma mais eata. Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yarte e Silvia Velloso 1

31 Sec.8: Comprimentos de arcos Calculando o comprimento do laço L = = (t) +(t 1) = (t +1) = t +1 t4 +t +1 Como t +1 é positivo para todo t, L = 3 3 [ ] t (t 3 +1) = 3 +t = 4 3. Eemplo.. As equações paramétricas a seguir dão a posição de uma partícula em cada instante t, durante o intervalo de tempo t π. = cos (t) ( ) = sen (t) a) Calcule a distancia total percorrida pela partícula. b) Verifique se há trechos da trajetória que são repetidos durante o movimento. c) Esboce a trajetória e calcule seu comprimento. Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yarte e Silvia Velloso 11

32 Sec.8: Comprimentos de arcos a) Basta aplicar a fórmula do comprimento de arco no intervalo t π (se houver repetição de algum trecho, deve ser contabilizada). d = sen (t) = 4 sen (t) cos (t) ( ) d = sen (t) cos (t) D = π 16 sen (t) cos (t)+4 sen (t) cos (t) = π 5 sen (t) = De acordo com o sinal de sen (t), temos D = π 5 sen (t) = ( π/ 5 sen (t) π π/ sen (t) ) = 5. b) Vamos determinar valores de t tais que t 1 < t e ((t 1 ),(t 1 )) = ((t ),(t )) : Das equações ( ) temos, sen (t 1 ) = sen (t ) com t 1 < t e t 1,t [,π] sen (t 1 ) = sen (t ) com t 1 < t e t 1,t [,π] t = π t 1 comt 1 [, π ] cos (t ) = cos (π t 1 ) = cos ( t 1 ) = cos (t 1 ) Então nos instantes t e t 1 tais que t 1 [,π/] e t = π t 1, a partícula ocupa a mesma posição. Concluímos que após t = π/ a partícula repete (retorna) a mesma trajetória descrita até este instante. c) De acordo com b) só precisamos trabalhar com t [,π/]. Com as equações ( ) temos = 1 t = = = 1 ; t = π/ = 1 Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yarte e Silvia Velloso 1

33 Sec.8: Comprimentos de arcos Esta trajetória é de fato um segmento da reta = (1 )/ (tente verificar!) De acordo com o que foi discutido antes, o comprimento da trajetória é igual à metade da distância percorrida pela partícula, ou seja, L = D = 5. Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yarte e Silvia Velloso 13

34 .9 Eercícios Sec.9: Eercícios [1] Calcule os comprimentos das curvas descritas abaio: (1.1) = cos t = sen t, t π (1.) = 1 t = lnt,1 t (1.3) = a cos 3 t = a sen 3 t, t π, a > (1.4) = t t =, t 1 = a(t sen t) = e t sen t (1.5), t π (1.6), t π = a(1 cos t) = e t cos t = 4t+3 [] As equações dão a posição (,) de uma partícula no instante t. = t Determine a distância percorrida pela partícula durante o intervalo de tempo t 5. = t [3] Determine o comprimento de arco do laço de curva = t t3 3 Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yarte e Silvia Velloso 14

35 .1 Respostas dos Eercícios Propostos Sec.1: Respostas Construção de gráficos de curvas paramétricas (página 84) [1] (1.1) = 3 (1.) = (1.3) = 1 8 (ln)3 +ln (1.4) = Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yarte e Silvia Velloso 15

36 Sec.1: Respostas (1.5) = 3 7 (1.6) = 8 +4 (1.7) = (1.8) = Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yarte e Silvia Velloso 16

37 Reta tangentes de curvas paramétricas (página 88) Sec.1: Respostas [1] (1.1) d d = cos(t) cos(t), d d t= π 6 = 3 3 (1.) d d = t 1 1 t; para = 5, temos t = 1 d, logo d t= 1 = 4 3 { [] (1.3) d d = 1+t 1 t 1+(π/)cos( πt), d = d t=8 (.1) d cos (t). sen (t) 4. sen (t). cos (t) = d cos 3 (t) 9 8+4π (.) d d = 1e5t [4] = 3+ 3 Reta Tangente: (1+ π [5] ) = ( 1) Reta Normal: (1+ π) = 11 ( 1) Área de curvas paramétricas (página 93) { [1] (1.1) 9e 1 u.a (1.) 5 8 u.a (1.3) u.a (1.4) 5 u.a [] (π +8) u.a Comprimento de arcos (página 14) (1.1) 4π u.c (1.) 5 +ln u.c (1.3) 6a u.c [1] (1.4) 1 4 u.c (1.5) 8a u.c (1.6) (e π/ 1) u.c [] 1 6+ln(5+ 6) u.c [3] 4 3 u.c Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yarte e Silvia Velloso 17