Palavras - chave: Resolução de Equações Diferenciais; Interpretação Gráfica; Software Maple.

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1 UM PROBLEMA DE MISTURAS ATRAVÉS DE APLICAÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAS ORDINÁRIAS F. L; Conci 1 ; M. L. Schmidt 2 ; S. Ribas 3 ; S. D. Stroschein 4. Resumo: O presente trabalho tem por objetivo relatar uma experiência de um trabalho realizado durante a disciplina de Equações Diferenciais Ordinárias I (EDO I), do Curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul - Câmpus Bento Gonçalves. O mesmo refere-se a uma pesquisa sobre os Problemas de Misturas, conteúdo este de Física, que pode ser utilizado na parte prática durante EDO. A finalidade desse trabalho foi relacionar os métodos de resolução de equações diferenciais trabalhados em sala de aula ao longo do componente curricular com problemas aplicados. Para tal, escolhemos o tema misturas, e o resolvemos de diversos modos. Dentre eles pelo método de variáveis separáveis e pela forma explícita, fazendo a análise qualitativa. Palavras - chave: Resolução de Equações Diferenciais; Interpretação Gráfica; Software Maple. Introdução 1 Estudante, Curso de Licenciatura em Matemática, IFRS Câmpus Bento Gonçalves, Av. Osvaldo Aranha, 540, CEP , Bento Gonçalves, RS, fernanda.lerin@bento.ifrs.edu.br 2 Estudante, Curso de Licenciatura em Matemática, IFRS Câmpus Bento Gonçalves, Av. Osvaldo Aranha, 540, CEP , Bento Gonçalves, RS, maiqueli.schmidt@bento.ifrs.edu.br 3 Estudante, Curso de Licenciatura em Matemática, IFRS Câmpus Bento Gonçalves, Av. Osvaldo Aranha, 540, CEP , Bento Gonçalves, RS, simone.ribas@bento.ifrs.edu.br 4 Lic. Em Matemática, Prof. Mestre, IFRS Câmpus Bento Gonçalves, Av. Osvaldo Aranha, 540, CEP , Bento Gonçalves, RS, sandra.stroschein@bento.ifrs.edu.br 1

2 As Equações Diferenciais Ordinárias (EDO s) são equações que contém derivadas de uma variável dependente em relação a uma variável independente. As Equações Diferenciais podem se divididas em: Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), cuja função incógnita depende de apenas uma variável independente, e Equações Diferenciais Parciais (EDP), que é aquela cuja função incógnita depende de duas ou mais variáveis independentes. Além disso, as EDO s podem ser classificadas pela ordem de acordo com a derivada de maior ordem presente na equação. Muitas das aplicações de EDO s são de primeira e de segunda ordem. Estas equações modelam fenômenos que ocorrem em diversas áreas como Física, Biologia e Matemática. As soluções destas podem ser utilizadas para projetar pontes, automóveis, aviões e circuitos elétricos. Sabe-se que é frequentemente desejável descrever o comportamento de algum sistema ou fenômeno da vida real em termos matemáticos, sendo eles sociólogos, econômicos ou físicos. A descrição matemática de algum fenômeno é chamada modelo matemático, e é construída levando em consideração algumas metas. Como as hipóteses sobre um sistema envolvem, na maioria das vezes, uma taxa de variação de uma ou mais variáveis, a descrição matemática dessas hipóteses pode ter uma ou mais expressões envolvendo derivadas. Em outras palavras, um modelo matemático pode ser uma equação diferencial ou um sistema de equações diferenciais. Sendo assim, neste trabalho, trataremos sobre problemas de mistura, ou seja, uma mistura de soluções salinas com concentrações diferentes, dando assim origem a uma questão diferencial de primeira ordem para a quantidade de sal contida na mistura. Explicaremos brevemente que existem dois grandes tipos de misturas: homogêneas e heterogêneas. Para entender esse problemas, utilizamos um exemplo físico que será resolvido por diferentes métodos, aprendidos primeiramente de maneira manual na disciplina de Equações Diferenciais Ordinárias I. Além disso, com o auxílio do Software Maple, desenvolvemos os gráficos para interpretação dos resultados obtidos. Material e Método 2

3 Uma mistura é uma matéria constituída por diferentes moléculas ou átomos. Por sua vez, às matérias formadas por moléculas iguais são chamadas de composto químico ou substância quimicamente pura. Em geral, as misturas podem ser separadas por meio de métodos mecânicos, na qual não perdem suas características iniciais. Além disso, pode-se dizer que a mistura consiste na agregação ou incorporação de várias substâncias ou corpos que não têm qualquer ação química entre si. Sendo assim, existem dois grandes tipos de misturas: as misturas homogêneas e as misturas heterogêneas. As misturas são ditas homogêneas quando se unem substâncias puras em proporção variável, sem que nenhuma perca as suas propriedades originais. Já as misturas heterogêneas são aquelas em que são possíveis as distinções de fases. Na mistura de dois fluídos, muitas vezes é necessário trabalharmos com equações diferenciais lineares de primeira ordem. O sistema básico de um compartimento consiste em uma função x(t) que representa quantidade de uma substância no compartimento no instante t, uma taxa de entrada em que a substância penetra no compartimento e uma taxa de saída em que a substância sai dele. Como a derivada de x em relação a pode ser interpretada como a taxa de mudança na quantidade da substância no compartimento com relação ao tempo, o sistema de um compartimento sugere (1) ( ) ( ) como um modelo matemático do processo. De forma mais geral, quando falamos de modelagem de misturas, utilizamos a equação da forma (2) y + p(t)y = g(t). Pode ser avaliada como exemplo a situação com inicialmente 50g de cloreto de sódio (NaCl) diluídos em um tanque que contem 300l de água, onde uma solução salina é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3l/min, e, quando bem misturada, a solução é drenada na mesma taxa. Figura 1. Se a construção da solução que entra é de 2g/l, determine a quantidade de sal no tanque em qualquer instante. Quantos gramas de sal estão presentes após 50 minutos? E depois de um longo tempo? 3

4 Figura 1 Tanque contendo a mistura de água e sal. Fonte: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. Seja A(t) a quantidade de sal (em g) no tanque no instante t (em min). Para problemas desse tipo, a taxa de variação de A(t) é dada pela seguinte equação diferencial: (3) ( ) ( ) (4) A seguir, pela Figura 2, tem-se a análise do campo de direções. Figura 2 Campo de Direções. Fonte: Acervo do Autor. a qual devemos resolver sujeita à condição inicial A(0) = 50. 4

5 (5) Quando t = 0, A = 50, logo encontramos c = Finalmente obtemos (6) A(t) = Em t = 50, encontramos, A(50) = 266,41 gramas. Também, quando t podemos ver na Figura 2 que A 600. Durante um longo período de tempo a quantidade de sal na solução deve ser (300l) (2g/l) = 600g. A partir da resolução obtida, Figura 3, podemos construir o gráfico de solução para esse problema: Figura 3 Curva solução. Fonte: Acervo do Autor. Além disso, para uma melhor visualização, podemos traçar em um mesmo gráfico, Figura 4, o campo de direções e o desenho da curva solução para diferentes condições iniciais. Figura 4 - Campo de direções com desenho da curva solução. Fonte: Acervo do Autor. 5

6 Resultados e Discussão Sabe-se que as equações diferenciais são uma importante ferramenta para auxiliar matematicamente no estudo de Física, Química entre outras disciplinas, pois o conhecimento matemático é de suma importância nessas áreas. Afinal, é um dos alicerces que fundamenta todos os avanços científicos. Sendo assim, o trabalho sobre problemas de misturas, é um exemplo de situação comum que pode acontecer em nosso cotidiano. A associação que é possível fazer entre a Matemática e a realidade é fantástica. Ainda nesse viés, percebe-se que o Software Maple, utilizado para plotar os gráficos de campo de direções e desenho das curvas, serviu como ferramenta facilitadora para auxiliar na visualização e compreensão dos gráficos, pois, como afirma Gravina e Basso (2012, p. 13): A tecnologia digital coloca à nossa disposição diferentes ferramentas interativas que descortinam na tela do computador objetos dinâmicos e manipuláveis. E isso vem mostrando interessantes reflexos nas pesquisas em Educação Matemática, especialmente naquelas que têm foco nos imbricados processos de aprendizagens e de desenvolvimento cognitivo nos quais aspectos individuais e sociais se fazem presentes. Sendo assim, o uso desse Software, principalmente pelo fato dele plotar os gráficos com precisão, foi de grande valia, pois manualmente, o processo de plotagem seria muito mais demorado e a qualidade seria sem dúvida inferior. Referências Bibliográficas BOYCE, W.E; DIPRIMA, R.C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. V.1. 8ª Ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006, 434p. GRAVINA, M. A.; BASSO, M. V. de A. Mídias digitais na educação matemática. In: Gravina, M. A.; Búrigo, E. Z.; Basso, M. V. de A.; Garcia, V. C. V. (Org.). Matemática, Mídias Digitais e Didática: tripé para formação do professor de Matemática. Porto Alegre: Evangraf, p STEWART, J. Cálculo.V.2. 6ª Ed. São Paulo: Americana,

7 ZILL, D. G; CULLEN, M. R. Equações Diferenciais.V.1. 3ª Ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 2008, 473p. 7