Keywords: Clarke s matrix, eigenvector, eigenvalue, mode domain, transformation matrix.

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1 APLIÇÃO DE MATRI DE TRANSFORMAÇÃO ÚNICA E REAL NA ANÁLISE DE TRANSITÓRIOS ELECTROMAGNÉTICOS EM LINHAS DE TRANSMISÃO TRIFÁSICAS SEM SEMETRIA E SEM TRANSPOSIÇÃO Afonso José do Prado (), José Pissolato Filho (), Sérgio Korokawa (), Luiz Fernando Bovolato () () Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira (DEE/FEIS/UNESP), Av. Brasil Norte, 64, Ilha Solteira - SP, fone/fax: () Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação (DSCE/FEEC/UNICAMP),Caixa Postal 6, Campinas SP, fone/fax: afonsojp@uol.com.br, pisso@dsce.fee.unicamp.br, kurokawa@uol.com.br, bovolato@uol.com.br Resumo: Uma matriz de transformação única e real pode levar aos modos exatos quando a linha de transmissão analisada for transposta. Nos casos não transpostos, os resultados não são modos exatos. Neste artigo, exemplos de linhas trifásicas não transpostas e não simétricas são analisados por meio de uma matriz de transformação única e real (matriz de Clarke). Algumas características importantes dessa matriz são: única, real, independente da freqüência e dos parâmetros de linha, bem como, idêntica para determinação dos valores de tensão e de corrente. O objetivo é conseguir simplificações matemáticas e desenvolver um modelo que possa ser aplicado diretamente em aplicativos que trabalham no domínio do tempo. Dessa forma, o modelo não utilizaria rotinas numéricas de convolução para realizar a transformação fase-modo. Já os valores de tensão e corrente poderiam ser obtidos em qualquer ponto da linha analisada empregando apenas uma multiplicação matricial (a matriz de Clarke ou a sua inversa). SINGLE REAL TRANSFORMATION MATRIX APPLICATION TO THE ELECTROMAGNETIC TRANSIENT ANALYSES OF NON-SYMMETRICAL AND NON-TRANSPOSED THREE-PHASE TRANSMISSION LINES Abstract: A single real transformation matrix can lead to the eigenvalues when the analyzed transmission line is ideally transposed. For non-transposed cases, the results are not exact modes. In this article, some examples of the non-symmetrical and non-transposed three-phase lines are analyzes through a single real transformation matrix (Clarke s matrix). This matrix has the following characteristics: single, real, frequency independent, line parameter independent, identical to the voltage and current. The objective is to get mathematical simplifications and develop a mode that can be directly applied to the programs that work in time domain. In this case, the convolution procedures are not used for phase-mode transformation. The voltage and current values can be determined at any line point in time domain or mode domain through a simple matrix multiplication. Keywords: Clarke s matrix, eigenvector, eigenvalue, mode domain, transformation matrix.. Introdução Em análises de linhas de transmissão, a influência da freqüência é significativa para os parâmetros longitudinais [Brandão Faria et al, 997; Dommel, 984; Gustavsen, ; Morched, 999; Semlyen, 985; Wedepohl, 996]. Isso gera algumas dificuldades na representação da linha no domínio do tempo [Nguyen, ; Prado, ; Wedepohl, 96]. Alguns modelos existentes buscam a solução desse problema por meio da transformação fasemodo [Brandão Faria et al, 997; Dommel, 984; Prado, ; Wedepohl, 96]. Assim, no domínio dos modos, melhora-se a representação dos parâmetros dependentes da freqüência. A matriz responsável pela transformação fasemodo, bem como, as matrizes e Y são dependentes da freqüência por causa da influência dos parâmetros longitudinais da linha. Matrizes reais podem ser utilizadas como uma alternativa para análises de linhas de transmissão transpostas. No caso de linhas idealmente transpostas, uma matriz de transformação única e real pode obter modos exatos e matrizes e Y diagonais no domínio dos modos [Brandão Faria et al, 997; Prado, ]. Por causa disso, os valores de grandezas

2 elétricas podem ser determinados no domínio das fases ou no domínio dos modos em qualquer ponto da linha com o emprego de apenas uma multiplicação matricial [Prado, ]. No caso de linhas trifásicas não transpostas, a análise de autovetores e de autovalores é apresentada neste artigo, considerando casos de linhas simétricas e não simétricas. Utiliza-se a matriz de Clarke como matriz de transformação [Clarke, 95], sendo que os autovalores exatos são comparados com os resultados obtidos pelo modelo proposto, denominados de quase modos, e os erros entre esses valores podem ser considerados desprezíveis.. Modelo matemático Para análise de fenômenos transitórios eletromagnéticos em linhas de transmissão, as relações entre as tensões de fase (u F ) e as correntes de linha (i F ) podem ser expressadas pelas seguintes equações, no domínio das fases: duf dif = if e = Y u F () Nesse caso, é a matriz longitudinal de impedâncias por unidade de comprimento e Y é a matriz de admitâncias por unidade de comprimento. As matrizes de transformação modal são identificadas por T V e T I e determinam as matrizes de impedância e de admitância no domínio dos modos ( e Y ). Em muitos casos, T V e T I são diferentes entre si, sofrem a influência da freqüência e possuem elementos complexos. Se a transformação modal é aplicada, a equação é modificada para trabalhar com grandezas no domínio dos modos: ( u ) dtv = TI i e () ( i ) dti = Y T u V de linhas não transpostas, consideram-se tais matrizes diagonais, desprezando os elementos fora da diagonal principal. A validade dessa consideração baseia-se no fato de que os erros entre os autovalores exatos e os resultados obtidos pelo modelo proposto são desprezíveis. Os resultados do modelo proposto são denominados quase modos. Para que os erros sejam desprezíveis, a matriz de Clarke não se baseia em um valor particular de freqüência, caso contrário, isso implicaria na amplificação de peculiaridades dessa freqüência. Uma precisão satisfatória deve ser obtida em uma ampla faixa de freqüência, englobando o espectro dominante de freqüência dos problemas estudados. A transformação proposta é aplicada no domínio do tempo sem a necessidade de rotinas de convolução, porque ela é real, independente da freqüência e idêntica para determinação tanto de valores de tensão como de corrente. Portanto, este trabalho analisa os erros da aplicação de tal matriz de transformação, comparando os quase modos com autovalores exatos.. Linhas com simetria vertical Uma linha cuja disposição dos condutores de fase é simétrica é mostrada na Fig.. As fases adjacentes podem estar alinhadas ou não com a fase central. Utilizando o caso geral, as fases adjacentes são dispostas simetricamente como mostra a Fig.. Assumindo transposição ideal, considera-se que o ciclo de transposição é menor que um quarto do comprimento de onda para a freqüência dominante do fenômeno estudado. Dessa forma, as matrizes e Y têm diversas propriedades de simetria adicionais. Há autovalores coincidentes e maior liberdade na escolha dos autovetores. Considerando os cabos pára-raios implícitos, as matrizes e Y podem ser definidas por: A D D = D A D D D A e A' D' D' Y = D' A' D' D' D' A' (5) As matrizes e Y são descritas por: = T T e Y = T Y T V I I V () O modelo proposto substitui as matrizes de transformação pela matriz de Clarke (T CL ): = T T e Y = T Y T CL CL CL CL CL (4) Para linhas idealmente transpostas, as matrizes CL e Y CL são diagonais. No caso Plano de simetria Figura : Linha com estrutura simétrica caso geral. Supondo a aplicação da matriz de Clarke em ambas as matrizes e Y no domínio dos modos,

3 como tais matrizes têm estruturas semelhantes, as matrizes resultantes da transformação ( CL e Y CL ) também terão estruturas semelhantes no domínio dos modos. A matriz de Clarke transforma o circuito trifásico em três circuitos monofásicos desacoplados. A matriz CL para esse caso é: CL = A D A D A+ D (6) 6. m PR A 9.7 m 4.7 m B 7.5 m C.4 m Pára-raios EHS /8" Ω/m PR flecha meio vão: 6.4 m CADA FASE.4 m.6 m FASES ACSR-6/7-66 MCM Ω/m Flecha a meio vão:.4 m Resistividade de terra: Ωm No caso da equação anterior, A identifica o valor da impedância própria e D está relacionado ao valor da impedância de acoplamento entre as fases do circuito trifásico. A matriz Y CL tem estrutura semelhante à matriz CL, havendo diferença apenas nos valores numéricos. Considerando uma linha simétrica e não transposta, as matrizes e Y são descritas por: NT B G H = G F G H G B e Y NT B' G' H' = G' F' G' H' G' B' (7) As impedâncias de acoplamento são mostradas na Fig.. G H Figura : Acoplamentos mútuos da linha não transposta. Para esse caso, a matriz CL é descrita por: B + F 4G + H ( F B + G H) = CL B H ( F B + G H) F + B + 4G + H I NT NT I V NT NT V NT G (8) Considerando T I e T V como os autovetores de NT, a matriz de autovalores é: T Y T = T Y T = (9) Se os autovetores são substituídos pela matriz de Clarke, obtêm-se os quase modos: T Y T = CL M M CL NTCL () Os autovalores ( NT ) são comparados com os quase modos ( NTCL ), utilizando a estrutura de linha mostrada na Fig.. Figura : Estrutura de uma linha trifásica simétrica. DIFERENÇA RELATIVA (%) Modo β Modo α Modo FREQÜÊNCIA (Hz) Figura 4 Comparação entre NT e NTCL. A comparação entre os módulos de NT e NTCL é mostrada na Fig. 4, onde o maior erro é de aproximadamente.5% para o modo α em torno da freqüência de khz. Os erros apresentados na Fig. 4 são pequenos e indicam que a matriz de Clarke pode ser uma boa alternativa para a transformação fase-modo desse tipo de linha em uma faixa de freqüência entre H e MHz. A matriz de Clarke citada neste texto tem a seguinte estrutura [Clarke, 95]: T CL 6 = Linhas sem simetria vertical () Duas estruturas, onde não há um plano de simetria vertical são mostradas na Fig. 5. Supondo a transposição ideal desses exemplos de linha, ambas as estruturas apresentam matrizes e Y semelhantes ao caso simétrico com transposição ideal. Assim, também para linhas não simétricas, os casos transpostos podem ser diagonalizados pela aplicação da matriz de Clarke.

4 6. Analisando as duas últimas figuras, a matriz de Clarke determina quase modos com erros desprezíveis no caso de linhas trifásicas não simétricas típicas. Esquema I Esquema II Figura 5: Linhas trifásicas sem simetria vertical. Considerando linhas trifásicas não simétricas na condição de não transpostas, os dois esquemas mostrados na Fig. 5 podem ser representados pelas seguintes matrizes: NP P S T = S Q W T W R e Y NP P' S' T' = S' Q' W' T' W' R' () Para esses dois esquemas descritos, as matrizes e Y podem ser representadas por estruturas matriciais semelhantes e, por causa disso, as matrizes e Y também têm estruturas similares. A matriz é descrita por: = α αβ α αβ β β α β () Tomando as matrizes T I e T V como autovetores de NP, os autovalores são mostrados na próxima equação. T Y T = T Y T = I NP NP I V NP NP V NP (4) Se os autovetores forem substituídos pela matriz de Clarke, a seguinte equação será obtida: T Y T = CL M M CL NPCL (5) Os autovalores NP são comparados com os quase modos NPCL, utilizando as estruturas de linha mostradas na Fig. 6 e os resultados dessa comparação são mostrados na Fig. 7 para o esquema I e na Fig. 8 para o esquema II. Na Fig. 7, a diferença relativa entre os autovalores e os quase modos não é maior que,9% para o modo β em uma ampla faixa de freqüência (de Hz a MHz). Nesse caso, a matriz de Clarke é uma boa alternativa para substituir os autovetores em análises de transitórios eletromagnéticos. Na Fig. 8, os maiores erros estão associados ao modo β. A diferença relativa não é maior que % para a mesma faixa de freqüência da Fig. 7. Ou seja, os resultados da Fig. 8 mostram que a matriz de Clarke pode ser usada como uma boa aproximação para a transformação modal exata, considerando o esquema II apresentado na Fig..6 m.6 m.47 m PR 7.5 m A B C Esquema I PR 6. m Pára-raios EHS /8" Ω/m flecha meio vão: 6.4 m 4.7 m Fases ACSR-6/7-66 MCM Ω/m flecha meio vão:.4 m Resistividade de terra: Ωm Figura 6: Linhas trifásicas não simétricas DIFERENÇA RELATIVA (%) Modo α Modo β B 4, m Modo 6.58 m PR A C CADA FASE.4 m.8 m.8 m.4 m Esquema II FREQÜÊNCIA (Hz) Figura 7: Erros relativos do esquema I. DIFERENÇA RELATIVA (%) Mode β Mode Mode α FREQÜÊNCIA (Hz) Figura 8: Erros relativos do esquema II. Nas Fig. 4, 7 e 8, os autovetores e autovalores foram calculados por meio do método de Newton-Raphson, utilizando os elementos da matriz de Clarke como valores iniciais do processo iterativo. Esses autovetores e autovalores dependem das matrizes e Y que são obtidas a partir das Equações (7) e (). Os elementos dessas matrizes são determinados pelas equações de Carson, considerando a

5 influência do solo, cuja resistividade foi adotada como Ω.m. Os cabos pára-raios são considerados implícitos. Dessa forma, por meio das Equações (7) e (), matrizes de terceira ordem são obtidas e empregadas para calcular os autovetores e autovalores para cada caso analisado e para cada valor de freqüência. Para cada valor de freqüência, as Equações (9), (), (4) e (5) são aplicadas e as diferenças relativas entre os autovalores e os quase modos são encontradas. 5. Simulações utilizando o modelo proposto O modelo proposto é utilizado em aplicativos no domínio do tempo sem a necessidade de rotinas de convolução porque a matriz de Clarke é real e independente da freqüência. No domínio dos modos ou quase modos, uma linha trifásica é representada por três linhas monofásicas independentes. A Fig. 9 mostra uma representação esquemática do modelo proposto. FASES TRANSFORMAÇÃO DE CLARKE MODO α MODO β MODO TRANSFORMAÇÃO INVERSA DE CLARKE FASES Figura 9: Esquema do modelo de quase modos. precisão desejada, o número de elementos é aumentado na década em que houve problemas de precisão. As simulações apresentadas nas próximas figuras foram obtidas com o esquema II mostrado na Fig. 6 e considerando a situação não transposta. A tensão de linha é de 44 kv (valor eficaz), a freqüência nominal é de 6 Hz e o comprimento da linha é 5 km. A fonte de potência é composta por três geradores em paralelo. Cada gerador tem potência de 7 MVA, X D =.68 pu e X D /R D =,4. Os geradores estão ligados à linha através de um transformador de relação de transformação 4,7/44 kv. TENSÃO (pu) FASE A FASE B FASE C TEMPO (s) Figura : Energização observada do terminal inicial. TENSÃO (pu) FASE A FASE B FASE C Figura : Unidade de circuito sintético. O modelo de quase modos transforma uma linha trifásica em três linhas monofásicas ou três circuitos monofásicos desacoplados. Essa transformação pode ser aplicada por meio de transformadores ideais em programas do tipo EMTP (ATP, PSCAD/EMTDC, MICROTRAN, EMTP-RV). Nesses aplicativos, os circuitos trifásicos desacoplados são representados por circuitos sintéticos que são circuitos π modificados, como mostra a Fig. [Prado, ]. Para cada modo, a quantidade de circuitos RL paralelo depende da faixa de freqüência analisada. Os valores dos elementos são obtidos por média geométrica nos intervalos de freqüência considerados. Inicialmente, considera-se um conjunto RL paralelo para cada década de freqüência. Caso não se atinja a TEMPO (s) Figura : Curto-circuito localizado a 75% do início da linha e observado a 5% do início da mesma. A Fig. mostra a comparação entre os resultados de simulação realizada com o modelo proposto e os resultados obtidos com o modelo interno do MICROTRAN para linhas com parâmetros dependentes da freqüência. O mesmo curto-circuito simulado na Fig. é utilizado, sendo que as tensões são observadas no final da linha. Os resultados do programa MICROTRAN foram obtidos por aplicação de modelo dependente da freqüência com seus valores padrões (programa auxiliar do pacote, FdData) [Dommel, 984; Microtran, 99].

6 TENSÃO (PU) FASE A FASE B FASE C possibilidades de aplicação desses elementos: serem usados em rotinas de minimização dos erros entre quase modos e autovalores, ou então, serem empregados na determinação de circuitos que representem o acoplamento entre os quase modos. - MICROTRAN MODELO PROPOSTO TEMPO (s) Figura : Comparação entre o modelo proposto e o MICROTRAN. 6. Comparações entre os elementos fora da diagonal principal e os autovalores A determinação do valor relativo dos elementos fora da diagonal principal das matrizes NTCL e NPCL em relação aos autovalores pode fornecer dados importantes para procedimentos de minimização dos erros entre os quase modos e os próprios autovalores. A estrutura das matrizes de quase modos ( NTCL e NPCL ) é descrita pela Eq. 6. A matriz QM é simétrica e há três elementos diferentes fora da diagonal principal. Esses elementos são comparados com os autovalores por meio da Eq. 7. Figura 4: Comparação entre α e para a linha simétrica. QM α = αβ α αβ β β α β (6) FORA DIAGONAL RELATIVO = (7) DIAGONAL Cada elemento de QM fora da diagonal principal é comparado com os autovalores correspondentes (). No caso da linha apresentada na Fig., apenas o elemento α fora da diagonal principal não é nulo. Esse elemento é comparado com os autovalores correspondentes na próxima figura. Já para o esquema I da Fig. 6, todos os elementos fora da diagonal principal da matriz QM não são nulos. A Fig. 5 apresenta as maiores diferenças relativas para o esquema I. No caso do esquema II, as maiores diferenças relativas são apresentadas pelo elemento β. A Fig. 6 mostra as comparações desse elemento. As três figuras apresentadas neste item mostram a relação entre os elementos fora da diagonal principal da matriz QM e os correspondentes autovalores. Há duas Figura 5: Comparação entre α e para o esquema I. Figura 6: Comparação entre β e para o esquema I. 8. Conclusões Ao substituir a matriz de autovetores por uma matriz única e real, tem-se o objetivo de

7 simplificar a análise de fenômenos transitórios eletromagnéticos em linhas de transmissão trifásicas típicas. Dessa forma, o modelo proposto permite o cálculo dos valores de grandezas elétricas (tensão e corrente) em qualquer ponto da linha, tanto no domínio das fases como no domínio dos modos, aplicando uma simples multiplicação matricial. No caso de linhas transpostas, com ou sem simetria vertical, a matriz de Clarke é uma matriz de autovetores da linha analisada e os resultados obtidos são exatos. Ao considerar linhas trifásicas sem simetria vertical, os erros entre os autovalores e os quase modos, obtidos pela aplicação da matriz de Clarke, são pequenos, podendo ser considerados desprezíveis e aceitos na maioria das aplicações. Tal conclusão é confirmada pela ampla análise dos quase modos em relação aos autovalores. Além disso, como estudo complementar, são apresentadas comparações relativas entre os elementos modos não nulos fora da diagonal principal da matriz de quase modos e os autovalores correspondentes. O modelo de quase modos foi introduzido em aplicativo do tipo EMTP (MICROTRAN) por meio de transformadores ideais e circuitos π modificados. Foram realizadas simulações de energização de linha e curto-circuito. O modelo apresentado necessita de estudos mais detalhados sobre a quantidade de elementos nos circuitos sintéticos e a associação dos mesmos com a matriz de transformação. 7. Agradecimentos Os autores gostariam de agradecer o apoio da FAPESP (Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo) na realização deste trabalho de pesquisa. 9. Referências bibliográficas Brandão Faria, J. A.; Briceño Mendez, J; On the Modal Analysis of Asymmetrical Three-phase Transmission Lines using Standard Transformation Matrices, in 997 IEEE Winter Meeting, 97WMIEEE-PES. Clarke, E.; Circuit Analysis of AC Power Systems, vol. I, Wiley, New York, 95 Dommel, H. W.; Electromagnetic Transients Program - Rule Book, Oregon, 984. Gustavsen, B.; Frequency-dependent transmission line modeling utilizing transposed conditions, IEEE Transactions on Power Delivery, vol. 7, no., pp , July,. Microtran Power System Analysis Corporation, Transients Analysis Program Reference Manual, Vancouver, Canada, 99. Morched, A.; Gustavsen, B.; Tartibi, M; A Universal Model for Accurate Calculation of Electromagnetic Transients on Overhead Lines and Underground Cables, IEEE Trans. on Power Delivery, vol. 4, no., pp. - 8, July 999. Nguyen, T. T.; Chan, H. Y.; Evaluation of modal transformation matrices for overhead transmission lines and underground cables by optimization method, IEEE Trans. on Power Delivery, vol. 7, no., January. Prado, A. J.; Pissolato Filho, J.; Tavares, M. C.; Portela, C. M.; Modal transformation applied to transients in double three-phase transmission lines, IEEE Power Engineering Society Summer Meeting, Vancouver, BC, Canada, 5-9 July,. Semlyen, A.; Deri, A.; Time Domain Modelling of Frequency Dependent Three-phase Transmission Line Impedance, IEEE Trans. on Power Apparatus and Systems, vol. 4, no. 6, pp , June, 985. Wedepohl, L. M.; Application of Matrix Methods to the Solution of Travelling-wave Phenomena in Polyphase Systems, Proceedings IEE, vol., pp. -. December, 96. Wedepohl, L. M.; Nguyen, H. V.; Irwin, G. D.; Frequency dependent transformation matrices for untransposed transmission lines using Newton-Raphson method, IEEE Trans. on Power Systems, vol., no., pp , August Copyright Notice The author is the only responsible for the printed material included in his paper.