LINHAS DE TRANSMISSÃO COM PERDAS E SEM DISTORÇÃO: UMA NOVA ABORDAGEM DIDÁTICA

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1 50 LINHAS DE TRANSMISSÃO COM PERDAS E SEM DISTORÇÃO: UMA NOVA ABORDAGEM DIDÁTICA LINHAS DE TRANSMISSÃO COM PERDAS E SEM DISTORÇÃO: UMA NOVA ABORDAGEM DIDÁTICA José Roberto Cardoso a RESUMO Apresenta-se uma nova forma didática para introduzir os conceitos do comportamento de uma linha de transmissão com perdas, porém sem distorção na forma de onda do sinal transmitido. Apesar de esta análise ser, comumente, realizada no domínio da frequência, resolveremos o problema no domínio do tempo por facilitar a análise física do fenômeno. São também determinadas as constantes da propagação e da atenuação em função dos parâmetros característicos da linha de transmissão. Palavras-chave: Linhas de transmissão. Transitórios em linhas de transmissão. Linhas de transmissão sem distorção. ABSTRACT This paper presents a new educational approach for introducing the performance concepts of a transmission line with energy loss but no distortion in the waveform. Although the frequency domain is commonly used in this kind of study the work presented applies the time domain methodology in order to make it easy to understand the physical analysis of the phenomenon. Both, the propagation and the attenuation constants are determined as a function of the typical parameters of the transmission line. Key words: Transmission line. Transmission line transients. Transmission line distortion. a Professor Titular, Escola Politécnica da USP Departamento de Engenharia de Energia e Automação Elétricas, Av. Prof. Luciano Gualberto, Travessa 3, 380, CEP Tel.: (11) ; fax: (11) cardoso@pea.usp.br

2 LINHAS DE TRANSMISSÃO COM PERDAS E SEM DISTORÇÃO: UMA NOVA ABORDAGEM DIDÁTICA 51 INTRODUÇÃO Os sinais transmitidos pelas linhas de transmissão reais são afetados na sua amplitude, na sua forma ou ambas, em função dos seus parâmetros característicos, quais sejam: R: Resistência da LT por unidade de comprimento (Ω/m); L: Indutância da LT por unidade de comprimento (H/m); C: Capacitância da LT por unidade de comprimento (F/m); G: Condutância de isolação da LT por unidade de comprimento (S/m). Uma das grandes preocupações dos engenheiros de comunicações responsáveis pelo projeto das linhas de transmissão é a manutenção da integridade do sinal enquanto este se propaga ao longo da linha. Nas LT de energia esta preo cupação não se apresenta, pois os sinais de tensão e corrente são senoidais, os quais não são afetados em sua forma, visto que os seus parâmetros são constantes, isto é, independem das amplitudes e das fases das tensões e das correntes transmitidas. No entanto, as amplitudes e fases das correntes e tensões são afetadas por esses parâmetros e pela frequência de excitação. É importante destacar que isso pode não ocorrer com a transmissão de sinais não senoidais, em virtude das diferenças nas constantes de tempo de armazenamento de energia elétrica e magnética nas suas características capacitiva e indutiva, como veremos a seguir. A Figura 1 mostra a influência que podemos encontrar nos sinais não senoidais transmitidos pelas LTs. Assim, nosso interesse neste trabalho é buscar uma relação entre os seus parâmetros característicos de modo a conseguir um comportamento próximo ao indicado na Figu ra 1b. MODELO DA LT COM PERDAS A Figura 2 mostra o circuito equivalente de um trecho elementar de uma linha de transmissão a dois fios (outras linhas podem, mediante transformações adequadas, ser reduzidas a este modelo), na qual V(x), V (x + Δx) e I(x), I(x + Δx) são as tensões e as correntes de entrada e saída do trecho elementar de comprimento Δ x, localizado numa posição x qualquer da linha de transmissão. Figura 2 - Circuito equivalente para trecho elementar de uma LT Para este circuito podemos escrever: Equação para as tensões Ou ainda, O circuito equivalente a parâmetros concentrados da Figura 2 só representa, com precisão, o trecho de comprimento Δ x da linha de transmissão se este segmento for suficientemente pequeno. Assim, para Δx 0 obtém-se: (1) a) LT com distorção superior direito b) LT sem distorção inferior direito Equação para as correntes Figura 1 - Comportamento das LT s ou ainda,

3 52 LINHAS DE TRANSMISSÃO COM PERDAS E SEM DISTORÇÃO: UMA NOVA ABORDAGEM DIDÁTICA Da mesma forma, para Δx 0 obtém-se: na qual f ' é a derivada total de f. Derivando-se novamente em relação à x resulta: (2) A equação para tensões da linha com perdas é obtida por manipulação matemática das equações (1) e (2). O procedimento é simples. Derivando-se membro a membro em relação x a equação (1), obtém-se: na qual f " é a derivada total de f '. A derivada de (5) em relação a t fornece: e sua segunda derivada: Derivando-se (2) em relação a t membro a membro, obtém-se: Substituindo-se essas derivadas em (3) obtém-se: Substituindo este resultado na equação anterior e após alguma manipulação matemática, resulta: Identificando-se membro a membro, pode-se escrever: (3) Invertendo o processo de modo a derivar membro a membro a equação (2) em relação x e derivar membro a membro a equação (1) em relação a t e fazendo as substituições convenientes, obtém-se equação idêntica para a corrente, isto é: De modo que: (4) Vamos buscar as condições que devem ser satisfeitas para que a solução da equação (3) seja do tipo: (5) Na qual a e v são constantes a serem determinadas. Para tal, vamos substituí-la em (3). Lembra-se que: ANÁLISE FÍSICA DE A análise física desta expressão é feita graficamente, de modo que, sendo V+(x, t) uma função de duas variáveis, no caso (x,t), necessita-se

4 LINHAS DE TRANSMISSÃO COM PERDAS E SEM DISTORÇÃO: UMA NOVA ABORDAGEM DIDÁTICA 53 especificar uma delas para representá-la graficamente em função da outra. Assim, a Figura 3 mostra a função V+(x,t 1 ) em função de x na qual foi especificado o instante t = t 1. Figura 3 - Análise física de ( x, t) V + O ponto genérico indicado sobre a curva representa o valor da função V+(x,t) no instante t 1 e na posição x 1, isto é: t 1 Procura-se uma posição x 2 no instante t 2 > tal que: O que resulta: Esta posição existe e deve satisfazer: de modo que: Figura 4 - Onda de tensão amortecida Os pontos indicados x 1 e x 2 são pontos quaisquer das funções, de modo que nossa análise pode ser estendida a toda a curva. Assim, a função é uma reprodução amortecida da função deslocada de, de modo que se pode concluir que a função é a representação matemática de uma onda de tensão amortecida no sentido da propagação que se propaga no sentido crescente de x com velocidade. Como todos os pontos da função são afetados pelo mesmo amortecimento, esta onda de tensão viaja no sentido indicado sem alterar sua forma, isto é, isenta de distorção. A relação: Isso posto, a Figura 4 mostra duas funções: V+(x,t 1 ) e V+(x,t 2 ) dadas por: permite inferir uma análise física à condição de linhas de transmissão sem distorção. Note-se que o primeiro termo é a constante de tempo (τ e ) do circuito GC paralelo da Figura 2 e, fisicamente, dita a evolução temporal do armazenamento da energia elétrica na parte capacitiva da LT; o segundo membro é a constante de tempo (τ m ) do circuito RL série da mesma figura, a qual dita a evolução temporal do armazenamento da energia magnética na parte indutiva da LT.

5 54 LINHAS DE TRANSMISSÃO COM PERDAS E SEM DISTORÇÃO: UMA NOVA ABORDAGEM DIDÁTICA Como essas constantes de tempo são iguais há uma perfeita sincronização entre carga e descarga de energia elétrica no circuito. Quando essas constantes de tempo são diferentes, a harmonia é violada e manifesta-se por meio de uma distorção acentuada no sinal transmitido. ANÁLISE DA CORRENTE NA LT Como já discutido, a equação de onda para as correntes é dada por: (6) De modo que, se uma função é solução da equação de onda das tensões, também será solução da equação de onda das correntes. Assim pode-se afirmar que a função: na qual De modo que se pode escrever: (10) é a impedância característica da linha. Uma outra solução típica da equação de onda das tensões é dada por: (11) É fácil demonstrar, razão pela qual se omite este detalhe, que a expressão (11) é a representação matemática de uma onda de tensão amortecida que se propaga no sentido decrescente de x com a mesma velocidade: (7) é solução da equação de onda das correntes (6). Uma relação importante é a relação entre a onda de tensão V+(x,t) e a onda de corrente I+(x,t). Para obtê-la recorre-se à equação (2), para a qual se pode escrever: A Figura 5 é ilustrativa deste fenômeno. (8) Substituindo-se V+(x,t) e I+(x,t) por seus valores indicados em (5) e (7) na equação anterior, obtém-se: (9) na qual f ' e h ' são as derivadas primeiras de f e h, respectivamente. Identificando, membro a membro, os termos da equação (9), obtêm-se as seguintes relações: Figura 5 - Onda de tensão amortecida no sentido dos x < 0 Para a equação de onda das correntes, a função análoga que também é solução de (6) é do tipo: (12) ou ainda: que por razões semelhantes se trata de um onda de corrente que se propaga no sentido decrescente de x com a mesma velocidade de propagação. Demonstra-se também, por procedimento similar ao anterior, a relação: (13)

6 LINHAS DE TRANSMISSÃO COM PERDAS E SEM DISTORÇÃO: UMA NOVA ABORDAGEM DIDÁTICA 55 SOLUÇÃO GERAL DAS EQUAÇÕES DE ONDA DE TENSÃO E DE CORRENTE Se (5) e (11) são soluções da equação de onda para tensões, a soma das duas também satisfaz essa condição, de modo que a solução geral desta equação diferencial é dada por: (14) Da mesma forma, a solução geral para a equação de onda para correntes pode ser escrita como: com: (15) (16) De modo que, a exemplo do comportamento das linhas de transmissão sem perdas, a solução geral é constituída por uma superposição de duas ondas de tensão (ou de corrente) amortecidas no sentido da propagação que viajam em sentidos opostos com a mesma velocidade de propagação. CONCLUSÃO A metodologia apresentada tem facilitado o entendimento pelos alunos de graduação do comportamento das linhas de transmissão com perdas, porém sem distorção. Sua extensão para os demais estudos, tal como o diagrama de treliças, é trivial. Evidencia o fenômeno físico responsável por este comportamento, o qual se manifesta em muitos outros fenômenos físicos ligados ao eletromagnetismo, como é o caso da propagação das ondas eletromagnéticas em meios dissipativos. BIBLIOGRAFIA BANSAL, R. Handbook of engineering electromagnetics. Marcel DEKKER, Inc EUA. 702 p. INAN, U.S.; INAM A.S. Engineering Electromagnetics. Addison Wesley Longman, Inc EUA. 776 p. ROTHWELL, E. J.; CLOUD, M.J. Electromagnetics. CRC Press LLC EUA. 539 p. SARTORI, J. C. Linhas de transmissão e carta de Smith: projeto assistido por computador. EESC- USP Projeto REENGE KRAUS, J. D. Eletromagnetismo. 4. ed. Mc Graw Hill, RAMO, S.; WHINERY, J. R.; VAN DUZER, R. Fields and waves in communication electronics. 3 rd ed. Wiley, DADOS BIOGRÁFICOS DO AUTOR José Roberto Cardoso Engenheiro eletricista, Escola Politécnica da USP (Epusp), Mestre em Engenharia elétrica (Epusp), Doutor em Engenharia Elétrica (Epusp), Livre-Docente (Epusp) e professor Titular da Epusp. Exerce a função de vice-diretor da Epusp desde abril de Foi fundador e presidente da Sociedade Brasileira de Eletromagnetismo e é coordenador do Laboratório de Eletromagnetismo Aplicado da Epusp.