Representação por Variáveis de Estado

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1 EPESENTAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMIOS PO VAIÁVEIS DE ESTADO Um sistema é dito dinâmico se a resposta presente depender de uma ecitação passada. aso contrário, se depender apenas da ecitação presente, é dito um sistema estático. A representação de sistemas dinâmicos tanto pode ser eita no domínio do tempo, como no domínio da reqüência, cada uma delas com suas técnicas, vantagens e desvantagens. Da mesma orma, os sistemas de controle realimentados podem ser analisados e sintetizados nestes dois domínios, dando origem a duas abordagens, distintas nos seus métodos e nas erramentas matemáticas que utilizam. A primeira é conhecida como Abordagem lássica, cujas erramentas de análise e de projeto são deinidas no domínio da reqüência. A representação dos sistemas é do tipo entrada-saída na orma de uma unção de transerência. Sua principal vantagem é prover inormações rápidas a repeito da estabilidade e da resposta transitória do sistema. Sua principal desvantagem é seu escopo de aplicação, limitado a sistemas lineares e invariantes no tempo ou que possam ser assim representados. Além disso, o uso desta abordagem para sistemas multivariáveis é quase inviável. A segunda é conhecida como Abordagem Moderna, cujas erramentas de análise e de projeto são deinidas no domínio do tempo. A representação dos sistemas é do tipo interna na orma de um sistema de equações dierenciais de primeira ordem, que relacionam as variáveis de estado às entradas, mais um conjunto de equações algébricas, que relacionam as saídas às variáveis de estado e às entradas. Esta abordagem é aplicável igualmente a sistemas lineares e não-lineares, variantes ou invariantes no tempo, monovariáveis ou multivariáveis, com ou sem condições iniciais. Porém, a interpretação ísica não é aparente. epresentação por Variáveis de Estado A representação por variáveis de estado é dita do tipo interna, pois além das variáveis de entrada e de saída, variáveis internas do sistema dinâmico também são representadas. Para um sistema com muitas variáveis, como tensões em indutores, capacitores, resistores, correntes, cargas em capacitores, não são necessárias equações dierenciais que envolvam todas as variáveis. Um subconjunto selecionado dentre elas é suiciente para descrever as relações dinâmicas do sistema. As demais variáveis podem ser obtidas por meio de combinações lineares das variáveis deste subconjunto. ada uma das variáveis deste subconjunto é conhecida como um estado do sistema. Estado. O estado de um sistema dinâmico pode ser deinido como um conjunto de n variáveis denotadas por (t), (t),..., n (t), chamadas de variáveis de estado do sistema, cujo conhecimento num dado instante t = t, aliado ao conhecimento da entrada do sistema para todo t t, permite determinar (t), (t),..., n (t) para todo t t.

2 epresentação de Sistemas Dinâmicos por Variáveis de Estado Variáveis de estado não são necessariamente grandezas ísicas, embora a prática recomende, quando or possível, a escolha de variáveis que possuam interpretação ou signiicado ísico. A razão é que mais tarde essas variáveis estarão envolvidas em estratégias de controle por realimentação. onsequentemente, precisarão ser medidas. Eemplo : ircuito Série Os principais conceitos da representação de sistemas dinâmicos por variáveis de estado serão apresentados através da análise do circuito mostrado na Figura. Todas as variáveis são dependentes do tempo, porém, preeriu-se omitir a variável independente t para simpliicar a notação. Figura ircuito série Trata-se de um sistema de segunda ordem, cujo comportamento pode ser descrito através da seguinte equação íntegro-dierencial: v = v di =. i + + i (.) onsiderando que i = dq, a equação (.) pode ser re-escrita como uma equação dierencial de segunda ordem em q: d q dq v = + + q (.) Sabe-se que uma equação dierencial de ordem n pode ser convertida em n equações dierenciais de primeira ordem, cada um delas com a seguinte orma: d i = ai + ai ainn + bi (.3) onde cada i é uma variável de estado dependente do tempo, é a entrada, que também é uma unção do tempo e a ij e b i são constantes (para sistemas lineares e invariantes no tempo). No caso de um sistema de segunda ordem, duas equações de primeira ordem são usadas para representá-lo, isto é: & & = a = a + a + a + b + b (.4) Universidade do Estado de Santa atarina

3 epresentação de Sistemas Dinâmicos por Variáveis de Estado 3 para as quais o ponto sobre os estados i denota a derivada em relação ao tempo. Desta orma, deinindo = q e = i, a equação (.) é equivalente às duas equações de primeira ordem apresentadas em (.5), a saber: & & = = (.5) Para representar totalmente o sistema, é necessário acrescentar às equações dierenciais (.5) uma equação que relacione os estados e a entrada à saída. A saída é uma combinação linear dos estados e da entrada. Por eemplo, se a tensão v or escolhida como saída, sua relação com os estados e a entrada será: y di = v = = = & (.6) É possível escolher outros estados, porém nenhum dos estados pode ser uma combinação linear dos demais. As variáveis de estado têm que ser linearmente independentes! Notação Matricial A representação por variáveis de estado é geralmente escrita em notação matricial, por como segue: onde: & = A + Bu y = + Du Equação de Estado Equação de Saída é vetor de estados n, u é entrada, y é a saída, A é a matriz de estados n n, B é a matriz de entrada n, é a matriz de saída n e D é a matriz de transmissão direta da entrada para a saída. (.7) Neste caso, supôs-se que o sistema, além de linear e invariante no tempo, é SISO (simple input simple output uma entrada e uma saída). Por isso, B é um vetor coluna, é um vetor linha e D, u e y são escalares. A representação de estados para o eemplo, dada pelas equações (.5) e (.6), passa a ser descrita por (.8) na orma matricial, onde o argumento t oi omitido para simpliicar a notação. A entrada u = v e a saída y = v. Universidade do Estado de Santa atarina

4 epresentação de Sistemas Dinâmicos por Variáveis de Estado 4 & = & y = [ ] +. u + u (.8) Sugestão de Procedimento A etapa crucial do procedimento para obtenção da representação de estados de um sistema é a seleção das variáveis de estado. Observações: As variáveis escolhidas têm que ser I (inearmente Independentes) e suicientes para descrever completamente o sistema. A ordem do sistema ou o seu número de armazenadores de energia indicam o número mínimo das variáveis de estado. Se, e 3 orem as variáveis escolhidas e 3 = 5 + 4, então 3 não é I com e. v e i, v e i são variáveis I entre si, porém v e i não o são. Freqüentemente, o vetor de estados inclui mais do que o mínimo necessário de variáveis de estado. Há casos em que estas variáveis, embora I, são também desacopladas. onsidere o sistema composto de uma massa e de um amortecedor viscoso, cujo comportamento é descrito por dv M + Dv = (.9) onde v é a velocidade da massa e é a orça aplicada ao corpo. omo se trata de uma equação dierencial de primeira ordem, uma só equação de estado (.) é suiciente para representá-lo no espaço de estados, tendo a velocidade como sua variável. dv D = v + (.) M M Entretanto, a massa possui uma posição. Se ela or incluída, o número de estados I aumenta para dois e a equação de estados passa a ser de segunda ordem (.). & = v v& = D v + M M (.) O diagrama de blocos da Figura ajuda a esclarecer estas duas representações no espaço de estados. Universidade do Estado de Santa atarina

5 epresentação de Sistemas Dinâmicos por Variáveis de Estado 5 Figura Sistema Massa-Amortecedor Um procedimento de cinco passos é proposto a seguir:. Escrever a equação simples da derivada para cada um dos elementos armazenadores de energia;. Selecionar as variáveis que oram derivadas como os estados; 3. Epressar a derivada com uma combinação linear das variáveis de estado e da entrada; 4. Epressar as demais variáveis em termos dos estados e da entrada; 5. Escrever a equação de saída. Eemplo : Aplicação deste Procedimento ao ircuito Série onsidere novamente o circuito série mostrado na Figura. Inicialmente, escrevem-se as equações dos dois elementos armazenadores de energia: Equação do apacitor Equação do Indutor dv = i di = v om isso, icam deinidas v e i como as variáveis de estado. (.) Após estes dois primeiros passos, as derivadas de (.) são relacionadas às variáveis de estado e à entrada, resultando nas equações de estado (.3). dv = i di = ( v. i v ) (.3) Estas mesmas equações podem ser re-escritas usando a notação usual de estados, azendo = v e = i, o que resulta em: & & = = (.4) Neste ponto, qualquer variável do circuito pode ser escrita como uma combinação linear dos estados e da entrada. Isto também vale para a saída. Se a tensão no indutor or a saída desejada, ela será descrita por: y = v = (.5) Universidade do Estado de Santa atarina

6 epresentação de Sistemas Dinâmicos por Variáveis de Estado 6 Universidade do Estado de Santa atarina Finalmente, juntando-se a equação de estado (.4) e a equação de saída (.5), obtém-se a representação de estados na orma matricial (.6). [ ] u y u. + = + = & & (.6)