Análise Experimental de Apoios para Simulação de Condições de Contorno Livre no Espaço de Placas Retangulares
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1 Análise Experimental de Apoios para Simulação de Condições de Contorno Livre no Espaço de Placas Retangulares Ricardo Leiderman Benedito Luis Barbosa de Andrade Rubens Sampaio Departamento de Engenharia Mecânica da PUC-Rio Resumo Freqüentemente é necessário fazer a caracterização modal de uma estrutura livre no espaço. Esta condição não pode ser simulada em laboratório, apenas aproximada. Neste trabalho as sete primeiras freqüências naturais de vibração transversal de uma placa retangular livre no espaço foram calculadas analiticamente e por elementos finitos, servindo como padrão para comparações com resultados experimentais obtidos através de experiências realizadas com a placa suspensa e apoiada. Simulações numéricas foram feitas com a finalidade de estimar, para a n-ésima freqüência natural da placa, o erro associado a tentativa de simulação da mesma livre no espaço, quando apoiada em um colchão. 1. INTRODUÇÃO Palavras chave: Freqüência natural, Apoios, Simulação, Livre Freqüentemente é necessário fazer a caracterização modal de uma estrutura livre no espaço, isto é, sem apoios. Esta condição não pode ser simulada em laboratório, apenas aproximada, e sugestões para esta aproximação são encontradas na literatura. Uma forma amplamente utilizada é suspender a estrutura com fios elásticos, mas isto nem sempre é tarefa fácil, sendo em alguns casos muito trabalhoso, o que dificulta a realização da experiência. Outra forma, frequentemente citada na literatura ( Ewins D. J., 1984 ) ( Neves J. R. F., 1996 ), é apoiando o corpo em um colchão elástico, sendo que trabalhos já foram feitos desta maneira, sem que o suporte fosse caracterizado ou discutido. Uma vez que tenhamos a certeza de que esta forma simule satisfatoriamente a condição de contorno desejada, sua utilização se constituirá em procedimento bastante prático. Neste trabalho as sete primeiras freqüências naturais de vibração transversal de uma placa retangular com 600mm de comprimento, 400mm de largura e 6mm de espessura (ver figura 1), livre no espaço, foram calculadas analiticamente e por elementos finitos, servindo como padrão para comparações com resultados obtidos experimentalmente através de experiências realizadas com a placa suspensa e apoiada. Simulações numéricas da placa apoiada em fundação elástica com diferentes rigezas foram feitas e seus resultados têm por finalidade estimar para a n-ésima frequência natural, o erro associado à simulação de uma placa livre no espaço apoiando-se ela em um colchão, em função da rigidez deste colchão. Esta estimativa será feita traçando-se curvas que terão como ordenada (resultado numérico - resultado padrão)/ resultado padrão, e como abcissa a rigidez do colchão. Neste trabalho faremos a estimativa para as quatro primeiras frequências, traçando então quatro curvas que serão apresentadas nos resultados. Para a estimativa do erro associado para outras frequências o procedimento seria exatamente o mesmo
2 E = 71 GPa ρ = 2780 kg / m 3 ν = 0.3 Figura 1: Dimensões da placa ( Dimensões em mm ) 2. CÁLCULO TEÓRICO Supondo que a placa é isotrópica, elástica e homogênea. Por ( Warburton G. B. ) temos: λ 2 = ( ρ a 4 (2 π f ) 2 12 ( 1-ν 2 ) ) / (π 4 E h 2 g ) ( 1 ) onde: λ 2 - fator de frequência não dimensional ρ - peso por unidade de massa a - largura da placa f - frequência ν - coeficiente de Poisson E - módulo de elasticidade do material h - espessura da placa g - aceleração da gravidade mas: λ 2 = G x 4 + G y 4 (a 4 / b 4 ) + ( 2a 2 / b 2 (ν H x H y + ( 1 - ν ) J x J y ) ) ( 2 ) onde: G x, G y, H x, H y, J x, J y - coeficientes tabelados ( Warburton G. B. ) que dependem das condições de contorno e do número de linhas nodais nas direções x e y da placa. b - profundidade da placa 3. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL Suspendeu-se a placa com dois fios de nylon, conforme mostrado na figura 2, e nela foram colocados 4 acelerômetros. A placa foi excitada com uma batida dada com martelo instrumentado e o sinal de cada acelerômetro foi registrado pelo analisador de sinais HP 3566A. O comportamento modal da placa foi então feito. Vale a pena salientar que esta experiência foi feita duas vezes, com concordância dos resultados. FIOS DE NYLON
3 ACELERO- METRO Sinal ANALISADOR DE SINAIS Figura 2 : Experiência feita com a placa suspensa A seguir apoiou-se a placa em um colchão conforme figura 3, e repetiu-se o procedimento acima descrito. Três tipos de colchão foram usados: Um de isopor, outro de espuma de borracha de densidade 33 e um terceiro de espuma de borracha de densidade 28. PLACA COLCHÃO Figura 3: Experiência feita com a placa apoiada 4. MODELO NUMÉRICO Supondo que não haja descolamento entre a placa e a fundação elástica, o problema ( ver figura 4 ) pode ser descrito pela equação: z y x figura 4: Modelagem da placa apoiada em um colchão ( 3 )
4 V CEM-NNE 98 (4) onde a placa de espessura h é constituída de material de coeficiente elástico E e coeficiente de Poisson ν; w é seu deslocamento transversal, p é a força distribuída por unidade de área e D, o módulo de rigidez. A placa, retangular de dimensões Lx = 600 mm e Ly = 400 mm, está suportada por uma fundação elástica de coeficiente de rigidez ki, de forma que se pode definir (5) Para resolução do problema proposto, aplica-se o método dos elementos finitos (FEM) para dicretização da equação ( 3 ), utilizando-se elementos de placa retangulares de quatro nós com interpolação Hermitiana. Definindo-se o vetor deformação (6) e o vetor tensão (7) onde C é a matriz elástica, definida como (8) então temos (9) em que o símbolo δ indica variação O problema de autovalor é obtido da equação acima e é resolvido através da sub-rotina EIG/Matlab 4.2.c. 5. RESULTADOS
5 Tabela 1: As 7 primeiras frequências calculadas (Hz): 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a Analítica Suspensa FEM Colchão D Colchão D Colchão isopor Curvas de erro: Para a simulação em elementos finitos dividiu-se a placa em 16 elementos de 150 x 100 x 6mm. Figura 5: Erro calculado para a primeira freqüência Figura 6: Erro calculado para a segunda freqüência Figura 7: Erro calculado para a terceira freqüência
6 Figura 8: Erro calculado para a quarta freqüência 6. CONCLUSÃO Como podemos ver da análise dos resultados, suspender a placa com fios elásticos simula satisfatoriamente a condição de contorno em questão. Entretanto, os resultados obtidos quando a placa foi ensaiada apoiada em um colchão, não só não estão de acordo com o padrão adotado ( analítico ), como também não concordam com os resultados obtidos do ensaio feito com a placa suspensa. Entretanto o modelo numérico mostra que teoricamente é possível simular a condição de contorno em questão apoiando-se o corpo em fundações elásticas (ver curva de erro), mas entre os suportes testados, que são de material facilmente encontrado no mercado, nenhum se mostrou adequado. A conclusão é obvia: muito cuidado deve ser tomado quando se utilizar colchão para simular a condição de contorno livre no espaço, pois os materiais que usamos ( isopor de embalagem e espuma de borracha encontradas no comércio ) não simulam esta condição. 7. REFERÊNCIAS Bathe, K. J., Finite Element Procedures in Engeneering Analysis, Prentice Hall, Ewins, D. J., Modal Testing: Teory and practice, Jhon Wiley & Sons Inc., Mesquita, A. L. A. & Neves, F. J. R., Análise Modal Experimental Comparação com Resultados de Simulação Numérica, IV CEM-NNE/96, vol.1, pp , Urugal, A. C., Stresses in Plates and Shells, McGraw Hill, 1981 Warburton, G. B., The Vibrations of Retangular Plates
AUTOR(ES): HIAGO AMADOR CUNHA, DIELSON DA SILVA CONCEIÇÃO, TIAGO SOUZA DOS SANTOS
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