TE238 - Análise, Modelagem e Simulação de Sistemas Dinâmicos II 1 a Lista de Exercícios

Transcrição

1 TE238 - Análise, Modelagem e Simulação de Sistemas Dinâmicos II 1 a Lista de Exercícios Prof. Roman Kuiava a a Universidade Federal do Paraná, Departamento de Engenharia Elétrica, Rua Cel. Francisco Heraclito dos Santos, 100, Jardim das Americas, , Curitiba, PR, Brazil 1 ) Um sistema é descrito pela seguinte equação diferencial: d 2 z(t) dz(t) + 3z(t) = u(t), (1) sendo u(t) a variável de entrada do sistema. Assuma como variáveis de estado z(t) e ż(t). Dessa forma, o vetor das variáveis de estado x(t) é dado por x(t) = [x 1 (t) ] T, sendo x 1 (t) = z(t) e = ż(t). Obtenha o modelo de (1) na forma usual de espaço de estados: sendo y(t) = x 1 (t). ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t) + Du(t), 2 ) Considere o seguinte sistema dinâmico de ordem n representado pela equação diferencial: em que z (n) (t) = dn z(t) n z (n) (t) + a 1 z (n 1) (t) + + a n 1 ż(t) + a n z(t) = u(t), (2), z (n 1) (t) = dn 1 z(t),,ż(t) = dz(t) n 1. Assuma como variáveis de estado z(t), ż(t),..., z (n 1) (t), ou seja: x 1 (t) z(t) ż(t) x(t) = =,.. x n (t) z (n 1) (t) Lista de Exercícios 1 September 26, 2011

2 sendo x(t) o vetor de variáveis de estado. Na equação (2), u(t) é a variável de entrada. Obtenha o modelo de (2) na forma usual de espaço de estados: sendo y(t) = x 1 (t). ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t) + Du(t), 3 ) Um modelo linear do eixo adrenal-pituitário-hipotalâmico do sistema endócrino com cinco variáveis de estado foi proposto na literatura como segue: dx 1 (t) = a 11 x 1 (t) + a 12 x 3 (t) + d 1 (t), d = a 21 x 1 (t) + a 22 + a 23 x 3 (t), dx 3 (t) = a 31 x 1 (t) + a 32 + a 33 x 3 (t) + a 34 x 4 (t) + a 35 x 5 (t), dx 4 (t) = a 43 x 3 (t) + a 44 x 4 (t), dx 5 (t) = a 53 x 3 (t) + a 55 x 5 (t), onde cada uma das variáveis de estado representa uma concentração circulatória como descrito a seguir: x 1 - hormônio de liberação de corticotropina; x 2 - corticotropina; x 3 - cortisol livre; x 4 - cortisol com albumina; x 5 - globulina ligada ao corticosteróide; d 1 - um fator externo de geração. Expresse o sistema na forma ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), sendo u(t) = d 1 (t). 4 ) Com relação aos circuitos elétricos mostrados abaixo, obtenha: (a) o modelo na forma de espaço de estados para cada um dos circuitos; (b) a função de transferência para cada um destes circuitos considerando como variável de entrada v e (t) e variável de saída v s (t). Figure 1. Circuitos elétricos referentes ao exercício 4 5 ) Em geral, as representações em espaço de estados não são únicas. Um sistema pode ser representado de diversas formas possíveis. Por exemplo, considere os sistemas a seguir: (a) ẋ(t) = 5x(t) + 3u(t), y(t) = 7x(t). 2

3 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ẋ1 (t) 5 0 x1 (t) 3 x1 (t) (b) = + u(t), y(t) = [7 0]. ẋ 2 (t) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ẋ1 (t) 5 0 x1 (t) 3 x1 (t) (c) = + u(t), y(t) = [7 3]. ẋ 2 (t) Mostre que esses sistemas podem ser representados pela mesma função de transferência. 6 ) Obtenha a função de transferência G(s) = Y (s)/u(s) para cada um dos sistemas a seguir representados na forma de espaço de estados: ẋ 1 (t) x 1 (t) 0 (a) ẋ 2 (t) = u(t), ẋ 3 (t) x 3 (t) 10 ẋ 1 (t) x 1 (t) 1 (b) ẋ 2 (t) = u(t), ẋ 3 (t) x 3 (t) 6 y(t) = [1 0 0]x(t). y(t) = [1 3 6]x(t). 7 ) Muitos sistemas são lineares por partes. Isto é, para uma grande faixa de valores de suas variáveis o sistema pode ser descrito como linear. Um sistema que utiliza um amplificador com saturação é um exemplo desse tipo. Dada a equação diferencial d 2 z(t) dz(t) + 50z(t) = f(z(t)), admita que f(z(t)) seja uma função como a mostrada na figura abaixo. Escreva a equação diferencial e o modelo na forma de espaço de estados para cada uma das faixas de valores de z: (a) < z < 2; (b) 2 < z < 2; (c) 2 < z <. Figure 2. Figura referente ao exercício 7 3

4 8 ) Considere o circuito elétrico representado abaixo. Tal circuito contém um resistor não-linear cuja relação tensãocorrente é definida por i r (t) = 2e 0,1vr(t), onde i r e v r são a corrente e a tensão no resistor, respectivamente. Obtenha: (a) a equação diferencial não-linear de primeira ordem pela aplicação da Lei das Tensões de Kirchoff; (b) o modelo não-linear na forma de espaço de estados, considerando como variável de estado i(t), variável de entrada v(t) e variável de saída como sendo a tensão no resistor; (c) Calcule os pontos de equilíbrio do modelo resultante; (d) Escolha um dos pontos de equilíbrio e linearize o sistema não-linear na vizinhança do mesmo. 9 ) Figure 3. Figura referente ao exercício 8 A figura a seguir representa um gerador síncrono (visto como uma fonte de tensão E q δ conectada à uma reatância de valor igual à x d ) interligado à um sistema elétrico de potência (representado pelo barramento de tensão V δ ) através de uma linha de transmissão (com reatância x e ). Figure 4. Representação simplificada de um gerador síncrono conectado à um sistema elétrico de potência. O modelo deste sistema na forma de espaço de estados é descrito por: em que, δ(t) = w 0 w(t) w 0, ẇ(t) = 1 2H Ė q(t) = 1 τ d ( P m (t) E q(t)v x d + x e [ E fd (t) E q ( 1 + x d x q x d + x e (3) ) sin(δ(t) δ ), (4) ) ( xd x ) ] d + x d + x V cos(δ(t) δ ), (5) e Ė fd (t) = 1 T e [K e (V ref (t) V t ) E fd (t)], (6) 1 V t = x d + x E q(t) 2 x 2 e + 2E q(t)x e x d V cos(δ(t) δ ) + V x 2 2 d. (7) e 4

5 É possível notar que o vetor das variáveis de estado x(t) é dado por x(t) = [δ(t) w(t) E q(t) E fd (t)] T e o vetor das variáveis de entrada u(t) é u(t) = [P m (t) V ref (t)] T. O restante das grandezas vistas no equacionamento acima são parâmetros conhecidos do modelo. Considere como ponto de equilibrio do sistema o vetor x 0 = [δ 0 w 0 E q 0 E fd0 ] T e u 0 = [P m0 V ref0 ] T. Obtenha o modelo linearizado do sistema descrito pelas equações (3)-(6) com relação ao ponto de equilíbrio x 0, considerando como variável de saída w(t). 5