I φ= V φ R. Fazendo a mesma análise para um circuito indutivo, se aplicarmos uma tensão v(t) = V m sen(ωt + I (φ 90)= V φ X L

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1 Impedância Em um circuito de corrente alternada puramente resistivo, vimos que, se uma tensão v(t) = V m sen(ωt + ), a corrente que fluirá no resistor será i(t) = I m sen(ωt + ), onde I m = V m /R. Representando essa relação na forma fasorial: I φ= V φ R Como as grandezas corrente e tensão são representadas por números complexos, a resistência também será um número complexo. Como a fase da corrente e da tensão são as mesmas, a operação de divisão acima só será verdadeira se a fase de R for 0º. Logo: R 0 º ou R = R + j0 ou seja, a resistência é um número complexo que possui somente a parte real, a parte imaginária é nula. Portanto, sua fase é 0º. Fazendo a mesma análise para um circuito indutivo, se aplicarmos uma tensão v(t) = V m sen(ωt + v ), aparecerá no indutor uma corrente i(t) = I m sen(ωt + i ), onde I m = V m /X L, e i = v 90º (corrente atrasada). Escrevendo novamente na forma fasorial: I (φ 90)= V φ X L onde X L = ωl. Para divisão complexa acima ser verdadeira, o número X L deve ter uma fase de 90º, assim, podemos representar essa reatância indutiva também como um número complexo: X L =ωl 90 º= j ω L Por último, fazemos a mesma análise para um circuito capacitivo. Uma tensão v(t) = V m sen(ωt + v ) resultará em uma corrente i(t) = I m sen(ωt + i ), onde I m = V m /X C, e i = v + 90º (corrente adiantada). Escrevendo na forma fasorial:

2 I (φ+90)= V φ X C onde X C = 1/ωC. Para divisão complexa acima ser verdadeira, o número X C deve ter uma fase de -90º, essa reatância capacitiva como um número complexo: X L = 1 ω C 90º= 1 jω C As 3 grandezas apresentadas acima, representam a característica de oposição à uma relação de causa/efeito (tensão/corrente), e por isso representam a mesma propriedade física. Essa grandeza complexa, que representa a capacidade de um componente impedir a passagem de corrente elétrica quando aplicada uma tensão senoidal, é chamada de impedância, que é tradicionalmente representada pela letra Z. Conforme a definição básica dessa grandeza, sua unidade de medida é também ohms [Ω]. Uma análise simples revela que resistências são impedâncias puramente reais, enquanto impedâncias reativas são puramente imaginárias. Como são números complexos, tais impedâncias podem ser representadas graficamente no plano complexo, formando o diagrama de impedâncias. É importante salientar que apesar de serem representadas com números complexos, impedâncias não são fasoriais, pois um fasor representa um vetor complexo girante no tempo, enquanto que as impedâncias não são funções temporais, e por isso são números complexos estáticos.

3 Associação de impedâncias Por se tratarem de grandezas medidas em ohms, associação de impedâncias seguem as mesmas regras apresentadas para resistências, sejam em série, em paralelo ou conversão Y-Δ e Δ-Y. A única observação é que a álgebra aplicada será complexa, e não puramente real. Assim, associação em série de impedâncias possui uma impedância equivalente: =Z 1 +Z 2 + +Z n e uma associação em paralelo terá uma impedância equivalente: 1 = 1 Z Z Z n Circuitos RL Considere o circuito RL série abaixo: onde E = 100 0º V. A impedância equivalente será: =Z R +Z L =3+ j4=5 53,13º

4 A corrente total, fornecida pela fonte, será: I= E = 100 0º =20 53,13 º[ A ] 5 53,13º Como a corrente é a mesma para os dois componentes passivos, podemos achar as tensões em cada um: V R =Z R I=3 0 º 20 53,13 º=60 53,13º [V ] V L =Z L I=4 90º 20 53,13º=80 36,87º [V ] Representando as duas tensões na forma retangular: V R =60 53,13º=36 j 48[V ] V L =80 36,87º=64+ j 48[V ] Portanto, a LKT para o circuito indutivo com corrente senoidal é mantida verdadeira, pois E = V R + V L. Representando essa relação de fasores em um diagrama fasorial: A potência média total fornecida pela fonte é: P=E I cosθ=10020 cos(53,13º)=1200[w ] onde θ é a diferença de fase entre a tensão e a corrente. A potência dissipada pelo resistor é:

5 P=R I 2 = =1200[W ] O fator de potência é dado pelo cosseno da expressão da potência média. Nesse caso FP = 0,6 atrasado, pois a corrente está atrasada com relação a tensão. Circuitos RC Considere agora o circuito abaixo: onde I = 5 53,13º V. A impedância equivalente será: =Z R +Z L =6 j 8=10 53,13º A tensão fornecida pela fonte, será: E=I =5 53,13 º 10 53,13º=50 0º[V ] Como a corrente é a mesma para os dois componentes passivos, podemos achar as tensões em cada um: V R =Z R I=6 0º 5 53,13º=30 53,13º [V ]

6 V C =Z C I=8 90º 5 53,13º=40 36,87º[V ] Representando as duas tensões na forma retangular: V R =30 53,13º=18+ j 24[V ] V C =40 36,87 º=32 j 24[V ] Portanto, a LKT para o circuito indutivo com corrente senoidal é mantida verdadeira, pois E = V R + V L. Representando essa relação de fasores em um diagrama fasorial: A potência média total fornecida pela fonte é: P=E I cosθ=505cos(53,13º)=150[w ] onde θ é a diferença de fase entre a tensão e a corrente. A potência dissipada pelo resistor é: P=R I 2 =6 5 2 =150[W ] O fator de potência é dado pelo cosseno da expressão da potência média. Nesse caso FP = 0,6 adiantado, pois a corrente está adiantada com relação a tensão. Circuito RLC Faça agora a mesma análise para o circuito da figura abaixo:

7 Resposta em Frequência As análises anteriores foram feitas a partir de um valor supostamente conhecido de frequência, informação essa que foi suprimida durante a análise. É importante lembrar que o valor da reatância, e consequentemente da impedância, de capacitores e indutores é diretamente influenciadas pela frequência da tensão e corrente. Considere por exemplo o circuito abaixo: A fonte fornecerá uma tensão de valor constante (10 V rms ), mas sua frequência pode variar de 0 a 20 khz. A reatância do capacitor é: X C = 1 2 π f C que é também o módulo de sua impedância. Para frequências muito baixas, a reatância é muito alta, ou seja, pode assumir valores muito maiores que R. Por divisão de tensão, teremos que a tensão no capacitor será próxima a da fonte, não havendo diferença de potencial no resistor. Para frequências muito altas, a reatância é muito baixa, e assim também será a tensão em seus terminais, podendo aproximar seu comportamento a um curto-circuito.

8 Podemos então traçar os gráficos da impedância de entrada do circuito (impedância equivalente vista da fonte): A mesma análise pode ser feita para circuitos indutivos, para associação em paralelo e combinações de componentes capacitivos e indutivos em associações em série e paralelo. Exemplo: Ache a impedância equivalente, a corrente total e a corrente em cada componente no circuito abaixo.

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