Fasores e Números Complexos

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1 Fasores e Números Complexos Evandro Bastos dos Santos 21 de Maio de Introdução Vamos relembrar das aulas anteriores em que vimos que uma corrente ou tensão alternada pode ser representada por funções senoidais dos tipos: I = I m sin(ωt + φ) (1) V = V m sin(ωt + φ), (2) em que φ é a fase da onda senoidal. Na compararação de âgulos de fase, ou fases de corrente e tensão alternadas, veremos que será mais conveniente a utilização de diagrama fasorial correspondente às formas das ondas de tensão e corrente alternada. Um fasor é uma grandeza com módulo, direção e sentido. 2 Fasores Somar algebricamente as ordenadas em cada ponto ao longo da abscissa é um método válido, porém é longo. 1

2 Figura 1: Somando os pontos ao longo do eixo das abscissas. Um método mais rápido utiliza um vetor radial girante. Esse vetor radial que tem um módulo constante e uma extremidade fixa na origem é denominado fasor quando utilizado em análise de circuitos elétricos Figura 2: Tensões senoidais e seus fasores 2

3 Utilizando álgebra vetorial, temos: Figura 3: Correntes senoidais e seus fasores Em termos práticos, temos que 1V < 0 o + 2V < 90 o = 2, 236V < 63, 43 o (3) v(t) = V m sin(ωt ± θ) = V m < 0 o (4) A notação após o «"indica a fase da tensão. Portanto, de agora em diante temos que converter as funções senoidais em fasores para poder fazer cálculos aritméticos utilizando a álgebra dos números complexos. Como quase sempre utilizamos exclusivamente os valores RMS, e não os de pico, em análise de circuitos, o fasor pode ser definido, por razões práticas, como tendo módulo igual ao valor RMS da senoide que o representa. O ângulo permanece o mesmo. Importante notar que a álgebra dos fasores para grandezas senoidais pode ser aplicada somente a formas de onda senoidais de mesma frequência. 3 Álgebra Fasorial: Números Complexos Veremos, agora, como efetuamos os cálculos com os fasores. Além disso também veremos a definição matemática do conceito de fasor. 3.1 Diagrama Fasorial Vamos considerar uma tensão alternada que tem a forma V (t) = V m cos(ωt + φ) (5) O digrama fasorial para essa tensão é apresentado abaixo. Ele é definido totalmente sobre o eixo complexo. 3

4 Figura 4: Diagrama fasorial para uma tensão de pico V m. Quando a fonte é ligada, em t = 0, temos que φ(t) = 0, portanto a tensão tem seu valor máximo V m e representamos como um vetor totalmente sobre o eixo real. O fasor é nesse caso o próprio valor máximo da tensão, representado pelo vetor vermelho. Quando o tempo começa a rodar, consequentemente, o fasor gira no sentido anti-horário, vemos que o ângulo φ, aumenta. Em um instante qualquer, o ângulo é φ tal que a tensão agora tem valor V (t) = V m cos(ωt + φ), ou seja o vetor agora é menor, e é representado pela projeção (azul) indicada na figura??. Até quando o valor da fase é 90 o e o vetor está completamente sobre o eixo imaginário (tensão imaginária não existe) o valor da projeção é nulo, ou seja, V (t) = Utilização dos Números Complexos Para podermos fazer todos os cálculos, devemos, portanto, fazer o uso de que o valor da tensão pode ser escrito como e o valor de um cosseno qualquer pode ser escrito como V (t) = V m cos(ωt + φ) (6) cos θ = Re(e iθ ). (7) j é o imaginário puro, em que j = 1. Então podemos escrever que V (t) = V m Re(e j(ωt+φ) ) (8) V (t) = Re(V m e j(ωt+φ) ) (9) V (t) = Re(V m e jφ e jωt ) (10) O fator V m e jφ é definido como o fasor da tensão V. Que denotamos como ˆV = V m e jφ (11) em que V m é o módulo do fasor e e jφ é a fase. Essa é a representação polar do número complexo. Em que a transformação para a forma retangular se dá por 4

5 e jθ = cos θ + j sin θ (12) Para entendermos o que estamos querendo fazer, vamos considerar o circuito abaixo. Figura 5: Circuito RLC. A corrente que passa em cada um dos elementos é diferente e depende da impedância e reatância de cada um dos dispositivos. A tensão em R é tal que vale V (t) = V m cos(ωt + φ 1 ), em C, vale V (t) = I m cos(ωt + φ 1 ), e em L vale V (t) = V m cos(ωt + φ 2 ). Observe que só muda o valor da fase, o permanecendo o mesmo valor da frequência, ou seja, a frequência é a mesma em todo circuito. 3.3 Soma Fasorial Quando falamos em soma fasorial, queremos saber como somar, por exemplo, duas tensões em série. Considere como exemplo duas tensões em série que tem valores V 1 (t) = 20 cos(ωt 30) (13) V 2 (t) = 40 cos(ωt + 60) (14) De maneira geral, podemos somar usando a relação trignométrica cos(a+b) = cos a cos b sin a sin b, portanto V 1 (t) = 20 cos(ωt 30) = 20 cos ωt cos 30 sin ωt sin 30 (15) Somando V 1 + V 2, temos que V 2 (t) = 40 cos(ωt + 60) = 40 cos ωt cos 60 sin ωt sin 60 (16) V 1 + V 2 = 37, 3 cos ωt 24, 6 sin ωt (17) Em que temos uma soma de funções seno e cosseno. Nosso objetivo é escrever como sendo uma forma única tipo cosseno. Então podemos considerar o seguinte triângulo retângulo 5

6 Figura 6: Triângulo representativo para a forma trigonométrica da tensão alternada. Logo, podemos determinar Portanto 1 24, 6 φ = tg 37, 3 = 33, 4o (18) V m = 24, , 3 2 = 44, 7 (19) Por fasores, temos que V (t) = 44, 7 cos(ωt o ). (20) ˆV 1 = 20 < 30 o = 20e jπ/6 = 20 cos 30 o + j sin 30 (21) ˆV 2 = 40 < 60 o = 40e jπ/3 = 40 cos 60 o j sin 60 (22) Assim, temos os fasores na forma retangular Dessa forma podemos somar os números complexos V 1 e V 2, ˆV 1 = 17, 3 10j (23) ˆV 2 = , 6j (24) ˆV 1 + ˆV 2 = 17, j + 34, 6j (25) ˆV 1 + ˆV 2 = 37, , 6j. (26) Que já é o mesmo resultado que obtemos na forma trignométrica. Calculando o módulo do número complexo e a fase V m = 24, , 3 2 = 44, 7 (27) O fasor soma é portanto 1 24, 6 φ = tg 37, 3 = 33, 4o (28) 6 (29)

7 ˆV = 44, 6 < 33, 4 o (30) Para duas fontes, pode não paracer, mas o trabalho é simplificado. Com mais de duas fontes a forma trignométrica começa a ser muito mais trabalhosa, sendo necessário recorrer à álgebra fasorial. Exemplo: Determine a corrente i 2 no circuito abaixo. Figura 7: Exemplo. Pela lei de Kirchoff para as correntes i 1 + i 2 = i t (31) i 2 = i t i 1 (32) i t = sin(ωt + 60 o ) = 84mA < 60 o (33) i 1 = sin(ωt) = 56, 56mA < 0 o (34) Convertendo da forma polar na forma retangular, obtemos Então i t = 484mA < 60 o = 42, , 47j (35) i 1 = 56, 56mA < 0 o = 56, j (36) Que em notação fasorial i 2 = i t i 1 = 14, 14mA + 73, 57jmA (37) i 2 = 74, 82 < 100, 89 o (38) i 2 = 105, sin(ωt + 100, 89 o ) (39) Exercícios do livro: Cap14: 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 51, 52 e 53. 7