2.1 - Análise de Sistemas Realimentado pelo Lugar das Raízes- G 4 (s) = G 2 5 (s) = (s+5) G 6 (s) =

Transcrição

1 ENG Sistemas de Controle I Prof. João Manoel e Prof. Romeu LISTA DE EXERCÍCIOS Análise de Sistemas Realimentado pelo Lugar das Raízes- 1. Considere os seguintes processos: 5 1 G 1 (s) = (s2)(s10) G 4 (s) = s 2 2s2 G 2 (s) = 1 s(sa) G 2 5 (s) = (s5) (s 2)(s10) s 5 s1 G 3 (s) = (s2)(s10) G 6 (s) = (s20)(s 2 25) Estude o controle proporcional (C(s) = k) e o controle integral (C(s) = k i /s) de cada um destes processos pelo método do lugar das raízes, utilizando as diretrizes abaixo. a) Para quais valores de k (k i ) o sistema em malha fechada é BIBO-estável? b) Qual o valor do ganho crítico? c) Para quais valores de k (k i ) a função de transferência de malha fechada possui todos os seus pólos reais? d) Dentro das possíveis ajustes dos pólos do sistema realimentado através do ganho k (k i ), identifique o ajuste que conduz aproximadamente ao menor tempo de acomodação possível na resposta ao degrau. Qual o valor do ganho k (k i ) que ajusta esta condição? Obtenha o valor do ganho k (k i ), se existir, que conduz a MG = 10dB (margem de ganho). e) Existe possibilidade de ajuste de pólos para o sistema realimentado tais que o máxima sobreelevação (máximo overshoot) é inferior a 20%? Determina a faixa de ganho aproximada que garante esta condição. f) O aumento do ganho k (k i ) aumenta ou diminui as margens de estabilidade do sistema realimentado? 2. Considere o circuito elétrico da figura 2.1. Determine o lugar dos pólos da função de transferência T (s) = E o (s)/e i (s) para a variação do resistor R 1 de 0 a. 1

2 Figura 2.1: Circuito elétrico com amplificadores operacionais ideais. 2

3 2.2 - Projeto de Controladores pelo Lugar das Raízes - 1. Projete um controlador de estrutura PID (i.e. P, PI, PD ou PID) para cada um dos processos abaixo de forma que as especificações de desempenho apresentadas sejam atendidas. Para cada caso determine a expressão analítica de e(t), u(t) e y(t) considerando referências e perturbações do tipo salto. O diagrama de blocos ilustra a estrutura de controle. q(s) r(s) e(s) u(s) C(s) - Controlador G(s) Processo y(s) (a) G(s) = 10 (s2)(s5) (b) G(s) = 10(s0.5) s(s2)(s5) Mo 2% MG 20dB Kv 2s 1 ts 1.5s Rej. ao degrau Mo 2% MG 20dB Kv 2s 1 ts 1.5s Rej. ao degrau (c) G(s) = 10 s(s10) Mo 20% ts 1s MG 20dB Rej. à rampa 2. O controle de profundidade de um submarino pode ser modelado pelo diagrama em blocos abaixo: r(s) - C(s) Controlador θ 2 10(s2) 2 (s10)(s 0.1) Submarino y(s) Determine um controlador C(s) tal que o sistema apresente: erro nulo a referências de profundiadade do tipo salto. resposta a referências de profundidade com tempo de estabilização menor entre 0.2 e 0.5 segundos, sem overshoot. margem de ganho maior que 50dB. 3. Negligenciando-se o problema de quantização (i.e. considerando-se que o período de amostragem é muitíssimo menor que as constantes de tempo do sistema), o controle de uma máquina de comando numérico pode ser modelado pelo seguinte diagrama em blocos: r(s) - C(s) s s(0.3s1) y(s) 3

4 onde y é a posição da ferramenta. Projete o controlador C(s) de forma que a resposta do sistema a referências constantes apresente: erro nulo a referências do tipo salto unitário. tempo de estabilização por volta de 1.5s não apresente overshoot (isto é inadmissível em um comando numérico). 4

5 2.3 - Digitalização de Controles Analógicos - 1. Deseja-se projetar um sistema de controle de temperatura digital. A partir de ensaios, determinouse que o processo, em torno de um dado ponto de operação, pode ser modelado pela seguinte função de transferência: G(s) = y(s) u(s) = 10 e Ls (T s 1) onde a entrada u da planta é dada em Volts e a saída em graus Celsius, L = 4s e T = 1.8min Para medir a temperatura, utiliza-se um sensor com ganho de 10mV/grau. O período de amostragem a ser utilizado é de 2s. (a) Esboce a resposta do processo quando injetamos um sinal constante de 1V em sua entrada. (b) Proponha um diagrama em blocos com a estrutura de controle a ser implementada. (c) A partir do item anterior, obtenha um diagrama de blocos do tipo realimentação unitária. (d) Utilizando a aproximação de Padé e Ls 1 Ls1, projete um controlador em tempo contínuo C(s) para que o sistema em malha fechada satisfaça as seguintes especificações: erro nulo em regime permanente a referências do tipo salto. tempo de estabilização menor que 1min. não apresente overshoot. (e) Para o controlador C(s) projetado pergunta-se: Qual é a margem de ganho Quanto é necessário aumentar o ganho do controlador para que o overshoot seja de 10% Qual o menor tempo de estabilização que seria possível obter e em quanto deveria se aumentar/ou diminuir o ganho do controlador para obtê-lo (f) Obtenha uma aproximação digital do controlador C(s) utilizando o método de Tustin e escreva uma rotina de controle em pseudo-código ou em uma linguagem que você conheça. (g) Repita os 3 itens anteriores considerando agora a aproximação de Padé e Ls 1 (L/2)s 1(L/2)s 5

6 2.4 - Não Linearidades em Sistemas de Controle - 1. Projete um controlador não linear (cancelamento da não-linearidade controle linear) para cada um dos ítens abaixo, a partir do sistema da figura 2.2. a) Deseja-se ts 2s. b) considerando agora a não linearidade vista na figura 2.3. Neste caso, deseja-se ts 2s e Mo < 10%. c) Considere agora o sistema da figura 2.4. Deseja-se, neste caso, ts 2s e Mo < 10%. Observação: use as aproximações de Padé para fazer o projeto do controlador. Figura 2.2: Sistema para o item (a) da questão (1). Figura 2.3: Não linearidade para o item (b) da questão (1). Figura 2.4: Sistema para o item (c) da questão (1). 2. Projete um PI para a planta G(s) = 1 (s 1) a fim de obter ts = 2s. Analise por simulação o efeito de uma saturação no controle considerando vários limites de controle (vários valores de U min e U máx ). 3. Considerando o sistema da figura 2.5. a) Analise o comportamento do sistema, esboçando os sinais e(t), v(t), u(t) e y(t) para uma referência do tipo de salto unitário considerando as seguintes situações: 6

7 (a) U máx = U min = 0.3; (b) U máx = U min = 0.5; (c) U máx = U min = 0.8; (d) U máx = U min = 1.5. Parâmetros do PID na forma série padrão: K p = 5.5, T d = 1, T i = 2, τ = b) Em todas as situações acima o sistema consegue seguir a referência unitária? Justifique. Figura 2.5: Sistema para a questão (3). 7