MODELAÇÃO DA PROPAGAÇÃO DE ONDAS SÍSMICAS ATRAVÉS DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE FRONTEIRA

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1 MODELAÇÃO DA PROPAGAÇÃO DE ONDAS SÍSMICAS ATRAVÉS DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE FRONTEIRA P. F. A. SANTOS Assistente DEC-FCTUC Coimbra A. J. B. TADEU Prof. Associado DEC-FCTUC Coimbra SUMÁRIO Neste trabaho o Método dos Eementos de Fronteira (BEM) é formuado e impementado de forma a modear a resposta sísmica num meio eástico confinado por um fuido. É anaisada a ateração da resposta sísmica devido à introdução, no interior do meio eástico, de uma incusão circuar ciíndrica preenchida por um fuido. A infuência da geometria da superfície na resposta sísmica obtida, é também estudada, tendo-se considerado duas superfícies distintas para iustrar as concusões mais importantes. Estes modeos são usados para estudar a ampificação e/ou atenuação das ondas sísmicas que surgem devido à existência de deformações topográficas ao ongo da superfície terrestre, e/ou, a existência de heterogeneidades no interior do soo. 1. INTRODUÇÃO A ampificação e/ou atenuação de ondas sísmicas provocada pea existência de deformações topográficas na superfície, tem sido estudada utiizando diversos modeos anaíticos e numéricos. Aguns dos primeiros estudos referem o uso de souções anaíticas para estudar a refexão e difracção de ondas em estratos auvionares com forma simpes (reguar) (Trifunac [1], [2]), e a refexão de ondas por cavidades ciíndricas (Lee [3], Datta et a. [4]). As souções anaíticas são conhecidas apenas para incusões com geometria reguar, ta como

2 370 SÍSMICA º Congresso Naciona de Sismoogia e Engenharia Sísmica ciindros circuares, porque a equação de onda pode ser separada. Se a secção transversa da incusão tiver uma geometria irreguar, a obtenção da soução é mais difíci. Sanchez-Sesma [5] utiizou métodos semi-anaíticos para anaisar a difracção de ondas por incusões geoógicas, com secção transversa irreguar, situadas em meios homogéneos. O Método dos Eementos de Fronteira foi utiizado por Wong et a. [6] para determinar a resposta sísmica ao ongo de superfícies topográficas com forma tipo vae. Shah et a. [7] fizeram uso de uma combinação de representações semi-anaíticas com eementos finitos (método híbrido) para estudar a difracção de ondas panas SH num espaço eástico semi-infinito. Uma revisão detahada dos métodos utiizados na anáise sísmica pode ser encontrada em Sánchez-Sesma [8]. O BEM é provavemente o método mais apropriado para resover probemas de incusões enterradas em meios eásticos infinitos ou semi-infinitos ( haf-spaces ), pois a soução BEM consegue satisfazer as condições do campo de ondas afastado, discretizando apenas as superfícies das incusões. O BEM foi recentemente apicado por Stamos e Beskos [9], para resover o caso de um túne ciíndrico, enterrado num espaço eástico semi-infinito. Estes autores obtiveram a resposta dinâmica tridimensiona resutante da incidência de ondas harmónicas panas, através da resoução de uma série de probemas bidimensionais. Mais recentemente, Santos et a. [10] utiizaram o BEM para estudar o campo refectido 3D, quando a superfície eástica semi-infinita contendo deformações topográficas 2D, é submetida à incidência de ondas sísmicas excitadas por uma fonte pontua, ocaizada no interior do meio eástico. Estes autores utiizaram o mesmo método para estudar a infuência da existência de uma cavidade, enterrada próximo da superfície eástica semi-infinita, na ampificação das ondas sísmicas (Tadeu et a. [11]). No contexto da oceanografia, vários autores formuaram diversos modeos para estudar a interacção sóido-fuido existente ao ongo da superfície do fundo oceânico. Dawson et a. [12] estudou a refexão acústica na água originada por deformações da superfície do fundo oceânico de um cana, usando o Método da Equação Integra de Fronteira. Godinho et a. [13] usou o BEM para estudar a refexão acústica tridimensiona, de um cana fuido com fundo irreguar. Neste trabaho o Método dos Eementos de Fronteira é utiizado para modear a resposta sísmica num meio eástico semi-infinito, confinada por um fuido (água). São estudadas as aterações na resposta sísmica quando a referida superfície eástica exibe uma deformação ciíndrica, e/ou contem uma incusão fuida no interior do meio eástico. Primeiro, é apresentada a formuação do probema para um meio eástico excitado por uma fonte inear diataciona com variação sinusoida ao ongo da direcção z. Depois, é reaizada a formuação do BEM para uma incusão ciíndrica preenchida por um fuido e para uma superfície de um meio eástico semi-infinito confinada por um fuido. Posteriormente, é expicada a forma como se transformaram as respostas no domínio da frequência para o domínio do tempo. São depois apresentados aguns resutados das apicações numéricas deste modeo. Por útimo são tecidas agumas considerações finais.

3 P. F. A. SANTOS, A. J. B. TADEU FORMULAÇÃO DO PROBLEMA Considere-se um meio eástico semi-infinito que permite uma veocidade das ondas de compressão α e de corte β, possuindo uma massa voúmica ρ, confinado por um fuido. Este meio fuido permite uma veocidade das ondas de pressão α f e possui uma massa voúmica ρ f. Uma fonte pontua diataciona, coocada no meio eástico numa posição ( x 0, y0, z0 ), excita o meio envovente com uma frequência ω. Como a geometria do probema não varia segundo a direcção z, a soução tridimensiona pode ser obtida através da resoução de um conjunto de probemas bidimensionais para diferentes números de onda segundo a direcção z ( k z ). O campo incidente para cada k z pode ser expresso peo seguinte potencia diataciona, ia ( ) ( 2) 2 2 φ ( ) ( ) inc ω, x, y, kz = H0 kα x x0 + y y0 (1) 2 em que, ( 2 H ) n (...) representa a função de Hanke do segundo tipo e de ordem n, A é a ampitude da onda, i = 1 e kα = ω α k z com Im kα < FORMULAÇÃO DO BEM 3.1. Incusão ciíndrica preenchida por um fuido O Método dos Eementos de Fronteira (BEM) apenas necessita da discretização da superfície da incusão fuida. As equações do BEM que são apicadas a este probema, são conhecidas (ver Beskos [14] e Brebbia [15]). O sistema de equações necessário para a obtenção da soução, é obtido através da imposição de condições de fronteira ao ongo da superfície da incusão fuida. Neste caso, as condições de fronteira são: a continuidade de desocamentos normais e tensões normais, e a imposição de tensões tangenciais nuas. Este sistema de equações requer o cácuo dos seguintes integrais ao ongo da fronteira convenientemente discretizada, H H G G ( s) k ( s H ) ( x x, n ) dc ( i, 1, 2, 3) ij =, j = C ij k ( f ) k ( f H ) ( x, x,n ) dc = C k ( s) k ( s G ) ( x x ) dc ( i 1, 2, 3; 1) ij =, = j = C ij ( f ) k ( f G ) ( x, x ) dc = C k k (2)

4 372 SÍSMICA º Congresso Naciona de Sismoogia e Engenharia Sísmica ( onde s ) ( H ( x,x, n ) e s )( x, x ) ij k G ij k são as funções de Green respectivamente, para as tensões e para os desocamentos no meio eástico, no ponto x na direcção j, causada por uma carga ( f ) concentrada a actuar no ponto x k segundo a direcção i ; H ( xk, x, n ) são as funções de Green para as pressões no meio fuido, no ponto x, causado por uma carga de pressão ( f ) actuando em x k ; G ( xk, x ) são as funções de Green para os desocamentos no meio fuido, no ponto x segundo a direcção norma, causada por uma carga de pressão a actuar no ponto x k ; n é a norma unitária do eemento de fronteira ; C representa o segmento de recta do eemento de fronteira ao ongo do qua é feita a integração; os subscritos i, j = 1, 2, 3 denotam respectivamente, as direcções norma e tangencia. As necessárias souções fundamentais 2.5D (funções de Green) para o meio eástico ou fuido, podem ser encontradas em Tadeu et a. [16]. As integrações necessárias para resover a Equação (2), são efectuadas anaiticamente para o eemento carregado (Tadeu et a. [17], [18]), enquanto que, se o eemento a integrar não coincidir com o eemento carregado, estas são reaizadas de forma numérica através da quadratura de Gauss. O agoritmo do BEM foi impementado e vaidado, apicado-o a uma incusão circuar ciíndrica preenchida com um iquido não viscoso, para a qua a soução anaítica (exacta) é conhecida (Pao e Mow [19]) Superfície eástica semi-infinita confinada por um fuido As equações desenvovidas para uma incusão fuida (Equação (2)), podem ser usadas para cacuar a soução para a superfície, de um meio eástico semi-infinito, confinada por um fuido e sujeita a um campo de ondas sísmicas, dado que a referida superfície pode ser vista como uma incusão fuida de raio infinito. O uso de frequências compexas em conjunto com o amortecimento geométrico da resposta com a distância, faz com que não seja necessária a tota discretização da superfície infinita. Os eementos de fronteira apenas são necessários numa extensão onde a sua contribuição para a resposta fina é significativa. A contribuição para a resposta para aém da argura da janea no tempo, definida peo incremento de frequência, T = 2π ω, não precisa de ser considerada. 4. RESPOSTAS NO DOMÍNIO DO TEMPO As respostas no domínio do tempo são obtidas através da apicação da inversa da transformada rápida de Fourier, sobre as respostas em frequência. Considera-se que a fonte dinâmica excita pusos no domínio do tempo, com a variação tempora de um puso de Ricker, que possui a vantagem de decair rapidamente em frequência e no tempo, reduzindo o esforço de cácuo e permitindo uma interpretação mais fáci das respostas no tempo, dada a sequência de pusos reativamente estreitos. O puso de Ricker, no domínio do tempo, pode ser dado pea seguinte função, u ( τ ) A( 1 2τ ) 2 2 τ = e (3)

5 P. F. A. SANTOS, A. J. B. TADEU 373 τ = e t representam o tempo; t s é o tempo onde ocorre o máximo do puso, e π to é o período característico (dominante) do referido puso. A transformada de Fourier permite obter a mesma função mas agora no domínio da frequência, onde A representa a ampitude, ( t t s ) to U 2 iωts 2 Ω ( ω ) = A[ 2 π t e ] Ω e o (4) em que Ω = ωt o / 2. O tempo tota da resposta é dado por T = 2π / ω, sendo ω o incremento de frequência. Para evitar o fenómeno de aiasing, a anáise é reaizada utiizando frequências compexas, com a parte imaginária do tipo ω c = ω iη (com η = 0. 7 ω ). No domínio do tempo, esta t ateração é depois tida em conta, apicando uma função exponencia do tipo e η, à resposta obtida (Kause et a. [20]). 5. APLICAÇÕES NUMÉRICAS O modeo BEM é utiizado primeiro para cacuar a resposta sísmica ao ongo de um fundo oceânico eástico e homogéneo quando a sua superfície é pana ou possui uma deformação. Esta deformação da interface sóido-fuido está representada na Figura 1, tendo sido designada por depressão. Esta deformação é anáoga a uma depressão topográfica (vae). O modeo BEM é depois usado de modo a contempar a presença de uma incusão circuar ciíndrica preenchida por um fuido (água), enterrada no meio eástico abaixo da interface sóido-fuido. O centro desta incusão está posicionado em x = 0.0 m e y = 90.0 m (Figura 1). No instante t = 0.0 s, a fonte harmónica definida peo potencia diataciona φ (Equação (1)), excita o ponto de coordenadas ( x = m, y = 10.0 m ). A veocidade das ondas diatacionais, ou de compressão ( α = 2630 m/s ), a veocidade das 3 ondas de corte ( β = 1416 m/s ) e a massa voúmica ( ρ = 2250 Kg/m ) do meio eástico, permanecem constantes em todas as simuações apresentadas. O fuido considerado na 3 modeação do probema foi a água ( α = 1500 m/s e ρ =1000 Kg/m ). Os cácuos são reaizados no domínio da frequência ao ongo da gama de frequências ( Hz ), com um incremento de 0.25 Hz, o que determina uma duração tota das respostas no tempo de ( T = 4.0 s ). A frequência característica da fonte é 2.5 Hz, excitando pusos com a forma do puso de Ricker. O campo de ondas gerado é cacuado ao ongo de uma inha horizonta de receptores, iguamente espaçados de cinco em cinco metros, coocada um metro abaixo da interface sóido-fuido (Figura 1). A razão entre o comprimento de onda das ondas incidentes e o comprimento dos eementos de fronteira, foi mantida com um vaor mínimo de 12. Dada a pequena distância entre a inha horizonta de receptores e a superfície do fundo oceânico ( 1.0 m ), o comprimento dos eementos de fronteira que modeam esta fronteira na proximidade desta inha de receptores, é peo menos 0.3 vezes inferior à referida distância. Em quaquer dos casos, o vaor mínimo de eementos de fronteira considerado para modear as superfícies do fundo oceânico e da

6 374 SÍSMICA º Congresso Naciona de Sismoogia e Engenharia Sísmica incusão fuida, é respectivamente de 258 e 32. Neste artigo apenas são apresentados os resutados referentes a k = 0rad/m (soução bidimensiona). z Fuido X Sóido 90.0 Fuido 50.0 Linha de receptores Superfície pana Depressão Fonte (0.0; -25.0) Y Figura 1: Geometria do probema. A Figura 2 mostra a ampitude das respostas no domínio do tempo, e da frequência, para o campo tota de desocamentos horizontais, gravados nos receptores coocados ao ongo da superfície, para as duas geometrias da interface sóido-fuido anaisadas (superfície pana e com uma depressão). As respostas no tempo (Figura 2a) têm incuídas inhas a cheio indicando os imites da deformação na superfície do fundo do mar, de modo a permitir uma mehor interpretação dos resutados. As respostas em frequência (Figura 2b), aém destas inhas, possuem outras duas que marcam a posição dos pontos de infexão da deformação superficia. Ta como esperado, o primeiro conjunto de pusos captados nos receptores, corresponde às ondas P directamente incidentes, e às ondas P e S refectidas pea superfície (aqui designadas por PP e PS). Dada a pequena distância existente entre os receptores e a superfície, apenas é visíve um único puso. O segundo conjunto de pusos é atribuído às ondas de superfície (designadas por G Guided waves ) que se propagam ao ongo da interface sóido-fuido. Os diferentes pusos estão identificados nesta figura como P, PP, PS e G. As previsões dadas pea anáise de raios acústicos é consistente com os tempos de chegada obtidos para os diferentes pusos. A ampitude dos desocamentos gerados peas ondas de superfície, é maior do que os gerados peas ondas de corpo ( body waves ). Comparando as respostas quando a superfície pana do fundo oceânico sofre uma deformação, observa-se que as maiores diferenças se registam nos desocamentos horizontais para os pusos causados peas ondas de superfície. Quando a superfície pana sofre uma deformação (depressão), é visíve uma atenuação da resposta sísmica nos receptores centrais. Esta atenuação seria maior se a deformação da superfície do fundo oceânico não fosse tão suave, ou se a frequência de excitação fosse mais ata. A referida atenuação da resposta é também visíve na resposta em frequência (Figura 2b), onde, aém desta atenuação nos receptores centrais, é também possíve observar uma igeira ampificação da resposta nos receptores próximos da deformação, do ado da fonte.

7 P. F. A. SANTOS, A. J. B. TADEU 375 Superfície pana Depressão G P+PP+PS a) b) Figura 2: Ampitude dos desocamentos horizontais captados ao ongo da inha horizonta de receptores, na ausência de quaquer incusão, para duas geometrias da superfície do fundo oceânico ( k z = 0rad / m ): a) Resposta no domínio do tempo; b) Resposta no domínio da frequência. As respostas sísmicas no domínio do tempo, e da frequência, correspondentes aos desocamentos horizontais, gravadas na inha horizonta de receptores, quando uma incusão circuar ciíndrica fuida com 50.0m de raio, é coocada abaixo da superfície do fundo oceânico modeada, estão representadas na Figura 3. O eixo da incusão é paraeo à superfície do fundo oceânico e tem coordenadas x = 0.0m e y = 90.0m, ta como iustrado na Figura 1. A anáise dos resutados no domínio do tempo revea que existe um importante puso adiciona, originado pea interacção entre as ondas de superfície que percorrem o fundo oceânico e a incusão preenchida com água. A ampificação e atenuação da resposta sísmica é bem visíve. Ta como esperado, as maiores ampificações estão ocaizadas nos receptores ocaizados do ado da fonte, enquanto que a atenuação, ou sombra, se regista do ado oposto. Quando o fundo oceânico possui uma depressão, este comportamento intensifica-se, originado uma atenuação ainda maior nos receptores centrais, e aumentado a ampificação da resposta nos receptores situados na parte côncava da deformação, do ado da fonte. As respostas em frequência (Figura 3b) exibem características semehantes, isto é, atenuação da resposta do ado oposto à posição da fonte, uma atenuação ainda maior nos receptores centrais, e ampificação do sina captado do ado da fonte, maior na zona côncava da deformação.

8 376 SÍSMICA º Congresso Naciona de Sismoogia e Engenharia Sísmica Superfície pana Depressão a) b) Figura 3: Ampitude dos desocamentos horizontais captados ao ongo da inha horizonta de receptores, na presença de uma incusão fuida, para duas geometrias da superfície do fundo oceânico ( k z = 0rad / m ): a) Resposta no domínio do tempo; b) Resposta no domínio da frequência. 6. CONCLUSÕES O Método dos Eementos de Fronteira foi utiizado para estudar a propagação de ondas sísmicas ao ongo da superfície de um fundo oceânico, para diferentes geometrias da referida superfície e na presença, ou não, de incusões fuidas situadas abaixo do referido fundo oceânico. Verificou-se que a deformação da superfície do fundo oceânico provoca ampificações e atenuações da resposta, respectivamente na parte côncava e convexa das referidas deformações da interface sóido-fuido. A existência de uma incusão, preenchida com água, por baixo da superfície do fundo do mar, provoca aterações importantes na resposta sísmica, originando pusos adicionais e uma, ainda maior, ampificação/atenuação da resposta. Aém do estudo da propagação das ondas sísmicas ao ongo da superfície, é possíve com este modeo obter, e estudar, a resposta sísmica em profundidade. Este modeo permite ainda estudar a importância da interacção sóido-fuido na resposta sísmica ao ongo da sua interface, substituindo a água por ar, sendo possíve cacuar os vaores de pressão nos receptores situados no meio fuido.

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