II. MODELAGEM MATEMÁTICA

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1 INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA DIVISÃO DE ENGENHARIA MECÂNICA MP-7: CONTROLE E NAVEGAÇÃO DE MULTICÓPTEROS II. MODELAGEM MATEMÁTICA Prof. Davi Antônio dos Santos (davists@ita.br) Departamento de Mecatrônica Março/017 São José dos Campos

2 Sumário II. MODELAGEM MATEMÁTICA II.1. Rotor II.. Forças e Torques Externos II..1. Definições Preiminares e Notação II... Propusão II..3. Gravidade II..4. Perturbações...

3 3 II.1. Rotor Propusor (héice): A rotação de um propusor no ar dá origem a duas forças aerodinâmicas, que são reevantes para a anáise que segue: Sustentação: paraea ao eixo de rotação. Arrasto: perpendicuar ao eixo de rotação. L, Sustentação D, Arrasto

4 4 II.1. Rotor A sustentação resuta no que chamaremos de força do rotor, f, cuja reação com a veocidade anguar do rotor, ω, é dada por [1]: f = k f ω (.1) onde k f é um coeficiente que depende da densidade do ar, da geometria do propusor, do ânguo de ataque e do regime de escoamento de ar. f ω

5 5 II.1. Rotor O arrasto resuta num torque sobre a estrutura do veícuo, ao qua chamaremos de torque de reação, τ. Sua reação com a veocidade anguar do rotor, ω, é dada por [1]: τ = k τ ω (.) onde k τ é um coeficiente que depende da densidade do ar, da geometria do propusor, do ânguo de ataque e do regime de escoamento de ar. ω τ CM, Centro de Massa do Veícuo

6 6 II.1. Rotor O coeficiente de força k f será a princípio considerado constante e pode ser estimado peo seguinte experimento: estroboscópio ω f k f ESC Bateria f ω baança/céua de carga Arduino pot.

7 7 II.1. Rotor O coeficiente de torque k τ será a princípio considerado constante e pode ser estimado peo seguinte experimento: estroboscópio ω τ k τ ESC Bateria τ ω baança/céua de carga Arduino pot.

8 8 II.1. Rotor Motor Brushess e Controador de Veocidade: Motor Brushess: Trata-se de um motor trifásico em que: As bobinas são montadas no estator; Ímãs permanentes são montados no rotor; Para se movimentar, duas bobinas são energizadas por vez; Para identificar o mehor momento de comutar, às vezes, são usados sensores ha. B A N S C comum sensor ha

9 N MP-7: Controe e Navegação de Muticópteros 9 II.1. Rotor O motor brushess se move em passos, conforme iustrado pea figura: A A A A A A -C -B -C -B -C -B -C -B -C -B -C -B B -A C B -A S C B -A C B -A C B -A C B passo 1 passo passo 3 passo 4 passo 5 passo 6 A B C +V 0 -V +V 0 -V +V 0 -V A passo passo passo C

10 10 II.1. Rotor Controador de Veocidade: A figura abaixo mostra um esquema simpificado de um controador de veocidade para motor brushess: Controador de Veocidade Tensão CC reguador A ω comando de veocidade µcontroador ponte trifásica B C M ω veocidade sensores ha

11 11 II.1. Rotor Modeo: A reação entre o comando de veocidade anguar ω e a veocidade anguar ω será modeada como um sistema de primeira ordem []. Matematicamente, ω s ω s = k m τ m s + 1 (.3) onde ω s = L ω t e ω s = L ω t. Os parâmetros k m e τ m podem ser estimados experimentamente.

12 1 II.. Forças e Torques Externos II..1. Definições Preiminares e Notação Denote CM: Centro de Massa CR: Centro de Rotação I n : Matriz identidade de ordem n 1 n = 1,1,, 1 T n vezes

13 13 II.. Forças e Torques Externos Serão adotados, no decorrer da discipina, os seguintes sistemas de coordenadas Cartesianas (SCC): SCC do corpo: S B SCC da Terra: S G SCC de referência: S R x B, y B, zb, fixo à estrutura e centrado em CM. x G, y G, z G, fixo à Terra e centrado em O. x R, y R, zr, paraeo a S G e centrado em CM. O x G z G y G CR=CM z R x R z B y B x B y R

14 14 II.. Forças e Torques Externos Os vetores geométricos e agébricos serão denotados segundo o exempo: vetor geométrico/físico vetor agébrico F representando F em S B F B F x F y F z

15 15 II.. Forças e Torques Externos II... Propusão Quadricóptero em +: Probema 1: Cácuo de força e torque resutantes de propusão Seja o quadricóptero com configuração em + iustrado na figura abaixo. Sejam F c e T c, respectivamente, a força e o torque resutantes de f i e τ i, i = 1,, 4, sobre o veícuo. Descreva F c e T c em S B. f 3,τ f 3 F c 4,τ 4 T c z B f,τ y B CM xb f 1,τ 1

16 16 II.. Forças e Torques Externos Resposta: F T B = Γ Q+ f (.4) onde f f 1 f f 3 f 4 T k k τ /k f Q 1 0 k 1 0 k 1 0 k 1 0 k

17 17 II.. Forças e Torques Externos Probema : Cácuo de comandos de força para os rotores Considere ainda o quadricóptero com configuração em +. Sejam F um comando para a magnitude de F c e T B um comando para a representação de T c em S B. Determine os comandos f i, i = 1,, 4, para as forças dos rotores. f 3,τ f 3 F c 4,τ 4 T c z B f,τ y B CM xb f 1,τ 1

18 18 II.. Forças e Torques Externos Resposta: f = F Ξ Q+ T B (.5) onde Q f f 1 f f 3 f 4 0 1/ 0 1/ 1/ 0 1/ 0 T 1/ 4k 1/ 4k 1/ 4k 1/ 4k

19 19 II.. Forças e Torques Externos Quadricóptero em X: Probema 3: Cácuo de força e torque resutantes de propusão Seja o quadricóptero com configuração em X iustrado na figura abaixo. Sejam F c e T c, respectivamente, a força e o torque resutantes de f i e τ i, i = 1,, 4, sobre o veícuo. Descreva F c e T c em S B. f 4,τ 4 f 3,τ 3 F c y B z B 45 o f,τ T c CM x B f 1,τ 1

20 II.. Forças e Torques Externos Resposta: F T B = Γ QX f onde 0 MP-7: Controe e Navegação de Muticópteros k k k k QX (.6)

21 1 II.. Forças e Torques Externos Probema 4: Cácuo de comandos de força para os rotores Considere ainda o quadricóptero com configuração em X. Sejam F um comando para a magnitude de F c e T B um comando para a representação de T c em S B. Determine os comandos f i, i = 1,, 4, para as forças dos rotores. f 3,τ 3 F c f 4,τ 4 y B z B 45 o f,τ T c CM x B f 1,τ 1

22 II.. Forças e Torques Externos Resposta: f = F Ξ QX T B onde MP-7: Controe e Navegação de Muticópteros k k k k QX (.7)

23 3 II.. Forças e Torques Externos Probema 5: Cácuo de comandos de veocidade Considere agora cada rotor separadamente. Sejam f i, i = 1,, 4, os comandos de força para os rotores. Obtenha expressões para o cácuo dos correspondentes comandos de veocidade anguar ω i, i = 1,, 4. Resposta: ω i = sat 0,ωmax 1 k f f i, i = 1,, 4. (.8)

24 4 II.. Forças e Torques Externos Hexacóptero: Probema 6: Cácuo de força e torque resutantes de propusão Seja o hexacóptero iustrado na figura abaixo. Sejam F c e T c, respectivamente, a força e o torque resutantes de f i e τ i, i = 1,, 6, sobre o veícuo. Descreva F c e T c em S B. f 5,τ 5 f 6,τ 6 F c T c y B x B f 1,τ 1 f 4,τ 4 CM f,τ f 3,τ 3

25 5 II.. Forças e Torques Externos Resposta: F T B = Γ H f (.9) onde

26 6 II.. Forças e Torques Externos Probema 7: Cácuo de comandos de força para os rotores Considere ainda o hexacóptero. Sejam F um comando para a magnitude de F c e T B um comando para a representação de T c em S B. Determine os comandos f i, i = 1,, 6, para as forças dos rotores. f 5,τ 5 f 6,τ 6 F c T c y B x B f 1,τ 1 f 4,τ 4 CM f,τ f 3,τ 3

27 7 II.. Forças e Torques Externos Resposta: f = F Ξ H T B (.10) onde

28 8 II.. Forças e Torques Externos II..3. Gravidade A figura abaixo iustra um muticóptero bem como a força peso F g que age em seu centro de massa (CM). Considere que o veícuo tenha massa m. CM F g O z G y G vertica oca x G

29 9 II.. Forças e Torques Externos Considerando que, no espaço de voo do muticóptero, a aceeração da gravidade seja uniforme, tenha móduo g e seja ainhada com a vertica oca, a representação de F g em S G é dada por F G g = 0 0 mg (.11)

30 30 II.. Forças e Torques Externos II..4. Perturbações Causas: 1. Desainhamento do CM com reação a CR: Considere que o CM esteja desocado de CR e descreva esse desocamento peo vetor ε. O correspondente torque de perturbação em reação a CR é dado por ε F g. CM CR ε F g

31 31 II.. Forças e Torques Externos. Vento: A ação do vento sobre o veícuo resuta num torque T vento e numa força F vento sobre o veícuo. T vento F vento

32 3 II.. Forças e Torques Externos 3. Outros: Chuva; Aerodinâmica; Contato físico (com pessoas, móveis, paredes, etc.).

33 33 II.. Forças e Torques Externos Modeo: Denote por F p a força resutante de perturbação e por T p o torque resutante de perturbação sobre o muticóptero. Adotaremos os seguintes modeos Gauss-Markov para as representações de F p e T p em S B : p p F B t + βf F B t = wf t T B p t + βt T B p t = wt t (.1) onde β F e β T são parâmetros constantes, w F e w T são ruídos brancos, Gaussianos, de médias nuas e covariâncias α F I 3 e α T I 3, respectivamente; α F e α T são parâmetros constantes.

34 34 Referências [1] MAHONY, R.; KUMAR, V.; CORKE, P. Mutirotor Aeria Vehice Modeing, Estimation, and Contro of Quadrotor. IEEE Robotics & Automation Magazine, 01. [] VALAVANIS, K. (ED). Advances in Unmanned Aeria Vehices State of the Art and the Road to Autonomy. Springer, 007. Capítuo 6.

35 35 Obrigado pea presença e atenção!