DINÂMICA DE ESTRUTURAS E AEROELASTICIDADE

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1 DINÂMICA DE ESTRUTURAS E AEROELASTICIDADE Prof. GIL Aeroelasticidade - Introdução 1

2 Um Modelo Dinâmico Diferente... Equações de movimento de um sistema dinâmico: {,,, } [ ]{ (,,, )} [ ] ( ) M u x y z t + K u x y z t = { ( )} s s s s { L ( u ( x,,, ), (,,, ))} s ys zs t u xs ys zs t onde u x s, y s, z s,t é um vetor de deslocamentos físicos estruturais. M e K matrizes de massa e rigidez, respectivamente e L representa um carregamento de natureza aerodinâmica. As matrizes de massa e rigidez são usualmente obtidas de modelos de elementos finitos da estrutura sob análise. Note que as cargas aplicadas são de natureza aerodinâmica, e neste caso particular dependem dos graus de liberdade da estrutura. s s 2

3 Carregamento Aerodinâmico O carregamento aerodinâmico pode ser subdividido em uma parcela devido a forças externas (L e (t)) e outra incremental, dependente dos deslocamento estruturais (L a (u(t), )) As cargas externas podem ser devido a rajadas, ação de sistemas de controle, por exemplo. São consideradas em estudos de resposta aeroelástica. As cargas incrementais, dependentes dos deformações da estrutura, são obtidas de uma teoria aerodinâmica adequada. A modelagem destas cargas em conjunto coma modelagem da estrutura definem um modelo que ocorre a interação fluidoestrutura representada na equação: [ ] ( ) { } a, e ( ) { } [ ]{ ( )} ( ( ) ( )) { } M u t + K u t L u t u t = L t 3

4 Estabilidade do sistema A versão homogênea da equação do sistema dinâmico sobre análise é dada por: M u t + K u t L u t, u t = 0 [ ] ( ) { } a { } { } [ ]{ ( )} ( ( ) ( )) Pode-se estudar a estabilidade do sistema, para se identificar condições onde se pode encontrar uma instabilidade, por exemplo, variando um parâmetro de interesse do sistema, tal como a velocidade do escoamento que passa sobre a estrutura. Quando se estuda a estabilidade, é desejável transformar a formulação no domínio do tempo (acima), para o domínio da frequência (Laplace). Entretanto, para tal deveremos transformar as cargas aerodinâmicas para este novo domínio. 4

5 Cargas Aerodinâmicas A transformação das cargas aerodinâmicas do domínio do tempo para o domínio a frequência (Laplace) pode ser realizada aplicando a definição de transformada de Laplace Imagina-se que a força aerodinâmica é uma saída devido à estrada associada aos estados, o vetor u(t) e suas derivadas temporais. Ou seja um carregamento qualquer pode ser representado por uma integral de Duhamel onde a função de resposta indicial do sistema é a função de transferência aerodinâmica H, ou seja, uma integral de convolução resultando em: t 0 ( ( ) ( )) U L, ( ) { ( )} a u t u t = q H t τ u τ dτ b 5

6 Cargas Aerodinâmicas Complexas Cuja transformada de Laplace é: { ( ( ))} ( sb ) La u s = q H { u( s) } ( sb ) U onde H é a função de transferência aerodinâmica, transformada de Laplace de, com sendo a variável de Laplace adimensional. U ( U t ) H sb U b 6

7 Problema de Autovalor O problema de autovalor associado ao sistema aeroelástico no domínio da frequência fica: + ( ) = 0 [ ] [ ] ( sb ) { } 2 s M K q H u s U Esta é uma solução geral, onde pode-se pressupor carregamentos aerodinâmicos quaisquer, desde que se conheça a função de transferência aerodinâmica. Este sistema pode ser particularizado para movimentos harmônicos simples, uma vez que temos soluções matemáticas que considera movimentos associados aos corpos de natureza hamônica, por exemplo 7

8 Transformação Modal Normalmente modelos dinâmicos representado por elementos finitos implicam em um número muito elevado de graus de liberdade. O que implica também em matrizes de massa e rigidez de dimensões elevadas. A aproximação mais adequada para a redução da dimensão, ou da ordem do sistema é transformar o modelo dinâmico estrutural para uma base modal. Esta transformação é realizada através da solução do problema de autovalor associado,de onde se pode obter autovalores e autovetores. Estes autovetores são conhecidos também como modos naturais, ou modos de vibração, e representam um operador que transforma coordenadas de uma base física (ex. Sistema cartesiano) para uma base modal. 8

9 Representação modal Desta forma, a representação dos deslocamento físicos estruturais na base modal é feita através da seguinte transformação: { u ( t )} = [ Φ] q ( t ) O que representa fisicamente que um deslocamento físico pode ser escrito como uma combinação linear de coordenadas generalizadas, isto é, coordenadas que representam uma participação modal em um movimento qualquer da estrutura. A matriz [Φ] é conhecida como matriz modal e é composta por vetores modais {φ} I, que são os autovetores associados ao sistema dinâmico representado pelas equações de movimento sob análise. 9 { }

10 Modelo na Base Modal Aplicando a transformação modal ao sistema dinâmico temos: onde: ( sb ) { } U + ( ) = 0 2 s M K q Q q s T T M = [ Φ ] [ M ][ Φ ] K = [ Φ] [ K ][ Φ] ( sb ) [ ] ( ) T sb = Φ H [ Φ] U U Q { ( )} [ ] ( ) { } { ( )} [ ]{ ( )} u t = Φ q t u s = Φ q s 10

11 Movimentos Harmônicos Simples Assumindo Movimento Harmônico Simples: ( ) { ω } 2 ω M + K q Q ik q i = { u ( iω )} = [ Φ] q ( iω ) { } ( ) 0 Pode-se estudar o problema de estabilidade resolvendo o problema do autovalor associado a este sistema. 11

12 Uma Aplicação da Dinâmica das Estruturas Mas afinal, que tipo de sistema é este, onde temos uma interação fluido-estrutura de forma explícita, e que tem muita relação com problemas aeronáuticos, tal como o vôo atmosféricos de veículos aeroespaciais? Este tipo de modelo tem algum nome, é definido por algum conceito? Filme da NASA, apresentado por I. E. Garrick 12

13 Introdução a um novo conceito AEROELASTICIDADE é a ciência que estuda as consequências da interação de forças de inércia, elásticas e aerodinâmicas, agindo simultaneamente na estrutura de um corpo. Forças de inércia decorrentes das acelerações às quais a massa do corpo está sujeita; Forças elásticas decorrentes das reações elásticas do corpo que se desloca (deforma); Forças aerodinâmicas decorrentes do escoamento de fluido ao qual o corpo está sujeito; 13

14 Introdução AEROELASTICIDADE ESTÁTICA: Quando o movimento varia pouco com o tempo; sem aceleração e/ou velocidade significativas. Deflexão das asas de aeronaves em vôo em função do carregamento aerodinâmico. 14

15 Introdução Note que asas podem ser bastante flexíveis! (teste estrutural da asa do Boeing 747) 15

16 Introdução AEROELASTICIDADE DINÂMICA: Quando o movimento varia significativamente com o tempo; Acelerações e velocidades significativas o que implica no surgimento das componentes de inércia que interagem com as componentes elásticas e aerodinâmicas 16

17 Introdução Ou seja, uma aeronave é um corpo flexível, portanto pode ser deformada, sua aerodinâmica será alterada; Estas alterações aerodinâmicas em função das deformações da estrutura, caracterizam o comportamento aeroelástico; O sistema dinâmico que caracteriza o corpo e o meio que o envolve (escoamento de fluido), passa a ser chamado de sistema aeroelástico, e pode ser representado matematicamente através de modelos adequados, fundamentados nas teoria a serem apresentadas neste curso. Obs: O termo AEROELASTICIDADE foi formalmente introduzido por Roxbee Cox e Pugsley em

18 Aeroelasticidade A interação mútua entre as forças elásticas, de inércia e aerodinâmicas pode ser representada graficamente através de um diagrama conhecido como diagrama dos três anéis Obs: Collar em 1946, inicialmente definiu aeroelasticidade em termos de um triângulo de forças análogo ao diagrama ao lado. 18

19 Fenômenos Aeroelásticos Os fenômenos físicos associados aos dois tipos de comportamento de um sistema, estático ou dinâmico, podem ser subdivididos como: Associados a estabilidade do sistema aeroelástico: Divergência (estático) Flutter (dinâmico) Associados à resposta (aeroelástica) no tempo: Redistribuição de Cargas (estático) reversão de comandos (estático) cargas de rajadas (dinâmico) Buffeting (dinâmico) Cada um dos fenômenos físicos serão apresentados ao longo do curso, bem como a forma de modela-los matematicamente. 19

20 Divergência Conforme apresentou-se anteriormente, o aumento de sustentação ocorre devido ao aumento do ângulo de ataque. Se a pressão dinâmica do escoamento for suficientemente alta, este processo realimentado pode levar ao colapso da estrutura devido a divergência do movimento da asa; Caso contrário, a asa permanece estaticamente deformada. 20

21 Flutter Flutter é uma auto-excitação de dois ou mais modos de vibração de um sistema, devidamente alterada e realimentada pelo escoamento de um fluido. Pode vir a causar oscilações de amplitude que crescem exponencialmente levando a estrutura a uma falha dinâmica. 21

22 Redistribuição de Cargas Quando a asa é flexível, o carregamento aerodinâmico ao longo da envergadura pode ser alterado devido a deformação da asa em ângulo de ataque

23 Reversão (eficiência) de comandos Pode causar ineficiência, perda ou até a reversão de uma ação de comando de uma superfície de controle Reversão do Aileron 23

24 Cargas de rajada Cargas dinâmicas: Devido rajadas de vento, pouso, disparo de armamentos, alijamento, choques e etc.; O aumento do carregamento aerodinâmico devido uma rajada de vento ocorre devido ao aumento do ângulo de ataque instantâneo, podendo elevar o fator de carga a limites além dos autorizados para a aeronave; Modela-se o sistema aeroelástico considerando a presença da rajada também para o projeto de sistemas de alívio de cargas desta natureza. 24

25 Buffeting Fenômeno típico de aeronaves de alta manobrabilidade; Vibrações causadas pela esteira gerada por outras partes da aeronave, por exemplo interferência da esteira da asa na empenagem; Fenômeno altamente não linear, difícil de modelar matematicamente, sendo necessária investigação em túnel de vento 25

26 Bibliografia e referências Textos básicos do curso: Bismarck-Nasr, M. N. Structural Dynamics in Aeronautical Engineering. Reston, VA: AIAA, (AIAA Education Series). Bisplinghoff, R.L. Ashley, H. and Halfman, R. Aeroelasticity. Addison Wesley, Dowell, E. H. et al. A Modern Course in Aeroelasticity. 4. ed. Kluwer Academic, Fung, Y. C. An Introduction to the Theory of Aeroelasticity, Wiley, 1955 Mais um conjunto de referências a serem passadas durante o curso, de acordo com o assunto. 26