Equações Constitutivas para Fluidos Newtonianos - Eqs. de Navier- Stokes (cont.):

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1 Da Eq. 13: UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Equações Constitutivas para Fluidos Newtonianos - Eqs. de Navier- Stokes (cont.): Para fluido Newtoniano, a tensão viscosa é proporcional à taxa de deformação angular); para coordenadas retangulares: Obs.: para placas planas, paralelas, infinitas, a superior movendo-se com velocidade constante: du τ yx µ dy Obs.: Num sistema hidrostático, ou seja, o fluido estando em descanso: σ σ σ xx yy zz sendo p a pressão termodinâmica p As eqs. acima constituem uma afirmação geral da Lei de Newton da Viscosidade, aplicadas para situações de escoamento complexas com o fluido escoando em todas as direções

2 Exemplo: Placas planas, paralelas, infinitas, a superior movendo-se com velocidade constante. A tensão cisalhante τ yx τ yx aplicada ao elemento de fluido é dada por: Lim δa 0 y δf δ A x y df da x y Taxa de deformação δα Lim δt 0 δt dα dt Problema: como expressar a taxa de deformação em termos facilmente mensuráveis? δl δuδt ou δl δyδα (para ângulos pequenos) Igualando as expressões acima e aplicando o limite em ambos os lados, tem-se: dα dt Assim, o elemento de fluido da fig. Acima, quando sujeito à tensão cisalhante,, experimenta uma taxa de deformação dada por du/dy. τ yx du dy

3 Fluidos nos quais a tensão cisalhante é diretamente proporcional à taxa de deformação são chamados fluidos Newtonianos. Assim: τ yx du dy A cte. de proporcionalidade é a viscosidade dinâmica, µ. Lei de Newton da viscosidade: du (escoamento τ yx µ dy unidimensional) A viscosidade dinâmica pode ser imaginada como sendo a aderência interna de um fluido; é uma das propriedades que influência a potência necessária para mover um aerofólio através da atmosfera, é responsável pelas perdas de energia associadas ao transporte de fluidos em dutos, canais e tubulações, e tem um papel primário na geração de turbulência. Obs.: note que, τ τ τ xy xx yz τ τ τ yx yy zyy µ τ τ zz xz u y p τ zx 0 Quadro negro

4 Da Eq. 19: UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Substituindo as expressões para as tensões na equação diferencial da quantidade de movimento, temos: Estas são as equações gerais diferenciais da quantidade de movimento para fluido Newtoniano ou Equações de Navier- Stokes com densidade e viscosidade variáveis Estas equações, juntamente com a equação da continuidade, a equação de estado, a equação da energia e conhecendo-se a lei empírica da viscosidade e as condições de contorno e condições iniciais, determinam completamente a pressão, densidade, temperatura, viscosidade e componentes da velocidade em um escoamento de um fluido (7 eqs. para 7 incógnitas: u, v, w, p, ρ, T, µ).

5 Escoamento incompressível e viscosidade dinâmica constante As equações de Navier-Stokes (N-S) gerais podem ser simplificadas quando ρ cte. ( V 0 ) e µ cte. (variação da viscosidade desprezível). Nestas condições as equações de N-S ficam sendo: (Obs.: juntamente com a continuidade são 4 eqs. para 4 incógnitas: u, v, w e p): Em notação vetorial, as equações de Navier-Stokes simplificadas assumem a seguinte forma: DV ρ Dt de - massa aceleração volume por vezes unidade - termos convectivos ou de transporte de q.d.m. 2 ρg p + µ V - força gravitacional por - volume unidade de força de campo - força de pressão por - volume unidade de força de superfície - força viscosa por unidade de volume - força de superfície - termo de difusão de q.d.m. Para escoamentos invíscidos (µ 0), chega-se à famosa equação de Euler, derivada em 1755: DV ρ Dt ρg p (quadro negro)

6 Da * UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Análise Dimensional e Semelhança As equações diferenciais parciais da continuidade e da quantidade de movimento serão discutidas do ponto de vista da análise dimensional. O desenvolvimento a seguir é limitado a sistemas de densidade (ρ) constante e viscosidade (µ) constante. Tomemos, por exemplo, o caso de escoamento em tubos. O comprimento característico pode ser o diâmetro D, e V pode ser a velocidade média do escoamento. A seguir temos algumas variáveis adimensionais convenientes e operadores adimensionais: (1)

7 Relembrando que as equações da continuidade e quantidade de movimento para fluidos Newtonianos de densidade e viscosidade constantes são, respectivamente: (2) (3) (Obs.: termos em negrito são vetores) Nos podemos reescrever essas duas equações em termos das variáveis adimensionais apresentadas no slide anterior fazendo v v* V, (p - p o ) p* ρ V 2, etc. (4) (5)

8 Multiplicando a Eq. (4) por D / V e a Eq. (5) por D / ρ V 2, temos: (6) (7) Estas são, respectivamente, as equações da conservação da massa e da quantidade de movimento adimensionais. Note que os fatores de escala, ou seja, as variáveis descrevendo a dimensão e velocidade global do sistema e suas propriedades físicas, estão concentrados em apenas dois grupos adimensionais:

9 Semelhança Dinâmica 1. Se em dois sistemas diferentes os fatores de escala são iguais, por exemplo os números de Froude e Reynolds, então ambos sistemas são descritos por equações diferenciais adimensionais idênticas. 2. Se, em adição, as condições iniciais e condições de contorno são as mesmas (o que é possível apenas se os dois sistemas diferentes são geometricamente semelhantes), então os dois sistemas são idênticos matematicamente; ou seja, v*(x*, y*, z*, t*) e p*(x*, y*, z*, t*) são os mesmos em ambos sistemas diferentes. 3. Tais sistemas são, então, dinamicamente semelhantes Resumindo: sistemas diferentes são dinamicamente semelhantes quando são geometricamente semelhantes, possuem as mesmas condições de contorno e iniciais e possuem os mesmos números adimensionais com valores idênticos.

10 Parâmetros Adimensionais comuns

11 O significado físico de cada parâmetro pode ser determinado observando que cada número adimensional pode ser escrito como a relação entre duas forças. Observe que as forças são:

12 Assim, observamos que:

13 A tabela a seguir resume esta seção: Parâmetros adimensionais comuns na mecânica dos Fluidos pgm1 (16:30) Quadro negro