ESTADOS DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO

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1 1 Estado de Tensão Num Ponto Estado Geral ou Triaxial de Tensão Num Ponto y dz τ zy τ zy σ y dx τ xy τ xy dy Nas facetas paralelas escondidas, temos as mesmas componentes, de modo que: F x = F y = F z =0 σ y τ zx τ xz σ x x z Figura 01 M x =0, M y =0, M z =0, yz. dx.dz. dy= zy.dx. dy.dz=0 yz = zy xz = zx xy = yx Em dois planos ortogonais entre si, as componentes das tensões de cisalhamento, perpendiculares à aresta comum, são iguais e formam binários de sentidos opostos. Sejam as componentes de tensão num plano qualquer, inclinado em relação às direções x, y e z.

2 y da z da x da: área do triângulo inclinado x da x Figura 0 z Componentes de tensão num plano qualquer: y ρ y ρ x ρ z x z Figura 03

3 3 Componentes da tensão nos planos a x, y e z: y σ z σ x τxz τ zx τ zy τ xy τ yx τ yz x σ y z Figura 04 Equilíbrio de Forças: F x =0, F y =0, F z =0, x.da= x. da x xy.da y zx.da z y. da= xy. da x y. da y zy. da z z. da= xz.da x yz.da y z. da z ou, matricialmente, ]=[ ] [ x da [ ] x yz zx dax y xy y zy da y z xz yz z da z Obs.: A matriz das componentes da tensão nos planos perpendiculares a x, y e z é simétrica (τ xy = τ yx, τ yz = τ zy, τ zx = τ xz )

4 4 Escrevendo da x = n x.da, da y = n y.da e da z = n z.da, onde n x, n y e n z são os cossenos diretores da normal n ao plano inclinado, relativos às direções x, y e z, respectivamente, temos: ]=[ [ x x yz zx y xy y zy z xz yz z O estado de tensão num ponto fica determinado pelas seis ] [nx n y n z] componentes σ x, σ y, σ z, τ xy = τ yx, τ yz = τ zy, τ zx = τ xz, medidas em três planos ortogonais entre si, que contenham o ponto. As componentes em qualquer outro plano são obtidas a partir dessas seis componentes. A tensão resultante no plano inclinado é = x y z e pode ser decomposta numa componente normal σ e outra tangencial τ, tais que com = x.n x y. n y z. n z ou = = x. n x y.n y z.n z. xy. n x.n y. yz.n y.n z. zx.n z.n x Considerando que n x, n y e n z são as variáveis em questão (cada conjunto n x, n y, n z define um plano que contem o ponto), a expressão acima é a equação de uma superfície central de a ordem. Assim sendo, girando-se o sistema de coordenadas (n x, n y, n z ), pode-se obter uma equação onde são nulos os coeficientes dos produtos de coordenadas. Se assim o fizermos, teremos = 1. n 1. n 3. n 3 e 1 = 3 = 31 =0,

5 5 onde as novas direções 1, e 3 são chamadas de direções principais. Os planos normais a estas direções são os chamados planos principais e as tensões normais σ 1, σ e σ 3 são as tensões principais. Designa-se σ 1 σ σ 3. σ σ 3 σ 1 Figura 05 Tomando como referência as direções principais, as componentes da tensão num plano qualquer seriam: [ 1 3] = 0 0 [ ] [ ou n1 n 3] n { 1= 1. } n1 =. n 3 = 3. n 3 Como n x n y n z =n 1 n n 3 =1, temos: 1 3 =1 1 3 Interpretando as componentes ρ 1, ρ e ρ 3 como um conjunto de variáveis, a expressão acima representa um elipsóide cujos semi-eixos são as tensões principais σ 1, σ e σ 3. É o chamado elipsóide das tensões.

6 6 σ ρ σ 3 σ 1 1 = Figura 06 Daí se conclui que σ 1 = σ máx e que σ 3 = σ min (não há coordenada da superfície do elipsóide maior do que σ 1 nem menor do que σ 3 ). Determinação das Tensões Principais: Suponhamos que o plano inclinado é um plano principal. y n ρ = σ (τ = 0) x z Figura 07 Assim, x =. n x, y =.n y, z =. n z e n x n. [ ]=[ y n z ] [ x yx yz nx xy y xy n y xz yz z ] ou n z

7 7 [ x yx yz nx xy y xy n xz yz z ] [ y n z]=[ 0 0 0] (sitema homogêneo) A solução trivial n x = n y = n z = 0 contraria a hipótese n x + n y + n z = 1. Para que um sistema homogêneo tenha solução não trivial é necessário que o determinante da matriz do sistema seja nulo, isto é, x yx yz xy y xy xz yz z =0 Desenvolvendo este determinante, temos a equação do terceiro grau: onde 3 I 1. I. I 3 =0 I 1 = x y z I = x. y y, z z. x xy yz zx I 3 = x yx yz xy y xy xz yz z As raízes desta equação são: 1 = I 1 3 cos 3 Q onde, R =arc cos Q 3 1 = I 1 3 cos Q Q= I 1 3. I 9 1 = I 1 3 cos Q R= 9. I 1. I 7. I 3. I

8 8 Como os valores das tensões principais σ 1, σ e σ 3 independem das direções x, y e z previamente estabelecidas, os coeficientes I 1, I e I 3 também independem destas direções e, por isto, são chamados de Invariantes de Tensão ou Invariantes do Estado de Tensão. Casos Particulares: a) Se I 3 = 0, uma das soluções é nula Estado Plano ou Biaxial de Tensão b) Se I = I 3 = 0, duas soluções são nulas Estado Simples ou Uniaxial de Tensão Para determinarmos os planos principais basta substituir cada um dos valores de σ (σ 1, σ, σ 3 ) no sistema homogêneo e determinar, em cada caso, os cossenos diretores da normal ao plano (n x, n y e n z ). Porém, como as equações de um sistema homogêneo são linearmente dependentes, teremos, em cada caso, infinitas soluções do tipo [n x]= [nx0 n y n y0 n z0] n z onde β é um escalar diferente de zero e n xo, n yo e n zo valores numéricos conhecidos, obtidos na resolução do sistema. A solução única, para cada plano principal, é obtida da condição n x n y n z =1, isto é, [ [n x n 1 x0 n ]= y n n y0 n z0] onde n= n x0 n z n y0 n z0.

9 9 Círculos de Mohr: Em muitos casos práticos, um dos planos principais é reconhecido por simples observação (casos das solicitações simples, por exemplo). Nestes casos, a determinação dos demais planos principais e das tensões principais se simplifica. Seja determinar as componentes de tensão normal σ e de cisalhamento τ num plano qualquer paralelo a uma das três direções principais (por exemplo, à direção 3). dz σ σ n σ 1 θ dy σ 3 θ dx σ 1 ds. cos θ σ ds t ds. sen θ Figura 08 F n =0, ds= 1 ds cos cos ds sen sen = 1 cos sen F t =0, ds = 1 ds cos sen sen cos = 1 sen cos A primeira expressão pode ser escrita na forma, lembrando que cos 1 cos = e sen = 1 cos,

10 10 = 1 1 cos 1 cos = 1 1 cos A segunda expressão pode ser escrita na forma = 1 sen Estas expressões fornecem os valores das componentes de tensão normal e de cisalhamento nos planos paralelos ao eixo principal 3. De maneira análoga, podemos expressar as componentes de tensão nos planos paralelos aos demais eixos principais. As expressões acima são, na verdade, as equações paramétricas de uma circunferência x=a r cos y=b r sen onde x= é a tensão normal y= é a tensão de cisalhamento a, b = 1,0 são as coordenadas do centro do círculo r= 1 3 = é o raio do círculo é o parâmetro (θ é o ângulo entre o plano principal 1 e o plano qualquer) Elevando ao quadrado cada membro de cada equação e somando membro a membro, obtemos: [ 1 ] =[ 1 ] ou x a y b =r

11 11 que é a equação normal da circunferência. τ σ (σ,τ) r θ τ r= 1 σ 1 σ 1 Figura 09 Cada ponto da circunferência representa um plano inclinado de um ângulo θ em relação ao plano principal 1, onde atuam componentes de tensão σ e τ iguais às suas coordenadas. Analogamente, teremos mais dois círculos semelhantes a este: um, cuja circunferência representa os planos paralelos à direção principal e outro, cuja circunferência representa os planos paralelos à direção principal 1. τ τ máx θ = 90 σ σ 3 σ Figura 10 A estes círculos dá-se o nome de Círculos de Mohr. σ 1

12 1 Pode-se demonstrar que os planos de inclinação arbitrária em relação aos eixos principais são representados pelos pontos da região hachurada da figura acima. Assim sendo, a máxima tensão de cisalhamento num ponto qualquer de um corpo solicitado vale máx = 1 3 = máx min e age num plano paralelo à direção principal (direção da tensão principal intermediária σ ), inclinado de 45 o em relação aos planos principais 1 e 3 (respectivamente, os planos onde agem as máxima e mínima tensões normais σ 1 e σ 3 ). Como podemos observar, pontos diametralmente opostos da circunferência, representam planos ortogonais entre si. Assim, podemos construir o Círculo de Mohr a partir das componentes de tensão em dois planos quaisquer ortogonais entre si, paralelos a uma direção principal. y σ y τ yx τ xy z σ x x σ z Figura 11 Adotando-se a seguinte convenção de sinais para as tensões de cisalhamento,

13 13 τ τ τ τ ( + ) ( - ) o Círculo de Mohr fica τ σ I σ x σ y σ II θ τ yx τ xy σ xy = yx (σ x + σ y )/ (σ x - σ y )/ FIGURA 1 Centro do Círculo: Raio do Círculo: 0 x y, r= x y xy As tensões principais são, portanto, σ z, σ I e σ II, onde I, II = x y ± x y xy

14 14 Os planos principais são o plano perpendicular ao eixo z e os planos paralelos a z dados por: tg P = xy x y ou tg P = xy x y Casos Particulares: a) Estado Plano de Tensão: τ τ máx = σ 1 / σ 3 = 0 θ = 90 σ σ σ 1 b) Estado Simples de Tensão: Figura 13 τ τ máx = σ 1 / σ = σ 3 = 0 θ = 90 σ σ 1 Figura 14

15 15 c) Estado Triaxial Uniforme de Tensão: τ σ σ 1 = σ = σ 3 Figura 15 Estado de Deformação Num Ponto y z v w A u Figura 16 A x AA : deslocamento do ponto genérico A (u,v,w): componentes de vetor-deslocamento AA segundo os eixos x, y e z, respectivamente As deformações lineares do ponto segundo as direções x, y e z são, respectivamente: ε x = u / x, ε y = v / y e ε z = w / z. As deformações angulares segundo os planos xy, yz e zx são, respectivamente: γ xy = u / y + v / x, γ yz = v / z + w / y e γ zx = w / x + u / z.

16 16 Estas componentes da deformação (deformações lineares e angulares) constituem o Estado de Deformação do Ponto, isto é, são suficientes para se determinar as componentes em quaisquer outras direções. De fato, seja determinar as componentes da deformação segundo as direções arbitrárias x, y e z, tais que n xx, n xy e n xz sejam os cossenos diretores de x em relação a x, y e z, respectivamente, n yx, n yy e n yz sejam os cossenos diretores de y em relação a x, y e z, respectivamente, n zx, n zy e n zz sejam os cossenos diretores de z em relação a x, y e z, respectivamente. Assim, podemos escrever x = n xx.x + n yx.y + n zx.z x = n xx.x + n xy.y + n xz.z y = n xy.x + n yy.y + n zy.z ou y = n yx.x + n yy.y + n yz.z z = n xz.x + n yz.y + n zz.z z = n zx.x + n zy.y + n zz.z As variações das componentes do deslocamento, u, v e w, são: du= u x dx u y dy u z dz dv= v x dx v y dy v z dz dw= w x dx w y dy w z dz [ du dv dw] =[ u x v x w x u y v y w y u z v z w z =[ u x v x dz] w x ] [ dx dy u y v y w y u z ] [ n v ] [nxx yx n zx dx ' ] n z xy n yy n zy dy ' w n xz n yz n zz dz ' z ou, matricialmente,

17 17 A variação da componente u, por exemplo, segundo o novo sistema de eixos é: du = n xx.du + n xy.dv + n xz.dw. Se substituirmos, nesta expressão, os valores de du, dv e dw acima indicados, poderemos deduzir que: x '= u ' x ' =n xx. x n xy. y n xz. z n xx. n xy. xy n xy.n xz. yz n xz.n xx. zx que é a equação de uma superfície central de a ordem análoga à obtida no estudo do estado de tensão. A comparação entre as duas equações estabelece as seguintes correspondências: ε x σ x, ε y σ y, ε z σ z, γ xy τ xy, γ yz τ yz, γ zx τ zx. Esta expressão dá o valor da deformação linear numa direção qualquer, enquanto a obtida anteriormente dava o valor da tensão normal também numa direção qualquer. Daí, podemos afirmar que todo o estudo feito para o estado de tensão é válido para o estado de deformação, se respeitarmos as correspondências acima. Desta forma, existem três direções ortogonais entre si, segundo as quais as deformações angulares são nulas. São as direções principais, designadas por 1, e 3. Os planos normais a estas direções são os chamados planos principais e as deformações lineares segundo estas direções, ε 1 ε ε 3, são as deformações principais. Tais deformações podem ser obtidas, a exemplo do estado de tensão, pelas soluções da equação ε 3 - I 1.ε + I.ε - I 3 = 0 onde, I 1 = x y z I = x. y y. z z. x xy 4 yz 4 zx 4

18 = x I 3 xy xz yx y yz yz xy z 18 são os Invariantes de Deformação ou Invariantes do Estado de Deformação. Casos Particulares: a) Se I 3 = 0, uma das soluções é nula Estado Plano ou Biaxial de Deformação b) Se I = I 3 = 0, duas soluções são nulas Estado Simples ou Uniaxial de Deformação Os planos principais são obtidos de maneira análoga à do estado de tensão. Os Círculos de Mohr também podem ser construídos analogamente aos do estado de tensão, lembrando que, no eixo horizontal marcamos as deformações lineares ε e no vertical, a metade das deformações angulares γ. γ/ γ máx / = (ε 1 ε 3 ) / 90 ε 3 ε Figura 17 ε 1

19 19 Supondo, por exemplo, a direção z principal, as deformações principais, normais aos planos paralelos à essa direção z, são I, II = x y ± x y xy Os planos principais são o plano perpendicular ao eixo z e os planos paralelos a z dados por: Lei de Hooke Generalizada xy tg P = x y Estado Geral ou Triaxial de Tensão Num Ponto y dz σ y dx τ yz τ yx τ zy τ xy dy z σz τ zx τ xz σ x x Figura 18 Sendo ε ij a deformação linear na direção i provocada pela tensão normal σ j, temos: a) deformações devidas a σ x : xx = x E, yx= zx = xx = x E

20 0 b) deformações devidas a σ y : yy = y E, xy= zy = yy = y E c) deformações devidas a σ z : zz = z E, xz= yz = zz = z E d) deformações devidas a γ xy, γ yz e γ zx : xy = xy G, xz= xz G e yz = yz G Superpondo os efeitos, temos: x = x E E y z y = y E E z x z = z E E x x xy = xy G, yz = yz G e zx = zx G onde G= E 1 As expressões acima representam a Lei de Hooke Generalizada, isto é, para o Estado Geral de Tensão. Observa-se que se os eixos principais do estado de tensões são exatamente os mesmos eixos principais para o estado de deformações. Se no plano xy tem-se um estado plano de tensões, as deformações neste memo plano se comportarão como em um estado plano de deformações porém a deformação principal z = E x x será, em geral, diferente de zero.

21 1 Nos planos principais, as deformações são: 1 = 1 E E 3 = E E = 3 E E 1 1 = 3 = 31 =0 A deformação volumétrica no ponto é dada por: v = V V =V f V i V i dz+ε z.dz dy dy+ε y.dy dx dz dx+ε x.dx onde V i =dx dy dz V f =dx dy dz 1 x 1 y 1 z v = 1 x 1 y 1 z 1=1 x y z x y x z y z x y z 1 Devido à hipótese das pequenas deformações, os produtos de deformações são valores desprezíveis na presença das deformações. Assim, a deformação volumétrica pode ser escrita, de forma aproximada, como v = x y z =I 1 = 1 3 ou, devido à Lei de Hooke, v = x y z 1 E

22 Observação:Para o Estado Triaxial Uniforme, σ x = σ y = σ z = σ, temos: x = y = z = 1 E e v = 3 1 = E K onde E K = 3 1 é o Módulo de Deformação Volumétrica do Material Se σ 0, então ε v 0 e se σ 0, então ε v 0. Isto implica em dizer que 1 - ν 0 ν 0,5. Este valor é um limite para o coeficiente de Poisson, isto é, não há material com este coeficiente maior do que 0,5. Medidas de deformações planas - rosetas As deformações lineares em um ponto podem ser medidas com o uso de extensômetros. O extensômetros elétricos propiciam medidas precisas das deformações através do registro das variações da corrente elétrica (quando o extensômetro se deforma, a resistência elétrica e, por conseguinte, a corrente elétrica são alteradas). A determinação do estado de tensão em um ponto (estado plano de tensões) pode ser feita a partir de medidas de deformações com a utilização de rosetas de deformação. Uma roseta de deformação é composta de um conjunto de extensômetros elétricos dispostos em um dado plano e segundo direções conhecidas. Colando-se uma roseta com 3 extensômetros sobre a superfície de um elemento estrutural faz-se a leitura das deformações lineares segundo estas 3 direções e calcula-se as componentes do estado de deformações.

23 3 θ c θ b θ a x =[ x xy xz xy y yz xz yz } ] {nx n y n z z Cálculo da deformação linear em uma dada direção θ a : como se trata de um problema de estado plano de tensões, xy = xz =0 e, portanto, xy = xz =0 assim, =[ xy x 0 }={ x cos a xy sen a xy sen y 0 a xy z] {cos a } cos a y sen a 0

24 4 a = x cos a xy sen a ; xy cos a y sen a ; 0 {cos a sen a 0 } a = x cos a xy sen a cos a xy cos a sen a y sen a a = x cos a y sen a xy sen a analogamente para os ângulos θ b e θ c, vem b = x cos b y sen b xy sen b c = x cos c y sen c xy sen c Tem-se, assim, um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, cuja solução oferece como resultado os valores das componentes de deformação no plano (ε x, ε y e γ xy ). Roseta 45 (são medidas as deformações ε 0, ε 45 e ε 90 ) fazendo o eixo x na direção 0 e o eixo y na direção 90,

25 5 x = 0 y = = x cos 45 y sen ² 45 xy sen = x 1 y 1 xy xy = 45 x y Roseta 60 (são medidas as deformações ε 0, ε 60 e ε 10 ) fazendo o eixo x na direção 0 x = 0 60 = x cos 60 y sen² 60 xy sen 60 = x 1 4 y 3 4 xy 3 10 = x cos 10 y sen² 10 xy sen 10 = x 1 4 y 3 4 xy 3 resolvendo o sistema de equações, vem:

26 6 xy = y = Conhecidas as componentes de deformação no plano xy e sabendo que se trata de um estado plano de tensões (σ z = 0, τ xz = τ yz = 0), pode-se determinar as componentes do estado tensional e a componente de deformação perpendicular ao plano xy (ε z ) utilizando a lei de Hooke generalizada. x = x E E y y = y E E x z = E x x xy = xy G multiplicando a expressão de ε x por ν e somendo-a com a expressão de ε y, x y = y E 1, y = E 1 y x e x = E 1 x y xy =G. xy substituindo os valores de σ x e de σ y na expressão de ε z, vem z = E E 1 ² x y 1 z = 1 x y

27 7 Energia Potencial de Deformação No Estado Simples de Tensão, temos: - Força elementar resultante na direção x: df x = x da= x dy dz - Deslocamento correspondente: d x = x dx σ x dy df df x dx dz σ x du x - Energia potencial acumulada no volume elementar: dδ x dδ du x = 1 df x d x = 1 x x dx. dy dz= x x dv No Estado Geral de Tensão (usando o PSE), temos: du = 1 x x y y z z xy xy yz yz zx zx dv ou, usando a Lei de Hooke Generalizada, du dv = 1 E [ x y z x y y z z x ] 1 G xy yz zx. Em termos das tensões principais, du dv = 1 E [ ]. Suponhamos cada estado de tensão como a superposição de dois outros estados tais que: σ σ ' σ σ 3 σ 1 = σ + σ 1 ' σ σ 3 ' (1) () e que a variação do volume do estado (1) seja a mesma do estado resultante, isto é, a variação do volume do estado () seja nula. Assim, a deformação volumétrica do estado () é

28 8 ε v = ε 1 + ε + ε 3 = 0 (σ 1 + σ + σ 3 ).(1 - ν) = 0 Como esta relação é válida para qualquer material (qualquer valor de ν), σ 1 + σ + σ 3 = 0 De acordo com a suposição acima, σ 1 = σ + σ 1 σ = σ + σ σ 3 = σ + σ 3 Somando as expressões acima membro a membro, temos: σ 1 + σ + σ 3 = 3 σ + σ 1 + σ + σ 3 = 3 σ Daí, concluímos que as componentes dos estados (1) e () são: = '= 1, '= e 3 '= 3., Como o estado (1) não realiza trabalho nos deslocamentos originados pelas forças do estado () e vice-versa, podemos afirmar: du dv = du v dv du d dv onde U v é a energia de variação da volume e U d é a energia de variação da forma (energia de distorção) Substituindo as componentes de tensão do estado (1) na expressão da energia de deformação, temos: du v dv =3 1 E du v dv = E ou

29 9 du v dv = x y z 1 6 E ou du v dv =I E onde I 1 é o primeiro invariante de tensão. du d dv = du dv du v dv, du d dv =[ ] 1 6 E ou Observação: du d dv =[ x y y z z x ] 1 6 E xy yz zx G Para o estado simples de tensão, σ 1 = σ, σ = σ 3 = 0 (tração) ou σ 1 = σ = 0, σ 3 = σ (compressão), temos du v dv = 1 6 E e du d dv = 1 3 E du dv = du v dv du d dv = E =. Para o estado de cisalhamento puro, σ 1 = - σ 3 = σ, σ = 0, temos: du v dv =0 e du d dv = 1 E. Para o estado triaxial uniforme, σ 1 = σ = σ 3 = σ, temos: du v dv =3 1 E e du d dv =0.