Transformações geométricas nos espaços bidimensional e tridimensional

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1 Transformações geométricas nos espaços bidimensional e tridimensional Prof. Dr. Carlos A. Nadal

2 CALIBRAÇÃO DA MESA DIGITALIZADORA pontos homólogos Mesa digitalizadora coordenadas x,y mapa coordenadas N,E afinidade

3 Primitivas básicas na transformação geométrica no plano

4 y Representação geral da afinidade no plano Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia Aula 06 x x x o y o x

5 Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia Aula 06 Novo sistema - oxy é ortogonal Antigo sistema - o x y não é ortogonal Forma Geral (afinidade) Fórmula para transfomação: x = k x. x. cos + k y. y. sen + x y = - k x. x. sen ( + ) + k y. y. cos ( + ) + x 2 parâmetros de escala: k x, k y. 1 parâmetro de rotação: 1 parâmetro de não ortogonalidade: 2 parâmetros de translação: x, y Não mantém a forma nem a escala (tamanho) na Transformação usada na calibração de mesas digitalizadoras

6 Transformação ortogonal (de corpo rígido) ambos os sistemas são ortogonais x = k x. x. cos + k y. y. sen + x y = - k x. x. sen + k y. y. cos + y As escalas variam de eixo para eixo tem-se 5 parâmetros. Não mantém o tamanho, nem a escala, mantém os ângulos usada na verificação de escala em direções perpendiculares

7 Transformação Isogonal (similaridade) eixos ortogonais e coeficientes de escalas iguais x = k. x. cos + k. y. sen + x y = - k. x. sen + k. y. cos + y Tem-se quatro parâmetros. Preserva a forma e não preserva o tamanho usada na qualidade geométrica de dados vetoriais ou matriciais

8 Transformação de corpo rígido (ortogonal) x = x. cos + y. sen + x y = - x. sen + y. cos + y Três parâmetros Preserva a forma e os tamanhos usada na qualidade geométrica de dados vetoriais

9 TRANSFORMAÇÃO DE HELMERT Aplicação: mais de dois pontos cujas coordenadas são conhecidas em dois sistemas Caso ideal: pontos fazem parte das margens da área na Qual deseja-se transformar coordenadas Sejam os pontos: P1, P2, Pn com coordenadas nos sistemas p,q (sistema antigo) e x, y (novo sistema)

10 Cálculo do centro de gravidade dos pontos x s = x/n y s = y/n p s = p/n q s = q/n De acordo com Wolf (1975) tem-se que: dy = y - y s, dx = x - x s dp = p - p s, dq = q - q s como checagem: dy = dx = dp = dq = 0

11 Com: a = f cos = ( dq.dy + dp.dx ) / ( dp 2 + dq 2 ) b = f sen = ( dq.dx - dp.dy ) / ( dp 2 + dq 2 ) f é o fator de escala: f = (a 2 + b 2 ) 1/2 ângulo de rotação de um sistema em relação a outro: = arctg b/a = arc cos a/f = arcsen b/f

12 As coordenadas do centro de rotação serão dadas por: x o = x s - a p s - b q s y o = y s + b p s - a q s Para um ponto j do qual se conhece as coordenadas no sistema p,q tem-se: x j = x o + a p j - b q j y j = y o - bp j + a q j

13 Dadas as coordenadas de três pontos situados no Estado do Paraná, referidas ao sistema geodésico que se utiliza do elipsóide de Hayford e tem origem no vértice Córrego Alegre (sistema anteriormente utilizado no Brasil): 1 = S 1 = W 2 = S 2 = W 3 = S 3 = W Calcular as coordenadas UTM destes pontos neste sistema geodésico: E 1 = m N 1 = m E 2 = m N 2 = m E 3 = m N 3 = m

14 Transformar as coordenadas geodésicas dadas acima para o sistema geodésico brasileiro SAD69: 1 = S 1 2 = S 2 3 = S 3 = W = W = W Calcular as coordenadas UTM destes pontos no respectivo sistema geodésico: E 1 = m N 1 = m E 2 = m N 2 = m E 3 = m N 3 = m

15 Aplicar a transformação de Helmert as coordenadas UTM nos dois sistemas geodésicos, calculando os parâmetros de transformação: Solução: x j = x o + a p j - b q j y j = y o - bp j + a q j com a = b = E-08 x o = y o =

16 Transformações por Similaridade Dados: x,y,z (antigo sistema) X,Y,Z (novo sistema) Transformação geral linear afim no espaço (Leick and van Gelder,1975): X = Ax + Ao três parâmetros de translação três parâmetros de rotação três parâmetros de escalas para os três eixos três parâmetros descrevendo orientação dos eixos

17 Modelo de transformação BURSA-WOLF Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia Aula 06 X = S R Z ( Z )R Y ( Y )R X ( X )x +T

18 R R 1 ( Modelo x ) R 2 ( y ) R 3 ( z ) R1 x 0 x x ( ) cos( ) sen( ) 0 sen( ) cos( ) x x R R 2 3 ( ) y ( ) z cos( ) 0 sen( ) y sen( ) 0 cos( ) y cos( ) sen( ) z sen( ) cos( ) z z z y y R cos cos cos sen sen y z y z y sen sen cos cos sen sen sen sen cos cos sen cos x y z x z x y z x z x y cos sen cos sen sen cos sen sen sen cos cos cos x y z x z x y z x z x y

19 Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia Aula 06 Modelo R z y z x y x i i r R r 0 1 ( ).. X Y Z x y z x y z i i i z y z x y x i i i

20 Sistemas de equações com as coordenadas de três pontos AX=L X=(A T PA) -1 A T PL P=I X 1 0 -Z 1 Y U 1 - X 1 Y 1 Z 1 0 X k V 1 - Y 1 Z 1 -Y 1 X ε x W 1 - Z 1 X 2 0 -Z 2 Y ε Y U 2 X 2 Y 2 Z 2 0 X ε z = V 2 Y 2 Z 2 -Y 2 X X 0 W 2 Z 2 X 3 0 -Z 3 Y Y 0 U 3 X 3 Y 3 Z 3 0 X Z 0 V 3 Y 3 Z 3 -Y 3 X W 3 Z 3

21 Ponto Exercício Prático Latitude (S) SAD69 Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia Aula 06 Longitude (W) SAD69 Altitude Ortométrica (m) Ondulação Geoidal (m) Curitiba 25º 25 58, º 20 24, ,54 Iretama 24º25 12, º 07 19, ,03 Londrina 23º 19 20, º 12 05, ,44 Ponto Latitude (S) WGS84 Longitude (W) WGS84 Altitude Elipsoidal (m) Curitiba 25º 26 00, º 20 26, ,6312 Iretama 24º25 14, º 07 20, ,3287 Londrina 23º 19 21, º 12 07, ,9934

22 Ponto X SAD-69 (m) Y SAD-69 (m) Z SAD-69 (m) Curitiba , , , Iretama , , , Londrina , , , Ponto X WGS84 (m) Y WGS84 (m) Z WGS84 (m) Curitiba , , , Iretama , , , Londrina , , ,

23 Matrix A Vetor L ,038 0, , ,067 1,000 0,000 0, , ,943 0, ,038 0,000 1,000 0, , , ,038 0,000 0,000 0,000 1, ,618 0, , ,244 1,000 0,000 0, , ,614 0, ,618 0,000 1,000 0, , , ,618 0,000 0,000 0,000 1, ,002 0, , ,618 1,000 0,000 0, , ,521 0, ,002 0,000 1,000 0, , , ,002 0,000 0,000 0,000 1,000-66,878 4,368-38,526-66,875 4,369-38,523-66,875 4,369-38,523 X= (A T A) -1 A T L

24 Parâmetro Valor Fator de escala ( ) 0, Rotação em torno do eixo X ( ) 0, rad Rotação em torno do eixo Y ( ) -0, rad Rotação em torno do eixo Z ( ) -0, rad Translação do eixo X ( x) -66,867m Translação do eixo Y ( y) 4,366m Translação do eixo Z ( z) -38,520m

25 EXEMPLO DE GEORREFERENCIAMENTO DE UMA IMAGEM Y ponto x(m) y(m) X(m) Y(m) ,000 0, ,477 0, ,477 0,669 X = -0, ,00027x-0,000004y Y = -0, ,000002x+0,00028y 3 X

26 MONTAGEM DO SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES X = a + bx +cy Y = d + ex +fy 0,000 = a + 182b + 306c 0,000 = d + 182e +306f 0,477 = a b +320c 0,000 = d e + 320f 0,477 = a b c 0,669 = d e f 0,000 = a 0,000 = b 0,477 = c 0,000 = d 0,477 = e 0,669 = f ponto x(m) y(m) X(m) Y(m) ,000 0, ,477 0, ,477 0,669