20 TRANSFORMAÇÕES DAS TENSÕES

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1 ENG040 Turma C (Prof. Aleandre Pacheco) 58 0 TRANSFORMAÇÕES DAS TENSÕES Equações Gerais no Plano Dado um certo estado de tensões num onto, associado a um dado sistema de coordenadas, é imortante que se determine os valores destas mesmas tensões caso o sistema de coordenadas associado seja alterado. Na figura abaio isto é reresentado através de um quadrado infinitesimal (na verdade um cubo infinitesimal ) associado a um sistema de coordenadas e um sistema rotacionado de um ângulo,. A ergunta que deve ser feita aqui é quanto devem valer as tensões normais, e, e tangenciais,, originalmente associadas ao quadrado infinitesimal do sistema de coordenadas quando o quadrado infinitesimal estiver associado ao sistema de coordenadas, rotacionado de um ângulo. De forma a resonder esta questão, ao invés de se trabalhar com o quadrado (cubo) infinitesimal, é mais conveniente cortar um triângulo como abaio, ou seja, tendo-se a sua hiotenusa alinhada com a direção do sistema de coordenadas rotacionado, no sentido anti-horário, do ângulo. Nesta face, devem estar associadas a tensão normal e a tensão tangencial. Como o estado de tensões está em equilíbrio, as forças associadas a todas as tensões têm que se equilibrar também nas direções e. É necessário, ortanto, que se asse as tensões ara forças, multilicando-as or suas áreas de atuação. Sendo a área da hiotenusa do triângulo adotada como A, a área dos catetos devem valer, or conseguinte, Acos e Asin. A cos A A A cos A cos A sen A A sen A sen

2 ENG040 Turma C (Prof. Aleandre Pacheco) 59 Sabendo-se as forças que atuam em cada face do triângulo (risma de base triangular), ode-se roceder com a determinação das equações de equilíbrio em cada direção transformada. Para a direção tem-se que: ( Acos ) cos ( Asin ) sin ( Acos ) sin ( Asin ) cos 0 ' A ou seja: ' cos sin sin cos Para a direção tem-se que: ( Asin ) sin ( Acos ) sin ( Acos ) cos ( Asin ) cos 0 ' ' A ou seja: ' ' ( ) sin cos ( cos sin ) As equações ara e encontradas acima são, ortanto, as eressões que dão as transformações de qualquer tensão normal e tangencial, resectivamente, de um sistema ara um sistema, rotacionado de um ângulo qualquer. Estas eressões odem ser re-escritas numa forma alternativa se considerarmos as seguintes relações trigonométricas: sin sin cos; cos sin ; cos cos Ou seja: ' cos sin ' ' sin cos Tensões Princiais As eressões acima, no entanto, não são muito ráticas, já que não nos fornecem nenhuma informação relevante, elo menos à rimeira vista. Afinal, tudo o que elas fornecem são os infinitos valores das tensões normais e tangenciais em um onto ara uma infinidade de valores de ângulos de rotação ossíveis do sistema de coordenadas. No entanto, é natural que, da infinidade de valores a serem encontrados com estas eressões, haja valores máimos e mínimos associados. Estes valores, sim, são imortantes e odem ser encontrados ao se trabalhar um ouco mais estas eressões. Derivando-se a rimeira eressão uma vez em relação a, obtém-se que: 0 ( sin )( ) ( cos )( ) 0

3 ENG040 Turma C (Prof. Aleandre Pacheco) 60 Ou seja: ( ) 0 tan Ou ainda que: ( ) tan Este resultado mostra que, ara que se obtenha um máimo ou um mínimo na eressão ara, um ângulo igual a (que ode ser obtido resolvendo-se a eressão) deverá ser usado na rotação do sistema de coordenadas (transformação). Para se obter os valores dos máimos e mínimos, a eressão acima é substituída na eressão ara. No entanto, a eressão acima fornece aenas a tangente de, sendo que o seno e o cosseno de é que são necessários. A eressões do seno e do cosseno de associadas à eressão acima odem ser facilmente obtidas se interretarmos esta eressão como no esquema abaio. Isto é, a eressão dá a inclinação da tangente ao ângulo num sistema -, onde o seno ou o cosseno odem ser dados como a seguir: sin cos ou or: sin cos sendo que ambos os ângulos, e, caracterizam a mesma declividade no sistema acima, estando defasados de 80º, ou seja, 80º. Substituindo-se, rimeiramente, as eressões referentes a na equação que dá, tem-se: - - -( - )

4 ENG040 Turma C (Prof. Aleandre Pacheco) 6 Substituindo-se as eressões referentes a na mesma equação, obtém-se raticamente a mesma coisa, aenas com os dois últimos termos com o sinal trocado. Chamando-se a quantidade entre raiz quadrada de R, tem-se, ortanto, que: R R Trabalhando-se algebricamente as duas eressões resultantes, obtém-se duas equações que aenas diferem or um sinal: a eressão ara aresenta um sinal ositivo enquanto que a eressão ara aresenta um negativo. Estas duas eressões são comumente aresentadas na seguinte forma comactada:, ± ou seja, somando-se os dois termos, tem-se o valor ara, que será, ortanto, um valor máimo de tensão. Com a subtração, obtém-se o valor ara, que será um valor mínimo de tensão. Estes dois valores de tensão caracterizam as Tensões Princiais associadas ao estado de tensões dado e, como visto, associadas também aos ângulos e (defasagem de 90º). Estes ângulos são conhecidos como Direções Princiais. Uma última observação a ser feita se refere à substituição das eressões ara seno e cosseno na outra equação ainda não utilizada, ou seja, aquela ara. Se isto for feito, será visto que a equação é semre zerada, isto é, o ângulo que fornece uma tensão rincial, obrigatoriamente, conduz a uma ausência de tensões cisalhantes. Da mesma forma, de um conjunto de estado de tensões ossíveis ara um onto, aqueles que ossuírem somente tensões normais e nenhuma tensão cisalhante, são estados de tensões rinciais. Círculo de Mohr ara o Estado Plano de Tensões Anteriormente, aresentaram-se eressões ara a determinação das tensões e direções rinciais associadas a um dado estado de tensões. Para a determinação das tenções rinciais, viu-se que a fórmula mais comumente usada seria aquela mostrada abaio. O rimeiro termo da soma algébrica é chamado de tensão média, méd, e o segundo termo de raio, R., ± méd ± R Tanto esta fórmula como aquelas onde aareciam senos e cossenos de odem ser consideradas como equações de um círculo num sistema coordenado retangular -. Na fórmula acima, o centro do círculo seria dado or méd, e o seu raio or R. As tensões rinciais estariam localizadas nos ontos de intersecção do círculo com o eio das abscissas, ou seja, imlicando em tensões cisalhantes nulas, como revisto anteriormente. Isto é ilustrado na figura abaio.

5 ENG040 Turma C (Prof. Aleandre Pacheco) 6 méd - C R A Acima de tudo, no entanto, os infinitos ontos que comõem o círculo traçado no sistema - reresentam todas as ossíveis transformações de um estado de tensões. O estado de tensões dado seria reresentado elo onto A na figura, enquanto que qualquer outro estado resultante de uma transformação (giro de um ângulo ) estaria localizado a, a artir da direção CA, já que as relações trigonométricas observadas nas equações de transformação eram ara o dobro do ângulo. Na dedução das equações, também foi estiulado que o ângulo crescia no sentido anti-horário, e assim deve ser observado no círculo de Mohr também. A construção do círculo de Mohr ara um dado estado de tensões ermite, de uma forma gráfica, a fácil análise de roblemas de transformações de tensões. Através dele, fica bastante imediata a determinação de quaisquer outros estados de tensões resultantes, rincialmente dos estados tensões com tensões rinciais e seus ângulos de giro ou direções rinciais. Um rocedimento simles ara a construção do círculo de Mohr e a sua análise é dado a seguir. Procedimento de Análise Para a construção do círculo, os seguintes assos devem ser seguidos: Estabelecer um sistema de coordenadas -, com nas abscissas crescendo ositivamente ara a direita e com nas ordenadas crescendo ositivamente ara baio; Utilizar a convenção mostrada na figura ao lado ara os valores ositivos de e. Marcar o centro do círculo C, localizado sobre o eio a uma distância méd da origem, sendo méd ( )/. Marcar o onto de referência A(, ), referente ao ângulo 0 o, ou seja, alinhado com o do estado de tensões dado; Unir o onto A ao centro C, determinando a hiotenusa CA, que reresenta o raio R do círculo. Um onto B de coordenadas (, - ), diametralmente oosto ao onto A também ode ser marcado. Traçar o círculo utilizando o raio ou o diâmetro encontrados.

6 ENG040 Turma C (Prof. Aleandre Pacheco) 63 Para a análise do círculo de Mohr: As comonentes e num onto qualquer P atuantes em um lano definido or um ângulo, medido no sentido anti-horário, são obtidos or trigonometria; Para localizar P, o ângulo de um lano (no sentido anti-horário) é medido no círculo como (no mesmo sentido anti-horário) da linha CA ara CP; As tensões rinciais e são determinadas elos dois ontos de intersecção do círculo com o eio (onde 0); Estas tensões atuam nos lanos definidos elos ângulos e, que são medidos elos ângulos e medidos a artir da linha radial de referência CA no sentido anti-horário; As comonentes méd e má são encontradas no círculo, definidos elos ângulos c e c que, normalmente, são indicados no sentido horário or convenção. B c méd C c P A 0 o