Mecânica dos Sólidos - Colecção de Problemas Resolvidos. 2º ano da Licenciatura em Engenharia Civil

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1 ALVARO F. M. AZEVEDO Mecânica dos Sólidos - Colecção de Problemas Resolvidos 2º ano da Licenciatura em Engenharia Civil Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto - Portugal 1993

2 Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto - Licenciatura em Engenharia Civil Consultar e seleccionar "Apoio às disciplinas" MECÂNICA DOS SÓLIDOS - ANO LECTIVO 2002/ ANO - 1.SEM. FOLHA 1 - CÁLCULO TENSORIAL 1 Desenvolva as seguintes expressões a) a x ij j b) δ ij t ju c) δ ij δ ij d) δ ikδ kutul 2 Prove a partir da definição que o produto contraído de dois vectores é um escalar. 3 Sejam v ij, c ij, v pq e c pq os elementos nos referenciais S e S, respectivamente, de dois tensores de 2ª ordem tais que v = δ. pr c rq pq v c ik kj = δ. Prove a partir da definição que ij 4 - Verifique a natureza tensorial da entidade com elementos t ij num referencial S arbitrário que verifica a equação tensorial homogénea as componentes em S de dois vectores arbitrários e k é um escalar. tij vic j = k, em que v i e c j são 5 - Prove a partir da definição que a soma dos elementos da diagonal principal de um tensor de 2ª ordem é um invariante. 6 - Sabendo que eˆ eˆ i eˆ i eˆ j = εijkeˆ a = aleˆ l a) Calcule a b c j = δ ij b) Demonstre que: a b c = a c b a b k b.1) ( ) c b.2) ( a b) ( c d) = ( a c) ( b d) ( b c) ( a d) 1.1

3 7 - Considere dois referenciais ortonormados (S e S' ) sendo ( x, x x ) ( x, x x ) 1 2, 3 1 2, os eixos de S'. Relativamente a estes dois referenciais sabe-se que: x 1 coincide com x 2 x 3 faz um ângulo de 45º com x 1 ecom x 3 3 os eixos de S e Nota: estes dados referem-se aos semi-eixos positivos. Sabendo que um ponto P possui coordenadas (5,2,4) em S, calcule as suas coordenadas em S'. 8 - Obtenha os elementos no referencial S do tensor anti-simétrico de 2ª ordem com elementos no referencial S t = ; t 2 ; t = sabendo que e ( ) 21 = = 1,?, ; e e 2 S = Determine o elemento t 23 no referencial S de um tensor simétrico de 2ª ordem, sabendo que os seus elementos são t11 = t22 = 1 ; t = t = t = e que no referencial S 1 3 t 33 = 3 ; eˆ3 = ( 1,2, 2 ) S 1.2

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16 Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto - Licenciatura em Engenharia Civil Consultar e seleccionar "Apoio às disciplinas" MECÂNICA DOS SÓLIDOS - ANO LECTIVO 2002/ ANO - 1.SEM. FOLHA 2 - ESTADO DE TENSÃO 1 O campo de tensões num meio contínuo é caracterizado pelo tensor ( 2) 2 3 ( x ) x ( x x ) x x 1 x x 1 0 τ ij = / x 3 a) Determine as forças mássicas que deverão estar aplicadas a esse meio, de forma a satisfazer o equilíbrio em qualquer ponto. b) Determine as tensões no ponto P ( a 0, 2 a ) relativamente aos semi-eixos positivos das coordenadas. 2 Dado o estado de tensão, e numa faceta igualmente inclinada τ ij 16 1 = ( MPa) expresso no referencial S ( 0, eˆ, eˆ, e ) ˆ de tensão no referencial S ( 0, eˆ, eˆ, e ), sabendo que ˆ 1 2 3, determine as componentes do mesmo estado x 1 1/ x 2 = 1/ x 3 1/ / 1/ 1/ / 6 x1 1/ 3 x2 0 x3 2.1

17 3 O tetraedro representado encontra-se em equilíbrio sujeito a um estado de tensão uniforme, definido pelo tensor das tensões ij τ com componentes em ( 0,, x x ) x : 1 2, 3 τ ij = ( MPa) x 3 A 3 a) Determine a resultante das forças que actuam na face (A 1, A 2, A 3 ). b) Determine a orientação das facetas para as quais é máximo o valor da tensão normal. c) Determine no referencial dado a orientação das facetas para as quais é máximo o valor absoluto da tensão tangencial. O A 1 A 2 x 1 x 2 OA = OA = 3 2cm OA = 4cm 4 Relativamente ao estado de tensão definido por: τ = 11 τ = MPa ; τ33 3 = MPa 3 τ = MPa ; τ23 τ31 3 = = MPa 3 Calcule o valor das tensões principais e caracterize as suas direcções de actuação. 5 Considere o estado de tensão cujas tensões principais são: σ I = 12 MPa σ II = 2 MPa σ = 4 MPa III Em relação a um triedro directo formado pelas direcções principais, determine: a) A orientação das facetas para as quais τ assume o valor máximo. b) A orientação das facetas para as quais σ =

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27 Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto - Licenciatura em Engenharia Civil Consultar e seleccionar "Apoio às disciplinas" MECÂNICA DOS SÓLIDOS - ANO LECTIVO 2002/ ANO - 1.SEM. FOLHA 3 - ESTADO DE TENSÃO 1 Relativamente a um estado de tensão uniforme caracterizado pelo tensor das tensões: [] τ = ( MPa) C x 3 a) Determine a resultante das tensões em cada face do cubo e na face OABC. O B 0.10 m b) Determine as facetas em que a tensão tangencial é máxima. x 1 x 0.10 m m A 2 Considere um estado de tensão num ponto de cujo tensor se conhecem as seguintes componentes: τ 12 = 2 MPa; τ 22 = 2 MPa; τ = τ =. Sabe-se ainda que uma das tensões principais é nula e que as outras duas apresentam o mesmo valor absoluto, sendo uma positiva e a outra negativa. Calcule as componentes do tensor das tensões. 3 Relativamente ao estado de tensão num ponto, sabe-se que a direcção principal correspondente à maior tensão principal é definida, num referencial S ( 0, x, x x ) pelo versor n I = ( 2, 2, 1) S. Na superfície cuja normal é ( ) S 1 2, 1 1 ˆ 1,0,1, a componente 3 2 tangencial da tensão tem o seu valor máximo de 300 MPa e a correspondente componente normal vale 500 MPa. O invariante linear das tensões vale 1500 MPa. Determine: a) As tensões principais e as direcções principais de tensão. b) Os elementos do tensor das tensões no referencial S

28 Solução do problema 3 - a) 1 σi = 800 MPanI = σii = MPanII = σiii = MPanIII = ;,, ; ;,, ; ; 3 122,, ( ) ( ) ( ) Solução do problema 3 - b) [] τ = ( MPa) S 4 Relativamente a um estado de tensão num ponto, sabe-se que: i) Existe um elemento de superfície onde não actua nenhuma tensão; ii) Uma direcção principal de tensão é definida por um versor cujas componentes no ,, ; S referencial S são ( ) iii) O elemento de superfície cujo versor da normal é ( 1,2,2 ) de (40,0,0) MPa. Determine: a) As tensões principais e as direcções principais de tensão; b) Os elementos do tensor das tensões no referencial S. Solução do problema 4 - a) 1 3 está sujeito a uma tensão σi = 60 MPa ni = σii = nii = σiii = MPa niii = ;,, ; ;,, ; ; 5 1, 2, 0 ( ) ( ) ( ) Solução do problema 4 - b) [] τ = ( MPa) 3.2

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38 Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto - Licenciatura em Engenharia Civil Consultar e seleccionar "Apoio às disciplinas" MECÂNICA DOS SÓLIDOS - ANO LECTIVO 2002/ ANO - 1.SEM. FOLHA 4 - ESTADO PLANO DE TENSÃO 1 De um estado plano de tensão conhecem-se as tensões em duas facetas ortogonais: σ y τ y x τ x y σ = 100 MPa x σ y = 60 MPa τ = 20 MPa x y σ x Determine a grandeza e direcção das tensões principais. Solução: σ MPa ; σ = 51.72MPa ; α = 22.5º ; α = 67.5º I = II I II 2 As tensões principais num estado plano de tensão valem 500 MPa e 100 MPa, ocorrendo a primeira na faceta A representada na figura. Determine: a) As componentes normal e tangencial da tensão que actua na faceta B. b) As orientações das facetas onde a tensão é puramente tangencial. c) As orientações das facetas para as quais a tensão tangencial vale 200 MPa e as componentes normais das tensões nessas facetas. Solução a) σ 50 MPa ; τ = MPa B = B Solução b) α = 5.905º; º B 60 o 30 o A Solução c) α = º;50.905º ; σ = MPa ; σ 2 = MPa 4.1

39 3 De um estado plano de tensão conhecem-se o invariante linear das tensões, que vale 200 MPa e as componentes normal e tangencial da tensão que actua na faceta representada na figura. σ τ 45 o σ = 400 MPa τ = 200 MPa Determine: a) As tensões principais. b) As orientações das facetas onde ocorrem os valores máximos e mínimos da componente tangencial da tensão. Solução a) σ MPa ; σ = MPa I = II Solução b) α = º; º 4 Num estado plano de tensão conhece-se a tensão que actua na faceta A e a componente normal da tensão que actua na faceta B. Determine: a) As tensões principais. b) A componente tangencial da tensão que actua na faceta B. τ = 0 30 o σ = MPa A σ = 100 MPa τ B Solução a) σ I = II Solução b) τ B = MPa 700 MPa ; σ = 100 MPa 4.2

40 5 Um ponto P de um sólido está submetido a um estado de tensão que é a soma dos dois estados de tensão que se indicam na figura. Calcule: a) O valor das tensões principais e a orientação das facetas principais. b) As componentes da tensão que actua nos planos que fazem 30º com a faceta onde actua a tensão principal máxima. 6 3 ( MPa ) Solução a) σ I = 8.08 MPa ; α I = 9.934º ; σ II = 3.08MPa ; α II = º Solução b) σ = 5.29 MPa ; τ = 4.83MPa 6 Considere as facetas a, b e c em que: σ = 100 MPa a σ = 200MPa b σ = 300MPa c Calcule τ a, τ b e τ c. Solução: τ = MPa a τ = MPa b τ = 9.382MPa c a 30 o b 40 o c 4.3

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51 Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto - Licenciatura em Engenharia Civil Consultar e seleccionar "Apoio às disciplinas" MECÂNICA DOS SÓLIDOS - ANO LECTIVO 2002/ ANO - 1.SEM. FOLHA 5 - ESTADO DE DEFORMAÇÃO 1 Os pontos de um cubo de 10 cm de aresta apresentam deslocamentos dados por: 2 u = 5 + 2x x, 7 x, x 10 cm ( ) ( ) 1 3 a) Determine as novas coordenadas do ponto P. b) Verifique se a transformação é afim e caracterize-a. 1 3 P C E 0.10 m O A D x m 0.10 m x 2 B x 3 2 O cubo representado na figura do problema 1 vai ser sujeito a uma transformação afim, caracterizada no referencial S pelos seguintes valores: 2 2 e = u = 0, 10, 10 metros e e e e = e 12 = e = e = e ( ) ( ) = e 21 = 2 10 = 0 = = Determine: a) As novas componentes do vector BC. b) A nova distância entre B e C. c) Os elementos do tensor das rotações e das deformações. d) A direcção do eixo de rotação e o ângulo de rotação em graus. e) Os novos comprimentos dos segmentos BD e DC. f) Os novos valores dos ângulos BDC e ECD. g) O volume do cubo após a transformação. 3 Considere uma placa rectangular, que apresenta os deslocamentos indicados no quadro. Calcule: a) ε 1, ε 2, γ 12. b) A rotação da placa em torno de O. c) ( u ) ( u ) ;. 1 B 2 B C 6.0 m O x 2 B 4.0 m A x 1 O A B C x 1 1 2? 2 x 2 2 6? m 5.1

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59 Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto - Licenciatura em Engenharia Civil Consultar e seleccionar "Apoio às disciplinas" MECÂNICA DOS SÓLIDOS - ANO LECTIVO 2002/ ANO - 1.SEM. FOLHA 6 - ESTADO DE DEFORMAÇÃO 1 Os pontos do tetraedro representado apresentam uma deformação caracterizada pelo tensor das deformações, cujos elementos são, no referencial S ( 0, x, x x ) 1 2, 3 x 3 d d d = d = d = d = 0 33 = 2 10 = A 3 O A 1 A 2 x x 2 1 OA1 = OA2 = 20cm OA3 = 10cm a) Determine o novo comprimento de A 1A3. b) Determine a área da face OA A 1 3 após a deformação. c) Determine o novo ângulo ( A ) A. 1 2A3 2 Os deslocamentos dos pontos de um meio são dados por u = 2α α x1x3, β α x2 x3, α( x1 + x2 ) + βx3 + γ 2 em que α, β e γ são constantes. Determine: a) Os elementos do tensor das deformações em S. b) O valor de α e β, sabendo que o segmento de recta elementar da vizinhança do ponto P(1,1,1) inicialmente paralelo ao eixo x 3 apresenta uma extensão linear de e uma rotação de 2 10 rad. S 6.1

60 3 O paralelepípedo representado foi sujeito a uma deformação afim infinitesimal. Sabendo que: a aresta BC mantém a direcção; x 3 a nova área da face O B C D é 15.3 cm 2 ; o vector OE depois de deformado tem as OE = 404., 303., componentes ( ) Determine: a) Os elementos do tensor das deformações em S. b) Os pares de segmentos que formam ângulos que se mantêm após a deformação. S B O x 1 x 2 E BC = 3 cm; CD = 5cm; DE = 4cm C D 4 A pirâmide representada na figura está sujeita a um campo de deslocamentos linear resultante de: 2 uma rotação de corpo rígido de radianos, em torno de AB e no sentido indicado; 2 uma translação de cm ao longo da mesma recta e no sentido de A para B; um estado de deformação homogéneo, do qual se conhecem as componentes do tensor das 2 deformações d 12 = 0 e d 13 = 3 10 e o valor da extensão volumétrica ε v = B O A D x 1 x 2 w C OA= OB =3 cm; OD = 4cm x 3 Sabendo que após a deformação o comprimento de OA é de 3.03 cm, a área da base da pirâmide não se altera e que a distorção entre as direcções AB e AC é nula, determine: x 1 2, 3 do tensor das deformações e do tensor das rotações. b) O deslocamento do ponto C. a) As componentes em ( 0,, x x ) c) O comprimento de BC após a deformação. d) O valor da extensão principal máxima e a sua direcção de actuação. 6.2

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71 Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto - Licenciatura em Engenharia Civil Consultar e seleccionar "Apoio às disciplinas" MECÂNICA DOS SÓLIDOS - ANO LECTIVO 2002/ ANO - 1.SEM. FOLHA 7 - ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÃO 1 Calcule as extensões principais e as direcções principais de um estado de deformação cujas componentes na origem são dadas por ε x = 5 10 ; ε y = 6 10 ; γ xy = Usando a construção de Mohr, verifique os resultados obtidos. 2 Considere as duas seguintes montagens habituais em extensometria ε y ε 45 ε ε ε x ε x ( Roseta em estrela ) ( Roseta equiangular ) Obtenha as extensões principais e as direcções principais de deformação que lhes estão associadas para as seguintes leituras: Roseta em estrela: ε = ; ε = 10 ; ε x y 45º = Roseta equiangular: ε x 6 6 = ; ε 60º = ; ε120º = São definidos dois estados de distorção, representados na figura. b (1) a d (2) ε a = ε b = 0 ε c = ε d = 0 γ ab = 10 x 10-6 γ cd = 6 x 10-6 c α f e β ε e = ε f = 0 γ ef =? β =? Demonstre que a soma destes dois estados de deformação é ainda um estado de deformação distorcional e calcule a correspondente distorção. 7.1

72 7.2 4 Considere-se o estado plano de deformação traduzido pelas equações xy xy y x y x y x y x y x xy y x = = = γ ε ε Supondo que as condições de apoio são tais que impedem as translações na origem, bem como a rotação, determine os campos de deslocamentos u e v.

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80 Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto - Licenciatura em Engenharia Civil Consultar e seleccionar "Apoio às disciplinas" MECÂNICA DOS SÓLIDOS - ANO LECTIVO 2002/ ANO - 1.SEM. FOLHA 8 - RELAÇÕES ENTRE TENSÕES E DEFORMAÇÕES 1 Um corpo perfeitamente elástico, homogéneo e isotrópico encontra-se sujeito a um estado de tensão cujas componentes são dadas no referencial S por [] τ = MPa Os parâmetros elásticos do material são: v = ; E = 10 MPa. 4 Que pressão deve ser aplicada ao corpo (estado de tensão isotrópico) para que ele recupere o volume inicial? 2 Num referencial S conhecem-se as seguintes componentes do tensor das deformações num ponto de um corpo: 2 2 d11 = d 22 = 10 ; d12 = 10 ; d13 = 0 ; d 32 = 0 Sabendo que o corpo é constituído por um material homogéneo e isotrópico (elástico), 4 de que se conhece o módulo de distorção, G = 8 10 MPa e o módulo de Young, 5 E = 2 10 MPa e conhecendo-se ainda o invariante linear das tensões, de valor igual 3 a 4 10 MPa, determine os elementos do tensor das tensões que caracteriza o estado de tensão no ponto no referencial das tensões principais. 3 Um cilindro constituído por um material perfeitamente elástico, homogéneo e isotrópico é submetido a uma tensão de compressão, p, distribuída uniformemente nas suas bases sob dois tipos de condições fronteira na superfície lateral: i) impede-se qualquer expansão transversal; ii) a superfície lateral fica livre de qualquer tensão. Sabendo que no primeiro caso o encurtamento é de 2/3 do encurtamento obtido no segundo caso, determine o coeficiente de Poisson do material e a pressão lateral exercida no primeiro caso. 8.1

81 4 Considere os elementos do tensor das deformações num referencial ( 0, x, x x ) 1 2, que caracterizam o estado de deformação de um cilindro constituído por um material perfeitamente elástico, homogéneo e isotrópico. d ij 1 = Determine os elementos do tensor das tensões correspondente no referencial dos eixos principais, sabendo que: uma compressão de 10 MPa, uniformemente distribuída na superfície lateral do cilindro origina uma extensão longitudinal de ; a força uniformemente distribuída nas bases do cilindro necessária para anular aquela extensão é de 6 MPa. 3 5 Considere o estado de tensão definido pelas seguintes componentes: σ = 2xy τ x xy = y 2 ; σ ; τ y yz = 2x ; σ = τ zx z = 0 = 2vx ( 1+ y) em que v representa o coeficiente de Poisson de um meio elástico isotrópico, de módulo de elasticidade E. Admitindoanãoexistênciadeforçasmássicas, verifique que se trata de um estado de tensão possível, sob o ponto de vista estático e cinemático. 8.2

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