v = velocidade média, m/s; a = aceleração média do corpo, m/s 2 ;

Transcrição

1 1. Cinemática Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro Centro de Ciências e Tecnologias Agropecuárias - Laboratório de Engenharia Agrícola EAG 0304 Mecânica Aplicada Prof. Ricardo Ferreira Garcia garcia@uenf.br Estudo de movimentos A cinemática é a parte da mecânica que descreve o movimento dos corpos independente de suas causas. Os principais movimentos estudados na mecânica são os movimentos retilíneo e circular.. Movimento retilíneo O movimento retilíneo é a forma mais simples de deslocamento, visto que os movimentos são ao longo de uma reta, seja horizontal ou vertical. Como tudo ocorre em uma dimensão, pode-se dispensar o tratamento vetorial mais detalhado e resumir em termos de grandezas escalares, com o devido cuidado de analisar os sentidos de velocidades e as mudanças de sinais que são frequentes quando se redefine o eixo de referência. Este movimento é dividido em retilíneo uniforme e uniformemente variado. Uma vez que a maior parte das máquinas agrícolas, como tratores, motores estacionários e elétricos trabalham em regime de rotação constante, será dada ênfase no movimento uniforme..1 Movimento uniforme O movimento uniforme é aquele em que a velocidade escalar instantânea é constante e diferente de zero, de modo que o móvel sofre variações de espaço iguais em intervalos de tempo iguais. A velocidade de um móvel, por sua vez, é a razão segundo a qual sua posição varia com o tempo. Neste movimento, a aceleração é nula. Deve-se considerar que: v v 0, a 0, _ v S e A função horária do espaço pode ser representada pela equação: lim S v. 0 S So v. t v = velocidade média, m/s; v = velocidade instantânea, m/s; a = aceleração média do corpo, m/s ; S = posição do corpo, m; t = tempo, s. Exemplo: considere um trator realizando a aplicação de defensivos à velocidade constante de 7 km/h.

2 .. Movimento uniformemente variado O movimento uniformemente variado é aquele em que a aceleração escalar é constante e diferente de zero. A aceleração é a grandeza que mede a variação da velocidade no decurso do tempo. Neste movimento, a velocidade varia uniformemente. Deve-se considerar: a a 0, _ a v e lim v a 0 A função horária da velocidade pode ser representada pela equação: v vo a. t Deve-se considerar ainda: vo v vo v v, S So t, a.t S So vo t e v vo a. S Exemplo: considere um trator partindo do repouso e iniciando seu movimento, com uma aceleração constante, até atingir a velocidade de trabalho de 7 km/h. 3. Movimento circular O movimento circular é aquele em que o objeto ou ponto material se desloca numa trajetória circular. Este movimento é muito comum em eixos de máquinas, como sistemas de transmissões de movimentos compostos por polias e correias ou engrenagens dentadas. O movimento circular classifica-se, de acordo com a ausência ou a presença de aceleração tangencial, em movimento circular uniforme e movimento circular uniformemente variado. 3.1 Unidades de ângulos Um ângulo plano é expresso seja em graus α, seja em radianos ᾱ. A seguinte relação existe entre estas duas graduações: - 1 grau ( o ) corresponde à 1/360 do ângulo de uma volta; - 1 radiano ( rad ) é o ângulo central que corresponde a um arco de circunferência equivalente ao próprio raio; - π rad = 360 o ; e - 1 rad = 57,958 o 57 o. L r

3 ᾱ = ângulo do arco, rad; L = comprimento do arco, m; e r = raio da circunferência, m. 3. Espaço angular (φ fi ) O espaço angular corresponde ao ângulo entre o raio de referência e o raio que passa pela partícula. S r φ = espaço angular, rad; e S = espaço linear, m. 3.3 Velocidade escalar média angular (ω ômega ) A velocidade escalar média angular corresponde à variação do espaço angular no decurso do tempo. v S t v.r = velocidade escalar média angular, rad/s; Δφ = variação do espaço angular, rad; Δt = variação do tempo, s; v = velocidade escalar média linear, m/s; e ΔS = variação do espaço linear, m. 3.4 Aceleração escalar média angular ( gama ) A aceleração escalar média angular corresponde à variação da velocidade angular com o tempo. a. r t

4 = aceleração escalar média angular, rad/s ; Δω = variação da velocidade escalar angular, rad/s; e a = aceleração escalar média linear, m/s. 3.5 Movimento circular uniforme O movimento circular uniforme, assim como o movimento retilíneo, é aquele em que a velocidade escalar instantânea da partícula é constante e diferente de zero, de modo que o móvel sofre variações de espaço angular iguais em intervalos de tempo iguais em movimento circular. Neste movimento, a velocidade angular também é constante e diferente de zero. Neste caso, considera-se: v = constante e 0, a = 0; ω = constante e 0, = 0. A função horária do movimento circular uniforme pode ser representada pelas equações: S So v t e o t Frequência de rotação (n) A frequência de rotação de um eixo é o quociente do número de voltas do eixo, pela duração da medida. É dado em Hertz (Hz). o n de voltas do eixo 1 volta n n 1 rps 1 Hz duração da medida s O período (T) corresponde ao tempo gasto durante um ciclo completo. É dado em segundos (s) no SI Velocidade linear (v) x frequência de rotação (n) A relação entre a velocidade linear e a frequência do movimento pode ser descrita pelas equações: r n v r v r n dn T T Exemplo: considere uma máquina picadora (ensiladora) de capim estacionária acionada por um motor elétrico através de polias e correias. O motor elétrico trabalha com frequência constante de rpm, logo a polia acionadora do motor está sendo acionada à velocidade angular constante. Esta polia, por sua vez, aciona a correia que aciona o eixo das facas picadoras do material a ser processado.

5 3.5.3 Relação de transmissão (i) Representando o sistema de transmissão do eixo motor elétrico (1) acionando o eixo da máquina (), considera-se que não existe patinagem entre a correia e as polias 1 e. Desta forma, a velocidade linear da correia é igual às velocidades tangenciais das polias (v 1 e v ). Considerando que v d n, e que v 1 = v, pode-se concluir que n1 n d, em que d é o diâmetro da polia, e n a frequência. Da mesma forma, pode-se deduzir que n1 r1 n r, onde r é o raio da polia. Utilizando a equação v r, e igualando v 1 = v, pode-se concluir também que: 1 r1 r e 1 d. Quando o sistema de transmissão utiliza engrenagens dentadas, seja por contato direto ou por corrente dentada, considera-se nesta relação o número de dentes (z) ao invés de raio ou diâmetro: e n1 z1 n z 1 z1 z Logo, pode-se concluir que: 1 r r1 d z z1 n1 n i, i = relação de transmissão. No exemplo anterior, considerando que no sistema de transmissão, o motor é acionado com frequência de rpm e as engrenagens possuem diâmetros d 1 e d de 19 cm e 9 cm, respectivamente, é possível calcular a frequência da polia movida e a relação de transmissão: d n1, n d, 90 n = / 90 = 3.694,4 rpm e i 0, 4737 n Se dividirmos a relação de transmissão i = 0,47 pela frequência da polia 1, também é possível obter a frequência da polia : n = rpm / 0,4737 = 3.694,4 rpm No mesmo exemplo, pode-se calcular a velocidade angular (ω) e a velocidade linear (v) de um ponto na periferia de cada polia, convertendo a frequência (n) para Hz (1.750 rpm = 9,17 Hz e 3.694,4 rpm = d 61,57 Hz) e o diâmetro (d) para metro, usando w n e v : w1 n1.3,14.9,17 183,19 rad/ s, w n.3,14. 61,57 386,66 rad/ s 0,19 d 0,09 v ,19. 17,4 Hz, v 386,66. 17,4 Hz 3.6 Movimento circular uniformemente variado O movimento circular uniformemente variado é aquele em que a aceleração angular (γ) é constante e diferente de zero. Neste movimento, a velocidade angular varia uniformemente. Devem-se considerar as seguintes equações para cálculo de espaço (φ), velocidade (ω) e aceleração angular (γ) em função do tempo: t 0 0 t 0 t 0