UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS FENÔMENOS DE TRANSPORTE MECÂNICA DOS FLUIDOS JATO LIVRE

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS FENÔMENOS DE TRANSPORTE MECÂNICA DOS FLUIDOS Dinâmica dos Fluidos Elementar Equação de Bernoulli JATO LIVRE Prof. Roberto Vieira Pordeus Mossoró-RN

2 Jato Livre Uma das equações mais antigas da mecânica dos fluidos é aquela que descreve a descarga de líquido de um grande reservatório (veja a Fig.). Um jato de líquido, com diâmetro d, escoa no bocal com velocidade V. A aplicação da Equação de Bernoulli entre os pontos ( ) e ( ) da linha de corrente fornece p ρ V γ z p ρ V γ z ( ) γ h ρ V Figura. Escoamento vertical no bocal de um tanque Nós utilizamos a hipótese que z h, z 0, que o reservatório é grande (V 0) e está exposto à atmosfera (p 0) e que o fluido deixa o bocal como um jato livre (p 0). Assim, γ h V g h ρ ( ) Esta equação é uma versão moderna do resultado formulado em 643 pelo físico italiano Torricelli ( ). Figura. Escoamento horizontal no bocal de um tanque

3 O escoamento se comporta como um jato livre, com pressão uniforme e igual a atmosférica (p 5 0), a jusante do plano de descarga do bocal. Aplicando a equação ( ) entre os pontos ( ) e ( 5 ) nós identificamos que a velocidade aumenta de acordo com ( h H ) V g ( 3 ) onde H é a distância entre a seção de descarga do bocal e o ponto ( 5 ). Escoamento Confinado É comum encontrarmos situações onde o escoamento está confinado fisicamente (por exemplo, por paredes) e a pressão não pode ser determinada a priori como no caso do jato livre. Dois exemplos típicos destas situações são os escoamentos nos bocais e nas tubulações que apresentam diâmetro variável. Note que, nestes casos, a velocidade média de escoamento varia porque a área de escoamento não é constante. Figura. Escoamento em regime permanente num tanque Para a resolução destes escoamentos confinados é necessário utilizar o conceito da conservação da massa (ou equação da continuidade) juntamente com a equação de Bernoulli. A vazão em volume é Q AV e a vazão em massa é m ρva. Para que a massa no volume considerado permaneça constante, a vazão em massa na seção de alimentação deve ser igual àquela na seção de descarga. Logo, ρ ( 4 ) A V ρav 3

4 Se a massa específica do fluido permanecer constante, ρ ρ, a equação anterior se torna igual a A V AV ou Q Q ( 5 ) Por exemplo, se a área da seção de descarga é igual a metade da área da seção de alimentação, segue que a velocidade média na seção de descarga é igual ao dobro daquela na seção de alimentação (i.e., V A V / A V ). Exemplo. A Figura abaixo mostra um tanque (diâmetro D,0 m) que é alimentado com um escoamento de água proveniente de um tubo que apresenta diâmetro, d, igual a 0,0 m. Determine a vazão em volume, Q, necessário para que o nível da água no tanque (h) permaneça constante e igual a m. Solução: Se modelarmos o escoamento como invíscido, incompressível e em regime permanente, a aplicação da equação de Bernoulli entre os pontos ( ) e ( ) resulta em p ρ V γ z p ρ V γ z ( ) Admitindo que p p 0, z h e z 0, temos 4

5 ρ V γ h ρ V ( 6 ) O nível da água pode permanecer constante (h constante) porque existe uma alimentação de água no tanque. A Eq. 5, que é adequada para escoamento incompressível, requer que Q Q, onde Q AV. Assim, A V AV, ou Assim, π D V 4 V π d V 4 d V ( 7 ) D Combinando as equações ( ) e ( 7 ), obtemos gh V ( 8 ) ( d D) 4 Aplicando os dados fornecidos na formulação do problema, temos ( )( 9, 8) (, 0) 4 ( 0,, 0) V 6, 6 m / s e π Q A V AV ( 0, ) ( 6, 6) 0, m / s Neste exemplo não foi desprezado a energia cinética da água no tanque (V 0), se o diâmetro do tanque for muito grande ( D >> d ), a velocidade (V) pode ser considerado igual à zero. 5

6 Exemplo. A Fig. abaixo mostra o esquema de uma mangueira com diâmetro D 0,03 m que é alimentada, em regime permanente, com ar proveniente de um tanque. O fluido é descarregado no ambiente através de um bocal que apresenta seção de descarga, d, igual a 0,0 m. Sabendo que a pressão no tanque é constante e igual a 3,0 kpa (relativa) e que a atmosfera apresenta pressão e temperatura padrões, determine a vazão em massa e a pressão na mangueira. Solução: Se nós admitirmos que o escoamento ocorre em regime permanente é invíscido e incompressível, nós podemos aplicar a equação de Bernoulli ao longo da linha de corrente que passa por ( ), ( ) e ( 3 ). Assim, p V z p V z p3 V3 ρ γ ρ γ ρ γ z3 Se nós admitirmos que z z z 3 (a mangueira está na horizontal), que V 0 (o tanque é grande) e que p 3 0 (jato livre), temos que p V 3 ( 9 ) ρ p p ρ V ( 0 ) A massa específica do ar no tanque pode ser obtida com a lei dos gases perfeito (utilizando temperatura e pressão absoluta). Assim, ρ 3 [( 3 0) 0 ] ( 86, 9)( 5 73) p 3, 6 kg / m RT 6

7 Assim, nós encontramos que 3 (,. 0 ) 69, m / s 3 0 V3 0, 6 e π π Q3 A3V 3 d V ( 0, 0) ( 69, 0) 5, 4 m / s O valor de V 3 independe do formato do bocal e foi determinado utilizando apenas o valor de p e as hipóteses envolvidas na equação de Bernoulli. A pressão na mangueira pode ser calculada utilizando a Eq. 0 e a equação da conservação da massa (Eq. 5). assim, A e da Eq. 0 V A3V 3 d 0, 0 V A3V 3 / A V3 67 D 0, 03 ( 69, 0) 7, m / s 3 p p ρ V 3, (, 6)( 7, 67) N / m 7

8 Medida e Controle de Fluidos Introdução. Numerosos dispositivos são usados na prática para medir o escoamento de fluidos. As medições de velocidade são feitas com tubos Pitot, medidores de corrente, anemômetros rotativos e outros. As medições de vazão são feitas através de orifícios, tubos, bocais, medidores Venturi e vertedores, cotovelos e numerosas modificações de medidores anacrônicos e de patentes diversas. Um método primário é o de medição direta de volume em certo tempo. A fim de se aplicar inteligentemente os dispositivos hidráulicos, é necessário fazer uso da equação de Bernoulli e do conhecimento adicional das características e coeficientes de cada dispositivos. As fórmulas desenvolvidas para fluidos incompressíveis poderão ser usadas para fluidos compressíveis onde o diferencial de pressão é muito pequeno em relação à pressão total. Coeficiente de descarga. O coeficiente de descarga ( c ) é a relação da descarga real através do dispositivo para a descarga ideal. Este coeficiente pode ser expresso como: c fluxo atual Q fluxo ideal Q A Q g H Quando o coeficiente de descarga ( c ) for determinado experimentalmente, Q c A g H (m 3 s - ) onde A seção reta do dispositivo (m ) H altura de carga total que causa o escoamento, em metros de fluido O coeficiente de descarga também poderá ser escrito em termos do coeficiente de velocidade e do coeficiente de contração, a saber, c cv. c c O coeficiente de descarga não é constante. Para um dado dispositivo, ele varia com o número de Reynolds. 8

9 Coeficiente de velocidade. O coeficiente de velocidade ( c v ) é a razão da velocidade média real na seção reta de um fluxo (jato) para a velocidade média ideal que ocorreria se não houvesse atrito. velocidade média atual V c v velocidade média ideal g H Coeficiente de contração. O coeficiente de contração ( c c ) é a relação da área da seção contraída de um fluxo (jato) para a área da abertura através da qual o fluido se escoa. ( jato) área do fluxo área da abertura c c A jato Ao Perda de carga. A perda de carga em orifícios, tubos, bocais e medidores Venturi é expressa como: Perda de C arg a ( em metro do fluido) V jato c g c Quando esta expressão é aplicada a um medidor Venturi, V jato velocidade na garganta e, c v c. Equacionamento básico. O equacionamento básico é válido para os aparelhos medidores de vazão, que propiciam um aumento de energia cinética em conseqüência da diminuição de pressão estática. As variações são originadas por uma variação de área transversal, como observado no tubo Venturi, nos bocais de fluxo e nas placas de orifício. Medidores de Diferencial de Pressão. O princípio de funcionamento baseiase no uso de uma mudança de área de escoamento, através de uma redução de diâmetro ou de um obstáculo, ou ainda através de uma mudança na direção do escoamento. Estas mudanças de área ou de direção provocam uma aceleração local do escoamento, alterando a velocidade e, em conseqüência, a pressão local. A variação de pressão é proporcional ao quadrado da vazão. São medidores já bastante conhecidos, 9

10 normalizados e de baixo custo. Estima-se que abranjam 50% de utilização na medição de vazão de líquidos. São compostos de um elemento primário e um elemento secundário. O elemento primário está associado à própria tubulação, interferindo com o escoamento e fornecendo o diferencial de pressão. O elemento secundário é o responsável pela leitura deste diferencial e pode ser um simples manômetro de coluna líquida, em suas diferentes versões, ou até mesmo um transdutor mais complexo, com aquisição e tratamento eletrônico do valor de pressão lido. Equação para o Cálculo da Vazão. As equações para o cálculo da vazão podem ser obtidas genericamente para os medidores que apresentam variação de pressão e velocidade. Aplica-se a Equação de Conservação da Massa, bem como a Equação da Conservação da Energia, sendo esta última na sua forma simplificada, que é a Equação de Bernoulli. Assim para o escoamento através de uma redução de área, considerando-o ideal e tomando uma linha de corrente entre os pontos e, conforme a Figura. Figura. Escoamento com estrangulamento A equação de Bernoulli aplicada ao escoamento ideal, entre os pontos e da figura, resulta na equação seguinte: v g p z ρ v g p z ρ onde o primeiro termo representa a energia cinética, o segundo a energia de pressão, proveniente do trabalho de escoamento, enquanto o terceiro termo representa a energia potencial. Idênticas parcelas existem do lado direito da 0

11 equação, para o ponto. Esta igualdade significa que a soma das três parcelas é uma constante ao longo de uma linha de corrente, não havendo perdas por atrito. Através da equação da continuidade, obtemos a equação seguinte, A v A v Das duas equações acima, obtemos a velocidade teórica na seção (), que é representada pela equação p p g γ A A v t ( Z ) Z MEDIDORES. A normalização dos medidores de vazão permite que se construa um destes medidores sem a necessidade de uma calibração do mesmo, recorrendose aos valores publicados do coeficiente de correção (c c ). A obtenção dos coeficientes de correção para todos os medidores requer um trabalho extenso, com a utilização de medidores de diferentes tamanhos, em suas amplas faixas de vazão. Deste modo há interesse no medidor que possua um coeficiente de correção o mais constante possível, o que facilita na obtenção, apresentação e utilização de seus valores. Em geral tem-se o coeficiente como função da relação de diâmetros β e do número de Reynolds. Tubo de Pitot. É um instrumento utilizado para a medição de velocidade de escoamento, tanto internos quanto externos, para liquido ou gases. O tubo de Pitot indica a velocidade em um ponto, em virtude do fato de que ele mede a pressão de estagnação que excede a pressão local estática de [ ρ ( V / g) ]. Em um escoamento aberto, uma vez que a pressão manométrica é nula, a altura que o liquido sobe no tubo mede a taquicarga ou pressão cinética.

12 Pressão estática. É a pressão real ou a pressão termodinâmica que atua no fluido. Pressão Dinâmica. É a pressão decorrente da transformação da energia cinética do fluido em pressão, através de uma desaceleração isoentrópica do mesmo. Pressão Total, de Impacto ou de Estagnação. É a soma da pressão estática com a dinâmica. A sua medição é feita através de uma tomada de pressão voltada contra o escoamento e alinhada com a linha de corrente, de forma a receber o impacto do fluido. Tubo de Venturi. Este é constituído por uma entrada cilíndrica, de uma seção convergente (cone de entrada), uma segunda região cilíndrica (garganta ou entrangulamento) e um cone divergente (difusor). Após este último cone, há um encaixe com a tubulação normal. As tomadas de pressão são colocadas na entrada e na garganta, conforme figura abaixo. A relação entre os diâmetros podem variar de 0,3 e 0,7, sendo o mais comum o valor médio de 0,5. As tomadas de pressão situam-se no meio de cada parte cilíndrica do medidor. Figura. Tubo de Venturi Observa-se que, o tubo de Venturi, causador de menor perda de carga, tem uma utilização mais restrita, provavelmente em virtude de seu formato, que necessita de usinagens internas mais complicadas, comparadas com outros medidores.

13 Placa de Orifício. De concepção mais simples que o tubo de Venturi, este medidor é formado por uma placa com um orifício, instalada transversalmente à tubulação, de modo a causar uma mudança brusca de seção. Esta mudança brusca de seção implica em uma aceleração do escoamento principal, com o aparecimento de regiões de escoamento secundário, antes e depois da placa. O escoamento principal possui um diâmetro igual ao do orifício da placa, mas em função da separação, sofre uma redução de seção ainda maior a jusante da placa. Forma-se então a vena contracta, conforme a Figura. Esta é a região de menor diâmetro, de maior velocidade e de menor pressão. Bocais de Fluxo. É um dispositivo que apresenta uma redução progressiva de área, de modo a apresentar o jato de saída já no seu diâmetro final, sem a formação da vena contracta. Este tipo de medidor de vazão é praticamente intermediário, tanto em relação a custo, como em relação a dissipação de energia comparado ao tipo Venturi e ao tipo placa de orifício. Bocal ou tubo adicional é um tubo curto adatado a um orifício. Tem, quase sempre, secção transversal circular e é disposto normalmente à parede dos reservatórios. Serve para regularizar e dirigir o jato. O seu comprimento deve estar compreendido entre,5d d 5,0D (sendo D o diâmetro). Os bocais geralmente são classificados em: cilíndricos: interiores e exteriores; cônicos: convergentes e divergentes. Dois padrões são os mais utilizados: os bocais ASME (EUA), que possuem um arredondamento elíptico, e os bocais ISA (Europa), com arredondamento pseudoelíptico. Este último é formado pela combinação de dois arredondamentos circulares. Vertedores. Os vertedores são simples aberturas sobre os quais um líquido se escoa. Os vertedores são utilizados na medição da vazão de pequenos cursos d água e canais, assim como no controle do escoamento em condutos livres. Os vertedores medem o fluxo de líquidos em canais abertos, usualmente água. O número de equações empíricas encontrada na literatura especializada é bastante considerável, cada uma delas com suas limitações. Muitos vertedores são retangulares: os vertedores submersos sem contração alguma, geralmente usados para grandes escoamentos, e vertedores contraídos, para pequenos escoamentos. Outros tipos de vertedores são triangular, trapezoidal, parabólico e de escoamento proporcional. Para resultados de precisão o vertedor deveria ser calibrado no lugar, sob condições para as quais foi planejada sua utilização. 3

14 O principal problema prático de um vertedor é a determinação de sua lei de vazão, isto é, f (H. Entre outros, têm influência na vazão, os seguintes Q ) fatores: carga, forma do vertedor, forma da soleira, rugosidade das paredes, altura p do vertedor, nível d água à jusante p, ventilação sob a veia efluente, forma da veia líquida efluente. Entre as várias equações de vertedores podemos citar como as mais utilizadas as de Francis, Bazin e Renbock.. A tubulação de cm de diâmetro da Figura abaixo é usada para transportar água a 0 C. Qual é a velocidade média máxima que pode existir na tubulação, para a qual é garantido um escoamento laminar? RESOLUÇÃO: VD Re v A viscosidade cinemática é encontrada no Apêndice B como sendo v 0-6 m /s. Usando o número de Reynolds de 000, garantindo assim, um escoamento laminar, temos V 000 v D x 0 V 0, m/s 0, 0 Esta velocidade média é bem pequena. Velocidades assim pequenas não são geralmente encontradas em situações reais. EQUAÇÃO DE BERNOULLI V P gh ρ V P gh ρ () Esta é a conhecida equação de Bernoulli, em homenagem a Daniel Bernoulli (700-78). Note as suposições: Escoamento não-viscoso (não há tensões de cisalhamento) 4

15 Escoamento permanente ( V t 0) Ao longo de uma linha de corrente ( V V s) Massa específica constante ( ρ s 0) Referência inercial ( A a na Eq. de velocidade angular) Se a Equação é dividida por g, ela se torna a s V g P h γ V g P γ h A soma dos dois termos ( p h) γ é chamada de carga piezométrica e a soma dos três termos é a carga mecânica total. A pressão p é muitas vezes chamada de pressão estática, a soma dos dois termos V p ρ p T É chamada de pressão total p T ou pressão de estagnação, a pressão em um ponto de estagnação. Pressão estática: Pressão p, geralmente expressa como pressão manométrica. Figura. Medidores de pressão: ( a ) tubo piezométrico; ( b ) tubo de pitot; ( c ) tubo de pitot estático Tubo piezométrico: Medidor projetado para medir pressão estática. Tubo de pitot: Medidor projetado para medir a pressão total. 5

16 Tubo de pitot estático: Medidor projetado para medir a diferença entre a pressão total e a pressão estática.. A carga de pressão estática em uma tubulação de ar (figura abaixo) é medida com um tubo piezométrico e acusa 6 mm de água. Um tubo pitot na mesma localização indica 4 m Solução: A equação de Bernoulli é aplicada entre dois pontos de uma linha de corrente que termina no ponto de estagnação do tubo de pitot. O ponto está corrente a montante e p é a pressão total no ponto ; então, sem nenhuma mudança na elevação. V g P γ P T γ A pressão medida com o tubo piezométrico é p γ h 980 x 0, Pa.Usando a lei de gás ideal para calcular a densidade: ρ p RT x ( 73 0), 03 kg/m 3 Em que a pressão padrão atmosférica padrão, que é Pa (se nenhuma elevação é dada, assumir condições normais) é somada já que a pressão absoluta é necessária na equação anterior. As unidades são verificadas usando-se Pa N/m e J N. m. Então, a velocidade é V ρ ( p p ) T ( 0, 04 0, 06) x 980 V, 4 m/s, 03 6

17 Em que as unidades podem ser verificadas usando kg N.s /m. Para encontrar o número de Mach, demos calcular a velocidade do som, dada por c krt O número de Mach é, então, c, 4 x 87 x m/s V, 44 M 0, 0334 c 343 Obviamente o escoamento pode ser assumido como incompressível, já que M < 0,3. A velocidade teria de ser maior antes que a compressibilidade fosse significativa. 3. Considere o escoamento de ar em torno do ciclista que se move em ar estagnado com velocidade V 0 (veja Figura). Determine a diferença entre as pressões nos pontos () e () do escoamento. Solução: Para um sistema de coordenadas fixo na bicicleta, o escoamento de ar ocorre em regime permanente e com velocidade ao longe igual a V 0. Se as hipóteses utilizadas na obtenção da equação de Bernoulli são respeitadas (regime permanente, escoamente incompressível e invíscido), a equação para solucionar o problema é, p ρ V γ h p ρv γ h Nós vamos considerar que o ponto () está posicionado suficiente longe do ciclista de modo que V V 0 e que o ponto () está localizado na ponta do nariz do ciclista. Nós ainda vamos admitir que h h e V 0 (estas duas hipóteses são razoáveis). Nestas condições, a pressão em () é maior que a pressão em (), ou seja, p p ρ V ρ V0 7

18 4. A Figura mostra um avião voando a 60 km/h numa altitude 3000 m. Admitindo que a atmosfera seja a padrão, determine a pressão ao longo do avião, ponto (), a pressão no ponto de estagnação no nariz do avião, ponto (), e a diferença de pressão indicada pelo tubo de pitot que está instalado na fuselagem do avião. Solução: Nós encontramos na Tab. C. os valores da pressão estática e da massa específica do ar na altitude fornecida, ou seja, p 70, kpa e ρ 0,9093 kg / m 3 Nós vamos considerar que as variações de elevação são desprezíveis e que o escoamento ocorre em regime permanente, é invíscido e incompressível. Nestas condições, resulta na aplicação da equação de Bernoulli, p ρ V γ h p ρ V γ h p ρ V p T Com V 60 km/h 44,4 m/s e V 0 (porque o sistema de coordenadas está solidário ao avião), temos 3 3 ( 70, x 0 8, 96 x 0 ) Pa 7 0 x 0 Pa ( abs) x, 3 0, 9093 x 44, 4 p T 70, 0 Em termos relativos, a pressão no ponto () é igual a 0,896 kpa e a diferença de pressão indicada pelo tubo de Pitot é p p ρ V 0, 896 kpa 5. Por um canal escoa água com uma profundidade de 4 ft (, m) e uma velocidade de 8,0 ft/s (,44 m/s). A água escoa por uma rampa para outro canal 8

19 onde a profundidade é ft (0,6 m) e a velocidade de 40, ft/s (, m/s). Adotando escoamento sem atrito, determinar a diferença de cotas entre os fundos dos canais. Solução: Se a diferença de cotas entre os fundos dos canais é h, então a equação de Bernoulli, entre a superfície superior e a inferior da água, pode ser escrita como, V g P h γ V g P γ h Onde V e V são as velocidades médias. Com a pressão atmosférica nula como referência e o fundo do canal inferior como plano de referência, então h h 4, h, V 8,0, V 40,, p p 0 e ( 8, 0) ( 40, ) g 0 h 4 g 0 h ft (6,7m) 9