CAPÍTULO 3 DINÂMICA DOS FLUIDOS ELEMENTAR EQUAÇÃO DE BERNOULLI 1ª PARTE

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS ENGENHARIA CIVIL E DE MINAS CAPÍTULO 3 DINÂMICA DOS FLUIDOS ELEMENTAR EQUAÇÃO DE BERNOULLI 1ª PARTE Prof. Eliane Justino INTRODUÇÃO Dinâmica dos Fluidos Movimento típico dos fluidos A Dinâmica dos Fluido estuda o comportamento dos fluidos em movimento e as causas que provoca este movimento. Para entender os fenômenos associados aos movimentos dos fluidos é necessário considerar as Leis fundamentais que modelam o movimento das partículas fluidas. Conceito Importante: força e aceleração, Segunda Lei de Newton (F=m.a) o momento da partícula fluida ( de um modo ideal). Com isso se obtém a famosa Equação de Bernoulli que será aplicada a vários escoamentos. 1

2 3.1 SEGUNDA LEI DE NEWTON É usual identificarmos uma aceleração ou desaceleração, quando uma partícula fluida escoa de um local para outro. De acordo com a Segunda lei de Newton, a força líquida que atua na partícula fluido que estamos considerando precisa ser igual ao produto de sua massa e a aceleração que esta força provoca neste elemento. Consideramos apenas os escoamentos em que a viscosidade é nula (invíscidos invíscidos), assim o único mecanismo de transferência de calor presente no escoamento invíscidos é a radiação térmica. (radiação eletromagnética emitida por um corpo em equilíbrio térmico causada pela temperatura do mesmo) Os fluidos invíscidos na realidade não existem, mas como as outras forças presentes no escoamento, tais como as provocadas pela aceleração da gravidade ou pelas diferenças de pressão são superiores a força de cisalhamento, esta pode ser desprezada. 3.1 SEGUNDA LEI DE NEWTON Admitindo que o movimento do fluido é provocado pelas forças de gravidade e de diferença de pressão. Aplicando a Segunda Lei de Newton à partícula fluida, obtemos: (Força Líquida na partícula devida a pressão) + (Força na partícula devida a gravidade = (massa da partícula) x (aceleração da partícula) Para aplicar a Segunda Lei de Newton à partícula fluida (ou a qualquer outro objeto) nós precisamos definir um sistema de coordenadas apropriado para descrever o movimento. O movimento da partícula fluida será tridimensional e transitório, portanto é necessário três coordenadas espaciais e o tempo para descrever adequadamente o movimento. Tem-se se: (x, y, z) coordenadas cartesianas (r, θ, z) coordenadas cilíndricas 2

3 3.1 SEGUNDA LEI DE NEWTON Normalmente o sistema de coordenadas mais apropriado para descrever o fenômeno é definido pela geometria do problema que está sendo considerado. Neste capítulo consideraremos os escoamentos bidimensionais no plano x z, como mostra a figura abaixo. 3.1 SEGUNDA LEI DE NEWTON Pode-se descrever o escoamento em função das acelerações e velocidades das partículas fluidas nas direções x e z. As equações resultantes são normalmente conhecidas como a forma bidimensional das equações de Euler no sistema de coordenadas cartesiano. O movimento de cada partícula fluido é descrito em função do vetor velocidade, V, que é definido como a taxa de variação temporal da posição da partícula. A velocidade da partícula é uma quantidade vetorial, pois apresenta módulo, direção e sentido. 3

4 3.1 SEGUNDA LEI DE NEWTON Quando a partícula muda de posição, ela segue uma trajetória particular, cujo o formato é definido pela velocidade da partícula. A localização da partícula ao longo da trajetória é função do local ocupado pela partícula no instante inicial e de sua velocidade ao longo da trajetória. Se o escoamento é Regime Permanente, nada muda ao longo do tempo em todo o campo de escoamento, todas as partículas que passam num dado ponto. Como no ponto (1), da Figura anterior, seguirão a mesma trajetória, neste caso, a trajetória é uma linha fixa no plano x z. As partículas vizinhas que passam nas vizinhanças imediatas do ponto (1), seguem outras trajetórias que podem apresentar formatos diferentes daquele relativo as partículas que passam pelo ponto (1). 3.1 SEGUNDA LEI DE NEWTON No regime de Escamento Permanente toda partícula fluida escoa ao longo de sua trajetória e seu vetor velocidade é sempre tangente a trajetória. As linhas que são tangentes aos vetores velocidade no campo de escoamento são chamadas de linhas de corrente. 4

5 3.1 SEGUNDA LEI DE NEWTON O movimento da partícula é descrito em função da distância, S = S (t) medida ao longo da linha de corrente e a partir de uma origem conveniente, e do raio de curvatura local da linha de corrente, R = R (S). A distância ao longo da linha de corrente está relacionada com a velocidade da partícula. e o raio de curvatura está relacionado com o formato da linha de corrente. Adicionalmente: coordenada ao longo da linha de corrente S coordenada normal a linha de corrente n 3.1 SEGUNDA LEI DE NEWTON Para aplicar a segunda lei de Newton à partícula que escoa numa linha de corrente, nós precisamos descrever a aceleração da partícula em função da coordenada ao longo da linha de corrente. coordenada da aceleração ao longo da linha de corrente a s coordenada normal a linha de corrente a n a s tem relação com V = V (s) A aceleração ao longo da linha de corrente resulta da variação da velocidade da partícula ao longo da linha de corrente. 5

6 3.1 SEGUNDA LEI DE NEWTON Exemplo: A velocidade da partícula que passa pelo ponto (1) pode ser igual a 30 m/s e igual a 15 m/s quando passa pelo ponto (2). Assim utilizando a regra da cadeia para diferenciação, e lembrando que V = ds/dt dt a componente da aceleração na coordenada s é dada por: A componente normal da aceleração, a aceleração centrífuga, é dada em função da velocidade da partícula e do raio de curvatura da trajetória. Tanto V quanto R podem variar ao longo da trajetória da partícula. 3.1 SEGUNDA LEI DE NEWTON As componentes do vetor aceleração nas direções s e n, a s e a n, são dadas por: e (1) Onde: R raio de curvatura local da linha de corrente ; S distância medida ao longo da linha de corrente a partir de um ponto inicial arbitrário. 6

7 3.1 SEGUNDA LEI DE NEWTON Para determinar as forças necessárias para produzir um dado escoamento, considera-se o diagrama de corpo livre da partícula fluida. Campo de escoamento A partícula que estamos interessados é removida do seu meio imediato e as forças que atuam nas partículas são indicadas F 1, F 2 etc. São desconsideradas a força de viscosidade e tensão superficial. g é constante e atua na vertical, eixo z negativo, e θ ângulo formado entre a linha de corrente e o plano horizontal. 3.2 F=M.A - AO LONGO DE UMA LINHA DE CORRENTE Considere o diagrama de corpo livre. 7

8 3.2 F=M.A - AO LONGO DE UMA LINHA DE CORRENTE A dimensão da partícula da direção normal ao plano da figura é δy) Vetor na direção ao longo da linha de corrente Vetor na direção normal a linha de corrente Considerando o Regime Permanente e aplicando a Segunda Lei de Newton na direção ao longo da linha de corrente. (2) Note que: Aceleração na direção s Volume partícula da 3.2 F=M.A - AO LONGO DE UMA LINHA DE CORRENTE A equação (2) é válida tanto para fluido compressível quanto incompressível, pois ρ não precisa ser constante. A força provocada pela aceleração da gravidade na partícula pode ser escrita: Onde:γ=ρ.g Assim a componente da força na direção da linha de corrente é dada por: Se o ponto que estamos analisando pertence a um trecho horizontal da linha de corrente, temos θ = 0. Neste caso, não existe componente da força peso na direção ao longo da linha de corrente, pois não existe contribuição do campo gravitacional para aceleração da partícula nesta direção. 8

9 3.2 F=M.A - AO LONGO DE UMA LINHA DE CORRENTE Como a pressão não é constante num meio móvel Em regime permanente, tem-se que: Se a pressão no centro da partícula é representada por p, os valores médios nas duas faces perpendiculares a linha de corrente são igual a: e Como a partícula é pequena, pode-se utilizar apenas o primeiro termo da expansão de Taylor para calcular esta pequena variação de pressão, isto é: 3.2 F=M.A - AO LONGO DE UMA LINHA DE CORRENTE Assim, se δfps é a força líquida de pressão na partícula na direção da linha de corrente, segue que: Ou seja: Note que o nível da pressão, não é importante para determinar a força que acelera a partícula fluida. O que produz uma força líquida sobre a partícula é o fato da pressão não ser constante no campo de escoamento. 9

10 3.2 F=M.A - AO LONGO DE UMA LINHA DE CORRENTE O gradiente de pressão, não é nulo é o responsável pela força líquida que atua na partícula. As forças viscosas, representadas por, são nulas porque utilizamos a hipótese de que o fluido é invíscido. Assim, a força líquida que atua sobre a partícula fluida é dada por: (3) 3.2 F=M.A - AO LONGO DE UMA LINHA DE CORRENTE Combinando (2) e (3), tem-se a seguinte equação do movimento ao longo da linha de corrente: (4) A interpretação física da equação (4) é que a variação da velocidade da partícula é provocada por uma combinação adequada do gradiente de pressão com a componente do peso da partícula na direção da linha da corrente. As forças de pressão e peso não são necessariamente iguais num fluido que escoa e o desbalanceamento destas forças provoca uma aceleração, assim, o movimento da partícula. 10

11 EXEMPLO pag. 93 A figura (a) mostra algumas linhas de corrente do escoamento, em regime permanente, de um fluido invíscido e incompressível em torno de uma esfera de raio a. Nós sabemos, utilizando um tópico mais avançado da mecânica dos fluidos, que a velocidade ao longo da linha de corrente A B é dada por: Determine a variação de pressão entre os pontos A (xa= - e Va = Vo) e B (xb = - a e Vb = 0) da linha de corrente mostrada na figura (a). EXEMPLO pag. 93 A Equação (4) pode ser aplicada neste caso, porque o regime de escoamento é permanente e o escoamento é invíscido. Adicionalmente, como a linha de corrente é horizontal, senθ = sem 0 o = 0. Portanto a Equação do movimento ao longo da linha de corrente fica reduzida a: Aplicando a Equação que descreve a velocidade ao longo da linha de Corrente na Equação anterior, podemos obter o termo da aceleração, ou seja; 11

12 EXEMPLO pag. 93 foi trocado s por x porque as duas coordenadas são idênticas ao longo da linha de corrente A B. Note que V(dV/ds) < 0 ao longo da linha de corrente. Assim o fluido desacelera de V o, ao longe da esfera, até a velocidade nula no nariz da esfera (x = -a). Portanto o gradiente de pressão ao longo da linha de corrente é: EXEMPLO pag. 93 Esta variação está indicada na Figura abaixo: Note que a pressão aumenta na direção do escoamento, pois dp/dx > 0 do ponto A para o ponto B. 12

13 EXEMPLO pag. 93 O gradiente de pressão máxima ocorre um pouco a frente da esfera (x = - 1,205 a). Este gradiente de pressão é necessário para que o fluido escoe de A (V a =V o ) para B (V B = 0) EQUAÇÃO DE BERNOULLI A Eq. (4) pode ser rearranjada do seguinte modo: Note que ao longo de uma linha de corrente senθ =dz dz/ ds Que VdV/ds ds = ½ d(v ² )/ ds e que o valor denéconstante ao longo da linha de corrente (dn = 0). Como dp = ( p/ s) ds + ( p/ n) dn, segue que, ao longo de uma linha de corrente, p/ s = dp/ ds. Aplicando estes resultados na Eq. (4) nós obtemos a seguinte equação (que é válida ao longo de uma linha de corrente): Simplificando: (5) Ao longo da linha de corrente 13

14 EQUAÇÃO DE BERNOULLI Integrando a Eq. (5) ao longo da linha de corrente, resulta: (6) Ao longo da linha de corrente Onde C é uma constante de integração que deve ser determinada pelas condições existentes em algum ponto da linha de corrente. Se a massa específica ρ não for constante é preciso saber como esta varia com a pressão, isto não é fácil na maioria das vezes. Ex.: gás. p = ρ. R. T para saber como ρ varia com a pressão é preciso, também, saber comotvaria com a pressão. Mas por enquanto será admitido ρ constante, fluido incompressível. EQUAÇÃO DE BERNOULLI Com a hipótese adicional de que a massa específica é constante, válida para o escoamento de líquido e, também, para os gases desde que a velocidade não seja muito alta. A eq. (6) se reduz (válida para escoamento em regime permanente, incompressível e invíscido). Constante ao longo da linha de corrente (7) A Eq. (7) é conhecida como a Equação de Bernoulli. 14

15 EQUAÇÃO DE BERNOULLI Para que esta Equação de Bernoulli seja válida, tem-se se: os efeitos viscosos foram desprezados; o escoamento ocorre em regime permanente; o escoamento é incompressível; a equação é aplicável ao longo da linha de corrente; A equação é válida tanto para escoamentos planos como tridimensionais, desde que ela seja aplicada ao longo de uma linha de corrente. EXEMPLO 3.2 pag. 95 Considere o escoamento do ar em torno do ciclista que se move em ar estagnado com a velocidade Vo (veja a figura). Determine a diferença entre as pressões nos pontos(1) e(2), do escoamento. Solução: Sistema de Coordenadas fixo na bicicleta, o escoamento de ar ocorre em regime permanente e com velocidade ao longe igual a V 0. Respeitando as condições, aplica-se Eq. de Bernoulli ao longo da linha de corrente que passa pelos pontos (1) e (2). 15

16 EXEMPLO 3.2 pag. 95 Tem-se: Considerando que o ponto (1) está posicionado suficientemente longo do ciclista de modo que V 1 =V 0 e que o ponto (2) está na ponta do nariz do ciclista. Admitindo que z1=z =z2 e V 2 = 0, nestas condições, a pressão em (2) é maior que em (1), ou seja, É interessante notar que não é necessário um conhecimento detalhado da distribuição da velocidade do escoamento para calcular p2-p1, mas apenas as condições de contorno em (1) e (2). EXEMPLO 3.2 pag. 95 É necessário conhecer como varia a velocidade ao longo da linha de corrente para determinar a distribuição de pressão entre os pontos. Nós podemos determinar o valor de V 0 se nós medirmos a diferença de pressão (p 1 p 2 ). Se o ciclista estiver acelerando ou desacelerando, o escoamento será transitório (Vo constante) e a análise que nós realizamos seria incorreta porque a equação (7) só é aplicável a escoamentos em regime permanente. A diferença entre as velocidades nos pontos do escoamento, V 1 e V 2, pode ser sempre controlada por restrições geométricas apropriadas. 16

17 OBSERVAÇÕES EXEMPLOS: 1. Os bocais das mangueiras de jardim são projetados para proporcionar uma velocidade na seção de descarga do bocal maior que aquela na seção de alimentação do bocal. Como mostra a equação de Bernoulli, a pressão no fluido localizado na mangueira precisa ser maior do que aquela na seção de descarga do bocal (se a altura média das seções é a mesma. Portanto é necessário uma diminuição na pressão para que se obtenha um aumento de velocidade. É a queda de pressão no bocal da mangueira que acelera o escoamento de água. 2. De modo análogo um aerofólio é projetado para que a velocidade média do escoamento sobre a superfície superior seja maior que aquela do escoamento na região inferior do aerofólio. A Equação de Bernoulli mostra que a pressão média na superfície inferior do aerofólio é maior do que na superior. O resultado desta diferença de pressão é uma força líquida para cima e que é denominada sustentação 3.3 APLICAÇÃO DE F=M.A NA DIREÇÃO NORMAL À LINHA DE CORRENTE Aplicando a Segunda Lei de Newton na direção normal a linha de corrente. Muitos escoamentos apresentam linhas de corrente praticamente reta e o escoamento pode ser considerado unidimensional, já que, as variações dos parâmetros na direção perpendicular às linhas de corrente podem ser desprezadas em relação as variações encontradas ao longo da linha de corrente. Só que há alguns escoamentos que é importante considerar os efeitos normais, um exemplo, é a região de baixa pressão no centro de um tornado (olho do tornado ) que pode ser explicada pela Segunda Lei de Newton numa direção normal a linha de corrente do tornado. Aplicando a Segunda Lei de Newton: 17

18 3.3 APLICAÇÃO DE F=M.A NA DIREÇÃO NORMAL À LINHA DE CORRENTE Admitindo que o regime de escoamento é permanente e que a aceleração normal é: Onde: R é o raio de curvatura local da linha de corrente. Admitimos, também, que a únicas forças importantes são as devidas a pressão e a gravidade. A componente do peso (força gravitacional) na direção normal à linha de corrente é: Se a linha de corrente é vertical no ponto em que estamos interessados, θ=90 90 e não existe componente da força peso na direção normal ao escoamento 3.3 APLICAÇÃO DE F=M.A NA DIREÇÃO NORMAL À LINHA DE CORRENTE Se a pressão no centro da partícula épos valores nas faces superior e inferior da partícula : e Como a partícula é pequena, pode-se utilizar apenas o primeiro termo da expansão de Taylor para calcular esta pequena variação de pressão, isto é: Sendo δfpn a força líquida devida a variação de pressão na direção normal à trajetória, tem-se: ou 18

19 3.3 APLICAÇÃO DE F=M.A NA DIREÇÃO NORMAL À LINHA DE CORRENTE Assim, a força líquida que atua na direção normal a linha de corrente mostrada na figura: como: E lembrando que ao longo da normal à linha de corrente cosθ = dz/ dn, a Equação do movimento na direção normal à linha de corrente é expressa por: 3.3 APLICAÇÃO DE F=M.A NA DIREÇÃO NORMAL À LINHA DE CORRENTE Note: A mudança na direção do escoamento de uma partícula fluida, isto é, uma trajetória curva, R <, é realizada pela combinação apropriada do gradiente de pressão e da componente da força peso na direção normal da linha de corrente. Uma velocidade, ou massa específica, mais alta e um raio de curvatura da linha de corrente mais baixo requer desbalanceamento maior para produzir movimento. Por exemplo, se desprezamos o efeito da gravidade (como normalmente é feito nos escoamentos de gazes) ou se o escoamento ocorre num plano horizontal (dz dz/ dn = 0), a equação do movimento reduz a: 19

20 3.3 APLICAÇÃO DE F=M.A NA DIREÇÃO NORMAL À LINHA DE CORRENTE Esta equação indica que a pressão aumenta com a distância para fora do centro de curvatura (dp dp/ dn é negativo porque ρv 2 /R é positivo) o sentido positivo de n é para dentro da linha de corrente curvada. Assim, a pressão fora de um tornado (pressão atmosférica típica) é maior que aquela no centro do tornado. Esta diferença de pressão é necessária para balancear a aceleração centrífuga associada com as linhas curvas do escoamento. EXEMPLO 3.3 pag. 97 As Figuras abaixo mostram dois escoamentos com linhas de correntes circulares. A distribuições de velocidade para estes escoamentos são: V= C 1 r - para o caso (a) V=C 2 /r - para o caso (b) Onde C 1 e C 2 são constantes. 20

21 EXEMPLO 3.3 pag. 97 Determine a distribuição de pressão, p=p(r), para cada caso sabendo que p=p 0 em r=r 0. SOLUÇÃO: Admitindo que o escoamento é invíscido, incompressível, ocorre em regime permanente e que as linhas de corrente pertencem a um plano horizontal (dz/dn = 0). Como as linhas de corrente são circulares, a coordenada n aponta num sentido oposto ao da coordenada radial. Assim, δ/δn = - δ/δr e o raio de curvatura é dado por R = r. Nestas condições a Equação do movimento na direção normal a Linha de corrente é: EXEMPLO 3.3 pag. 97 Aplicando a distribuição de velocidade do caso (a) na Equação acima, tem-se; No caso (b) A pressão aumento com o raio nos dois casos porque δp/δr > 0. 21

22 EXEMPLO 3.3 pag. 97 A integração destas Equações em relação a r e considerando p=p 0 em r=r 0 resulta em: para o caso (a) para o caso (b) As distribuições de pressão estão esboçadas na Figura a seguir; EXEMPLO 3.3 pag. 97 Distribuição de Pressão Considerando o Raio 22

23 EXEMPLO 3.3 pag. 97 As distribuições de pressão necessárias para balancear as acelerações centrífugas nos casos (a) e (b) não são iguais porque as distribuições de velocidade são diferentes. De fato, a pressão no caso (a) aumenta sem limite quando r enquanto que a pressão no caso (b) se aproxima de um valor finito quando r (apesar dos formatos das linhas de corrente serem os mesmos nos dois casos). Fisicamente, o caso (a) representa uma aproximação de corpo rígido (pode ser obtida numa caneca de água sobre uma mesa giratória) e o caso (b) representa um vórtice livre que é uma aproximação de um tornado ou do movimento da água na vizinhança do ralo de uma pia. REARRANJO DA EQUAÇÃO DO MOVIMENTO AO LONGO DA NORMAL A LINHA DE CORRENTE Se multiplicarmos a Equação do movimento na direção normal a linha de corrente por dn e dividir pela massa específica, utilizarmos a relação p/ n = dp/dn, se s é constante e integrarmos a Equação Resultante, tem-se:. Precisa-se saber como varia a massa específica do fluido com a pressão e como a velocidade do escoamento e o raio de curvatura variam com n para integrarmos esta Equação. Se o escoamento é incompressível, a massa específica é constante e o primeiro termo da equação fica igual a p/ρ. 23

24 REARRANJO DA EQUAÇÃO DO MOVIMENTO AO LONGO DA NORMAL A LINHA DE CORRENTE É impossível integrar o segundo termo da última Equação sem o conhecimento das relações V = V(s,n) e R = R(s,n). Assim, a forma final da Segunda Lei de Newton aplicada na direção normal à Linha de Corrente num escoamento invíscido, incompressível e em regime permanente é: É importante lembrar que é preciso tomar muito cuidado na aplicação desta Equação nos casos onde as hipóteses envolvidas na sua derivação forem violadas. FORMA EQUIVALENTE DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI Uma forma equivalente da Equação de Bernoulli é: É obtida dividindo todos os termos pela pelo peso específico do fluido, γ. Os termos apresentam dimensão de energia por peso (LF/F=L) ou comprimento (metros) e representa um tipo de carga. Z - é o termo de elevação, está relacionado com a energia potencial da partícula e é chamado de carga de elevação. é denominada de carga de pressão e representa o peso de uma coluna de líquido necessária para produzir a pressão p. 24

25 FORMA EQUIVALENTE DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI é a carga de velocidade e representa a distância vertical necessária para que o fluido acelere do repouso até a velocidade V numa queda livre (desprezando o atrito). A Equação de Bernoulli estabelece que a soma da carga de pressão, velocidade e elevação é constante ao longo da Linha de Corrente. 3.4 INTERPRETAÇÃO FÍSICA A aplicação de F = m.a nas direções ao longo da Linha de Corrente e na direção normal à Linha de Corrente resulta em: Sobre as seguintes hipóteses: Escoamento em Regime Permanente ; Fluidos Invíscidos; Fluidos Incompressíveis. É necessário que exista um desbalanço de forças devidas ao campo de pressão e a gravidade, para que haja movimentação do fluido. 25

26 3.4 INTERPRETAÇÃO FÍSICA Existem 3 processos envolvidos no escoamento: Massa multiplicada pela aceleração: A pressão ( o termo p); Peso ( o termo γz). A Equação que descreve o movimento ao longo da uma Linha de Corrente (L.C), resultante da integração da Equação do movimento, que representa o princípio do Trabalho Energia. Que é definido por 3.4 INTERPRETAÇÃO FÍSICA O trabalho realizado sobre uma partícula por todas as forças que atuam na partícula é igual a variação de energia cinética da partícula A Equação de Bernoulli é a formulação matemática deste Princípio. Quando uma partícula se move, tanto a força gravitacional quanto as forças de pressão realizam trabalho sobre a partícula. γz e p são relacionados ao trabalho realizada pela força peso e força de pressão. relaciona-se a energia cinética da partícula. 26

27 EXEMPLO 3.4 pag. 100 Considere o escoamento de água mostrado na Figura abaixo. A força aplicada no êmbolo da seringa produzirá uma pressão maior do que a atmosférica no ponto (1) do escoamento. A água escoa pela agulha, ponto (2), com uma velocidade bastante alta e atinge o ponto (3) no topo do jato. Discuta utilizando a equação de Bernoulli, a distribuição de energia nos pontos (1), (2) e (3) do escoamento. EXEMPLO 3.4 pag. 100 SOLUÇÃO: Se as hipóteses (regime permanente, invíscido e escoamento incompressível) utilizadas na s obtenção da Equação de Bernoulli são aproximadamente válidas, nós podemos analisar o escoamento com esta equação. De acordo com a Equação a soma dos três tipos de energia (cinética, potencial e pressão) ou cargas (velocidade, elevação e pressão) precisam permanecer constante. A próxima tabela indica as grandezas relativas de cada uma destas energias nos três pontos mostrados na Figura. 27

28 EXEMPLO 3.4 pag. 100 Observe que os valores associados aos diferentes tipos de energia variam ao longo do escoamento da água. Um modo alternativo de analisar este escoamento é o seguinte: O gradiente de pressão entre (1) e (2) produz uma aceleração para ejetar água pela agulha; EXEMPLO 3.4 pag. 100 A gravidade atua na partícula entre (2) e (3) e provoca a paralisação da água no topo de vôo. Se o efeito do atrito (viscoso) é importante nós detectaremos uma perda de energia mecânica entre os pontos (1) e (3). Assim, para um dado p 1, a água não será capaz de alcançar a altura indicada na Figura. Tal atrito pode surgir na agulha (veja o Cap. 8, escoamento em tubo) ou entre o jato d água e o ar ambiente (veja o Cap. 9, escoamento externo). 28

29 CONSIDERAÇÕES É necessária uma força líquida para acelerar qualquer massa. A aceleração, num escoamento em regime permanente, pode ser interpretada como o resultado de dois efeitos distintos da mudança de velocidade ao longo da linha de corrente e da mudança de direção se a linha de corrente é retilínea. A interpretação da Equação do movimento ao longo da Linha de Corrente leva em consideração a variação de velocidade (variação de energia cinética) e resulta na Equação de Bernoulli. A interpretação da Equação do movimento na Direção normal à Linha de Corrente leva em consideração a aceleração centrífuga (V 2 /R) e resulta em: CONSIDERAÇÕES É necessário existir uma força líquida, dirigida para o centro de curvatura, quando uma partícula fluida se desloca ao longo de uma trajetória curva. Sob estas condições, a Equação: Esta Equação mostra que esta força pode ser tanto gravitacional ou devida a pressão ou combinação de ambas. Em muitas situações, as linhas de correntes são quase retilíneas (R = ). Neste casos, os efeitos centrífugas são desprezíveis e a variação de pressão na direção normal as linhas de correntes é a hidrostática (devida a gravidade) mesmo que o fluido esteja em movimento. 29

30 EXEMPLO 3.5 pag. 101 Considere o escoamento em regime permanente, incompressível e invíscido mostrado na Figura abaixo. As linhas de correntes são retilíneas entre as seções A e B e circulares entre as seções C e D. Descreva como varia a pressão entre os pontos (1) e (2) e entre os pontos (3) e (4) EXEMPLO 3.5 pag. 101 SOLUÇÃO: Com as hipóteses fornecidas e o fato de que R = no trecho limitado por A e B, a aplicação da Equação; Resulta em: A constante pode ser determinada a partir da avaliação de variáveis conhecidas em duas posições. Utilizando p 2 = 0 (pressão relativa), z 1 = 0 e z 2 = h 2-1, tem-se: 30

31 EXEMPLO 3.5 pag. 101 Note que a variação de pressão na direção vertical é a mesma daquela onde o fluido está imóvel porque o raio de curvatura da linha de corrente no trecho analisado é infinito. Entretanto, se aplicarmos a Equação; Nos pontos (3) e (4), obtém-se (utilizando dn = -dz): Como p 4 =0 e z 4 - z 3 = h 4-3, obtém-se: EXEMPLO 3.5 pag. 101 Precisa-se conhecer com V e R variam com z para avaliar esta integral. Entretanto, por inspeção, o valor da integral é positiva. Assim, a pressão em (3) é menor do que o valor da pressão hidrostática, γh 4-3. Esta pressão mais baixa, provocada pela curvatura da linha de corrente, é necessária para acelerar o fluido em torno da trajetória curva. Note que não aplicamos a Equação de Bernoulli: 31

32 EXEMPLO 3.5 pag. 101 Na direção normal as linhas de corrente de (1) para (2) ou de (3) para (4). Em vez disto, utilizamos a Equação: Isto se deve ao fato de que, os pontos pertencem a Linhas de corrente distintas, e isso infringe uma das hipóteses da utilização da Equação de Bernoulli, de que esta Equação só é aplicada a partículas fluidas que pertencem a mesma Linha de Corrente. Como será discutido na Seção 3.6, a aplicação da Equação de Bernoulli na direção normal a linhas de corrente (em vez de ao longo delas) pode levar a sérios erros. 3.5 PRESSÃO ESTÁTICA, DINÂMICA, DE ESTAGNAÇÃO E TOTAL A Pressão de Estagnação e Dinâmica são conceitos que podem ser relacionados a Equação de Bernoulli. Estas Pressões surgem da conversão de Energia Cinética do Fluido em Pressão quando o fluido é levado ao Repouso. Os termos da Equação de Bernoulli apresentam dimensões de força por unidade de área. O Primeiro Termo, p, é a pressões termodinâmicas no fluido que escoa. Para medir a pressão termodinâmica, devemos nos mover solidariamente ao fluido, ou seja, de um modo estático em relação ao fluido, por este motivo, esta pressão é denominada Pressão Estática. Um outro modo de medir a Pressão Estática é utilizando um Tubo Piezométrico instalado numa superfície plana., do modo indicado no ponto (3) da Figura a seguir. 32

33 3.5 PRESSÃO ESTÁTICA, DINÂMICA, DE ESTAGNAÇÃO E TOTAL Medição das pressões Estática e Dinâmica. 3.5 PRESSÃO ESTÁTICA, DINÂMICA, DE ESTAGNAÇÃO E TOTAL Como foi visto no Exemplo 3.5, a pressão no fluido em (1) é p 1 = γ h p 3 (igual a pressão se o fluido estivesse em repouso). Das considerações sobre manômetros apresentados no Capítulo 02, nós sabemos que p 3 = γ h 4-3. Assim, como h h 4-3 = h, segue que p 1 = γh. O Terceiro Termo da Equação de Bernoulli, γz, é denominado Pressão Hidrostática pela relação óbvia com a variação de Pressão Hidrostática discutida no Capítulo 02. Ele não é realmente uma pressão mas representa a mudança possível na pressão devida a variação de energia potencial do fluido como resultado na alteração de elevação. O Segundo termo da equação de Bernoulli, ρv 2 /2 é denominado Pressão Dinâmica. Sua interpretação pode ser vista na Figura a seguir. 33

34 3.5 PRESSÃO ESTÁTICA, DINÂMICA, DE ESTAGNAÇÃO E TOTAL Medição das pressões Estática e Dinâmica. 3.5 PRESSÃO ESTÁTICA, DINÂMICA, DE ESTAGNAÇÃO E TOTAL Considerando a pressão na extremidade do pequeno tubo inserido no escoamento e apontando para a montante do escoamento. Após o término do movimento inicial transitório, o líquido preencherá o tudo até uma altura H. O fluido no tubo, incluindo aquele na ponta do tubo, (2) estará imóvel, ou seja, V 2 = 0. Nestas condições o ponto (2) será denominado um Ponto de Estagnação. Se aplicarmos a Equação de Bernoulli entre os pontos (1) e (2), utilizarmos V 2 = 0 e admitirmos que z 1 = z 2, é possível obter. Assim, a pressão no Ponto de Estagnação é maior do que a Pressão estática, p 1, de ρv 2 1 /2, ou seja, o valor da pressão dinâmica. 34

35 3.5 PRESSÃO ESTÁTICA, DINÂMICA, DE ESTAGNAÇÃO E TOTAL É possível mostrar que só existe um Ponto de Estagnação em qualquer corpo móvel colocado num escoamento de fluido. Alguns fluidos escoa sobre e algum abaixo do objeto. A linha divisória (ou superfície para o escoamento bidimensionais) é denominada Linha de Corrente de Estagnação e termina no ponto de Estagnação (Pressão máxima e velocidade nula). Para objetos simétricos (tal como uma esfera) o Ponto de Estagnação está localizado na frente do objeto, como mostrado na Figura abaixo. 3.5 PRESSÃO ESTÁTICA, DINÂMICA, DE ESTAGNAÇÃO E TOTAL Para objetos não simétricos tal como um avião, como mostrado na Figura abaixo, a localização do Ponto de Estagnação não é óbvia. Se os efeitos de elevação podem ser desprezados, a Pressão de Estagnação, p + ρv 2 /2 é a máxima pressão que uma linha de corrente pode apresentar, isto é, toda Energia Cinética do fluido é convertida num aumento de Pressão. 35

36 3.5 PRESSÃO ESTÁTICA, DINÂMICA, DE ESTAGNAÇÃO E TOTAL A soma das Pressões Estática, Hidrostática e Dinâmica é denominada Pressão Total, p T. A Equação de Bernoulli estabelece que a Pressão Total permanece constante ao longo da Linha de Corrente, ou seja: Novamente, é preciso que se verifique as hipóteses utilizadas na derivação desta Equação são respeitadas no escoamento que estamos considerando. Os conhecimentos dos valores de Pressões Estática e Dinâmica no escoamento nos permite calcular a velocidade local do escoamento e esta é a base do funcionamento do tubo de Pitot Estático, mostrado na Figura a seguir: 3.5 PRESSÃO ESTÁTICA, DINÂMICA, DE ESTAGNAÇÃO E TOTAL A Figura acima mostra dois tubos concêntricos que estão conectados a dois medidores de pressão (ou a um manômetro diferencial) de modo que os valores de p 3 e p 4 (ou a diferença p 3 p 4 ) pode ser determinada. 36

37 3.5 PRESSÃO ESTÁTICA, DINÂMICA, DE ESTAGNAÇÃO E TOTAL Note que o tubo central mede a Pressão de Estagnação (na sua extremidade exposta ao escoamento) se a variação de elevação é desprezível. Onde p e V são a pressão e a velocidade a montante do ponto (2). O Tubo externo contém diversos furos pequenos localizados a uma certa distância da ponta de modo que, este medem a Pressão Estática. Se a diferença de elevação entre os pontos (1) e (4) é desprezível. Combinando as duas última equações, tem-se: 3.5 PRESSÃO ESTÁTICA, DINÂMICA, DE ESTAGNAÇÃO E TOTAL Esta última Equação pode se arranjada da seguinte forma; A forma dos tubos de Pitot Estático utilizado para medir velocidade em experimentos varia consideravelmente. A Figura abaixo apresenta alguns tipos usuais de tubos de Pitot Estático. 37

38 EXEMPLO 3.6 pag. 104 A Figura abaixo mostra um avião voando a 160 km/h numa altitude de 3000 m. Admitindo que atmosfera seja a padrão, determine a pressão ao longe do aviação, ponto (1), a pressão no ponto de estagnação no nariz do avião, ponto (2), e a diferença de pressão indicada pelo tubo de Pitot que está instalado na fuselagem do avião. EXEMPLO 3.6 pag. 104 SOLUÇÃO: Nós encontramos na Tab. C.1 os valores da pressão estática e da massa específica do ar na altitude fornecida, ou seja: p 1 = 70, kpa e ρ = 0,9093 kg/m 3 Nós vamos considerar que as variações de elevação são desprezíveis e que o escoamento ocorre em regime permanente, é invíscido e incompressível. Nestas condições, a aplicação da Equação de Bernoulli resulta em; Como V 1 = 160 km/h = 44,4 m/s e V 2 = 0 ( porque o sistema de coordenada está solidário ao avião), tem-se: 38

39 EXEMPLO 3.6 pag. 104 Em termos relativos, a pressão no ponto (2) é igual a 0,896 kpa e a diferença de pressão indicada no tubo de Pitot é; Nós admitimos que o escoamento é incompressível a massa específica permanece constante de (1) para (2). Entretanto como ρ = p/rt, uma variação na pressão (ou temperatura) causará uma variação da massa específica. Para uma velocidade relativamente baixa, a relação entre a variação na massa específica é desprezível. Entretanto, se a velocidade é alta, torna-se necessário utilizar os conceitos de escoamento compressível para obter resultados precisos. CONSIDERAÇÕES O Tubo de Pitot é um instrumento simples para medir a velocidade de escoamento. Seu uso depende da habilidade de medir as pressões de Estagnação e Estática do escoamento. É necessário tomar certos cuidados para obter estes valores adequadamente. Por exemplo, uma medição precisa da pressão requer que nenhuma energia cinética do fluido seja convertida num aumento de pressão no ponto de medida. Isto requer um furo bem usinado e sem a presença de imperfeições. Como indicado nas Figuras a baixo, tais imperfeições podem provocar uma leitura incorreta da pressão (o valor medido pode ser maior ou menor do que a pressão estática real) 39

40 CONSIDERAÇÕES A pressão varia ao longo da superfície do corpo imerso no escoamento desde a Pressão de Estagnação (Ponto de Estagnação) até valores que podem ser menores que a Pressão Estática ao longe do corpo (na linha de corrente livre). Uma variação típica de pressão num tubo de Pitot está indicado na Figura abaixo. Distribuição típica de pressão ao longo de um tubo de Pitot CONSIDERAÇÕES É importante que os furos utilizados para a medida de pressão estejam localizados de modo a assegurar que a Pressão Medida é realmente igual a Pressão Estática Real. É sempre difícil alinhar o tubo de Pitot com a direção do escoamento. Qualquer desalinhamento produz um escoamento não simétrico em torno do tubo de Pitot e isto provocará erros. Normalmente desalinhamento de 12 a 20º (dependendo do projeto do tubo de Pitot que está sendo utilizado) provocam erros menores que 1% em relação a medida obtida com um alinhamento perfeito. É interessante ressaltar que, geralmente, é mais difícil medir a Pressão Estática do que a Pressão de Estagnação. 40

41 CONSIDERAÇÕES Um dispositivo utilizado para determinar a direção do escoamento e sua velocidade é o tubo de Pitot com três furos, como mostrado na Figura abaixo. Seção transversal de um tubo de Pitot com três furos (para a determinação da direção do escoamento) Os três furos são usinados num pequeno cilindro e são conectados a três transdutores de pressão. O cilindro é rotacionado até que a pressão nos dois furos laterais se tornem iguais e, assim, indicando que o furo central aponta diretamente para a montante do escoamento. CONSIDERAÇÕES O Furo Central mede a Pressão de Estagnação. Os dois furos laterais estão localizados num ângulo específico (β = 29,5º) de modo que eles medem a Pressão Estática. A velocidade de escoamento é obtida com V = [2(p 2 p 1 )/ρ] 1/2. A discussão anterior só é válida para escoamento incompressível. Quando a velocidade é alta, os efeitos da compressibilidade do fluido se tornam importante (a massa específica não permanece constante) e outros fenômenos ocorrem. Os conceitos de Pressão Estática, Dinâmica, Estagnação e Pressão Total são importante e muito úteis na análise dos escoamento 41