UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA ENG 008 Fenômenos de Transporte I A Profª Fátima Lopes

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1 Fluido Newtoniano Viscosidade dos fluidos: Definimos fluido como uma substância que se deforma continuamente sob a ação de um esforço cisalante. Na ausência deste esforço, ele não se deformará. Os fluidos podem ser classificados de acordo com a relação entre a tensão cisalante e a taxa de deformação do fluido. Newtonianos: são fluidos nos quais a tensão cisalante é diretamente proporcional à taxa de deformação. Os fluidos mais comuns tais como água, ar e gasolina são fluidos Newtonianos. Não-Newtonianos: são fluidos nos quais a tensão cisalante não é diretamente proporcional à taxa de deformação. Exemplos: sangue, alguns tipos de óleos lubrificantes, certas suspensões, tenso-ativos, pastas e polímeros de elevado peso molecular. Considerando o comportamento de um elemento de fluido entre duas placas infinitas, como indicado na figura que se segue, do mesmo modo que antes, vamos supor que entre a placa móvel e a fixa existe um fluido. Repetindo a experiência anterior, observaríamos: a) A camada que está em contato com a placa fixa não se moveria enquanto que a que toca a placa móvel se deslocaria com ela; b) Seja qual for a força F, a placa móvel se acelera até alcançar uma velocidade limite ; c) Cada camada recebe uma quantidade de movimento que é comunicada à camada inferior. Assim, uma substância como a água e o ar deforma-se continuamente por aplicação de um esforço cisalante, enquanto que um sólido de Hooke (o elástico) sofre uma deformação finita. Dl A A B B F y Da x C l Fig..1 - Fluido D 60

2 A velocidade limite que alcança a placa móvel é diretamente proporcional à distância entre as placas e à força aplicada F, porém inversamente proporcional à área A da placa. Então: F A F τ A Supondo: t 0 fluido parado t 0 + Dt fluido com a configuração da figura.1 (1) Então, Dl entre A e A : Dl Dt () () deduzida a partir da definição de velocidade (v d/t d v t) Para valores muito pequenos do ângulo Da: Dl Dl 1 sen Da Da pequeno 1 1 sen Da Da Da Dl Da Então De onde: Dl Da Dt (3) α t (4) De (1) e (4) resulta: α (5) t τ Fazendo Dt 0 e introduzindo uma constante de proporcionalidade: 61

3 α τ µ t ou como para um fluido a é função apenas do tempo: dα µ d t τ (6) A equação (6) estabelece que a velocidade de deformação angular é proporcional ao esforço tangencial. Qualquer substância que satisfaz à equação (6) denomina-se Fluido Newtoniano, em onra de Sir Isaac Newton ( ), que foi o primeiro a formular a lei de fricção dos fluidos. A constante de proporcionalidade é camada de COEFICIENE DE VISCOSIDADE ABSOLA ou VISCOSIDADE DINÂMICA e é designada por m. A equação (6) será exposta de outra forma a qual será usada nas formulações que aparecerão durante o curso. Se na figura.1 a velocidade das partículas compreendidas entre os pontos A e C e B e D varia linearmente, temos que: y v v (7) y De (5): Regime estabelecido: e são constantes v y v y v y α τ t v τ µ y (8) (5) 6

4 Como v v(y) d v τ µ d y (9) d v τ x yx µ d y com v x v x (y) τ yx tensão atuando sobre o plano y (xz) na direção x Vetorialmente: τ µ v Então m é uma constante de proporcionalidade que vai dizer sobre a resistência do fluido ao escoamento. Para τ constante quanto maior v, menor a m Dimensões de m: µ µ [ ] M L L L L M L [ ] [ ] F L força por unidade de área e por unidade de gradiente de velocidade nidades de m: Sistema Métrico: CGS g/cm s dina s/cm 1 poise 100 cp SI (MKS) kg/m s N s/m Sistema Inglês: FPS lbm/ft s pdl s/ft Engenaria slug/ft s lbf s/ft (Britis Engineering System) gravitacional 63

5 Viscosidade cinemática n: Além do coeficiente de viscosidade absoluta é muito utilizado na prática o coeficiente de viscosidade cinemática. sendo µ ν ρ µ g γ ρ massa específica γ peso específico ( γ ρ g) Dimensões de n: µ ν ρ M L 1 1 [ ] [ ] L M L nidades de n: Sistema Métrico: 3 1 CGS SI (MKS) cm /s stokes 100 centistokes m /s stokes 10 6 centistokes Sistema Inglês: FPS ft /s Engenaria ft /s (Britis Engineering System) gravitacional Referências: CRANE Viscosidade de vapor - A- Viscosidade da água A-, A-3 Viscosidade de produtos petrolíferos líquidos A-3 Viscosidade de vários líquidos A-4 Viscosidade de gases e idrocarbonetos (vapor) A-5 Viscosidade de vapores refrigerantes A-5 64

6 Problema: Se o espaço entre duas placas planas paralelas é lubrificado com água a 50 o C, calcular a força necessária para manter a placa superior com uma velocidade 3 m/s, supondo a placa inferior parada. Sabe-se que as placas apresentam uma área de 0,93 m e que a distância entre elas é de 0,064 cm. Supor o perfil de velocidades linear. F y d 0,064 cm x 3 m/s m 0,59 cp (à 50 o C) Ref: Perry, Jon H., "Cemical Engineers' Handbook", Fourt Edition, Páginas e µ 0,59 cp 5,9 x 10-3 poise 5,9 x 10-3 dina s/cm H O d v τ µ d y τ F µ A dv F A µ dy dv dy Como o perfil é linear: v A y + B C.C. 1: para y 0 v 0 C.C. : para y d v Substituindo na equação da reta a condição de contorno 1: B 0 Substituindo a condição de contorno : 65

7 A d A /d Então, dv v y d dy d Substituindo, dv F A µ dy, onde: A 0,93 m 9300 cm 9,3 x 10 3 cm m 5,9 x 10-3 dina s/cm 3 x 10 cm/s d 6,4 x 10 - cm 3 3 dina s 3 10 cm s F 9,3 10 cm 5,9 10 cm 6,4 10 cm F, dina Observação: Variação da viscosidade dos fluidos com a temperatura: A viscosidade de um gás aumenta com a temperatura: GÁS m A viscosidade nos líquidos diminui com a temperatura: LÍQIDO mfl A resistência de um fluido ao cisalamento depende da coesão e da velocidade de transferência da quantidade de movimento. LÍQIDOS: forças de coesão muito maiores que nos gases. A coesão parece ser a causa predominante da viscosidade em um líquido e como a coesão diminui com a temperatura, a viscosidade segue o mesmo comportamento. GÁS: forças de coesão muito pequenas. Sua resistência ao cisalamento é principalmente o resultado da transferência da quantidade de movimento. 66

8 Equação de estado: Como já foi dito anteriormente, o escopo da Mecânica dos Fluidos consiste em aplicar as leis gerais da Mecânica para substâncias fluidas. Acontece que, freqüentemente, os sistemas fluidos estão sujeitos a mudanças termodinâmicas, como por exemplo, quando energia sob a forma de calor ou trabalo é intercambiada entre o sistema e suas vizinanças. Estas mudanças termodinâmicas alteram o estado da substância e conseqüentemente seu movimento. A equação básica que descreve a relação entre as propriedades termodinâmicas em todos os estados do sistema é camada de equação de estado. Dependendo da substância esta equação pode ser simples ou complicada. Felizmente, para a maioria das substâncias que apresentam interesse na engenaria, a equação de estado toma uma forma matemática muito simples, para as substâncias puras ou omogêneas. onde: r massa específica p pressão temperatura absoluta ( p, ) ρ f (1) m exemplo bastante conecido é a equação dos gases perfeitos: p V n R () onde, n é o número de moles da substância e R a constante universal dos gases. Para n 1 V que é definido como sendo o volume específico que nada mais é do que o inverso da massa específica. em-se então: r p/r (3) Compressibilidade e expansão térmica: Como foi visto no item anterior, a massa específica é o recíproco do volume específico para um sistema contendo um mol de uma dada substância. Deste modo, a equação de estado pode ser expressa em função do volume ao invés da massa específica, como é o caso da equação (). Genericamente tem-se: ( ) p φ, (4) 67

9 De acordo com as regras de diferenciação, a variação da pressão de um sistema é determinada em termos das variações de volume e temperatura desse sistema, na forma: dada por: p p p + Para pequenas variações de pressão, isto é, para p 0 a equação (5) será p p p + p p p p p p p lim p 0 0 ( ) No limite quando p 0: ( ) ( ) ( p ) ( p ) (5) Logo: P p ( p ) ( p ) (6) Na realidade a equação (6) pode ser considerada como a forma diferenciada da equação (4), que é a equação de estado de uma substância pura. As três derivadas parciais que aparecem na equação (6) têm significado físico especial. Por definição, a quantidade: 1 β (7) p é o coeficiente de expansão térmica. Este coeficiente descreve a variação de volume produzida devido à variação de temperatura quando o processo é isobárico, isto é, ocorre a pressão constante. De maneira análoga o coeficiente de compressibilidade é definido como: 1 β 1 (8) p 68

10 Este coeficiente mede a variação percentual de volume devido à variação de pressão quando o processo se desenrola a uma temperatura constante. Finalmente, a terceira derivada é o coeficiente de tensão. 1 p β (9) p Se o volume é mantido constante, este coeficiente indica a variação de pressão devido à variação de temperatura. Exemplo ilustrativo: Calcular os 3 coeficientes β, β 1 e β, para um mol de gás perfeito nas C.N..P. A equação de estado é dada por: Como: p R 1 R 1 1 β β p 73,16 + p p β 1 p p R p p ( 5) K 1 p 1 β1 1 14,7 psi β 1 p p p R p β 1 1 ( 73,16+ 5) K 69