ENTECA 2003 IV ENCONTRO TECNOLÓGICO DA ENGENHARIA CIVIL E ARQUITETURA

Transcrição

1 4 ENTECA RESOLUÇÃO DE PÓRTICOS PLANOS ATRAVÉS DA ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS Marcio Leandro Micheim Acadêmico Engenharia Civi Universidade Estadua de Maringá e-mai: Ismae Wison Cadamuro Jr Prof MSc da Universidade Estadua de Maringá Doutorando em Engenharia de Estruturas USP e-mai: RESUMO O presente trabaho apresenta um estudo sobre a apicação da Anáise Matricia de Estruturas na resoução de pórticos panos Traz considerações, formuários e roteiro de cácuo Este estudo, ainda, está inserido no âmbito de uma Iniciação Científica (PIC), em desenvovimento INTRODUÇÃO O método da Anáise Matricia de Estruturas desponta como um instrumento matemático adequado para um tratamento sistemático, rigoroso e sobretudo, gera de anáise de estruturas, pois aém de permitir a generaização desejada, também se adapta ao emprego em computadores Pretende-se apresentar o cácuo de estruturas reticuadas, em particuar pórticos panos, desenvovendo a formuação matricia do Método dos Desocamentos, apicada aos pórticos panos PREMISSAS BÁSICAS Segundo CADAMURO JR () a estrutura pode ser definida como um conjunto de eementos, ou barras, unidos entre si (Figura ) Figura Como indicado na Figura, os nós da estrutura são os pontos de igação entre os eementos, assim como os pontos de apoio e os de extremidade ivre dos eementos Figura

2 ENTECA 4 SISTEMA DE COORDENADAS Para identificar e ordenar forças e desocamentos CADAMURO JR () sugere a adoção de direções (ou coordenadas) devidamente numeradas, podendo ser ocais ou gobais Coordenadas Locais São associadas às extremidades do eemento e devem permitir que se associe à eas as forças e desocamentos reevantes das extremidades dos eementos, como se observa na Figura Figura Em reação às coordenada ocais, tem-se: {P} vetor dos esforços nas extremidades dos eementos {δe} vetor dos desocamentos das extremidades dos eementos segundo suas coordenadas ocais [re] matriz de rigidez do eemento segundo suas coordenadas ocais Coordenadas Gobais São associadas aos nós da estrutura e devem permitir a associação de forças e desocamentos reevantes dos nós Como se observa na Figura 4, cada nó possui seu sistema de coordenadas, sendo coordenadas para cada nó, de acordo com Numéro de Graus de Liberdade (Ng) da estrutura Figura 4 Em reação às coordenadas gobais, tem-se: {F} vetor das forças nodais {U} vetor dos desocamentos nodais [rg] matriz de rigidez do eemento segundo suas coordenadas gobais [R] matriz de regidez da estrutura

3 4 ENTECA 4 NUMERAÇÕES Em um probema de pórtico pano deve-se: a) arbitrar: - a numeração dos nós: (Figura traz um exempo) 4 Figura - a numeração dos eementos: (Figura 6) ou Figura 6 - a incidência dos eementos: (Figura 7) Nó inicia = j Nó fina = k K= J= K= K=4 J= Figura 7 J= b) Cacuar: - A numeração das coordenadas gobais, fazendo as primeiras coordenadas gobais para o nó, as próximas para o nó e assim sucessivamente, como é visto na Figura 8

4 ENTECA N N NÓ N N- Figura 8 - As coordenadas gobais dos eementos (Figura 9): o nó inicia (j) de um eemento quaquer terá as coordenadas gobais (j-), (j-) e (j), e o seu nó fina (k) as coordenadas gobais (k-), (k-) e (k) Figura 9 - As coordenadas ocais dos eementos: (Figura ) 6 4 = 9 = = 6 K 4 Figura J + MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO SEGUNDO SUAS COORDENADAS LOCAIS [re] MOREIRA (977) informa que o mais simpes dos sistemas eásticos é composto por uma moa inear de constante K, Figura

5 44 ENTECA A B A (a) f R= A (b) B r = (c) Figura Apicando-se a força F= ao sistema (Figura ), surge o desocamento é u Por outro ado, se for possíve à estrutura o desocamento u=, a manutenção da configuração deformada exigirá que se apique a força F=r Tem-se então que: - coeficiente de rigidez K é a ação mecânica associada à configuração deformada r= CADAMURO JR () também define rigidez como sendo a reação entre uma força e um desocamento correspondente, ou como a força necessária para provocar um desocamento unitário em sua direção e sentido, como mostrado na Figura B K f Figura Segundo CADAMURO JR () a Matriz de Rigidez é a reação entre um vetor de forças e um vetor de desocamentos (Figura ) Se esses vetores forem referenciados às coordenadas ocais do eemento, como na Figura 4, onde se verifica as coordenadas ocais para um eemento de pórtico pano, temos a Matriz de Rigidez [re] que é definida a seguir f f f u u u Figura 6 K 4 J + Figura 4

6 ENTECA 4 [ re] EA = EA EJ EJ 4EJ EJ EA EA EJ EJ EJ 4EJ () 6 MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO SEGUNDO SUAS COORDENADAS GLOBAIS [rg] A Anaise Matricia de Estruturas requer o conhecimento das matrizes de rigidez dos eementos segundo suas coordenadas gobais [rg] Sendo conhecidas a [re], cacua-se a [rg] com: T [ βe] 6 x 6 [ re] 6 x 6 [ βe] 6 6 [ rg] 6 x 6 x = () onde: [βe] = matriz de incidência cinemática, ou matriz de rotação do sistema de coordenadas ocais para o sistema de coordenadas gobais Para pórtico pano: [ βe] cosα senα = senα cosα cosα senα senα cosα () onde: α = ânguo a partir do nó j (inicia), entre a horizonta e o eixo do eemento, considerando positivo se o sentido for anti-horário Assim, tem-se [rg] 6x6, com 4 quadrantes 7 MATRIZ DE RIGIDEZ DA ESTRUTURA [R] A Matriz de Rigidez da Estrutura [R] é constituída pea soma adequada das matrizes [rg] de todos os eementos A ordem dessa matriz é de acordo com os números de graus de iberdade de cada nó, ou seja, de acordo com os desocamentos de transação vertica, transação horizonta e giro Logo,

7 46 ENTECA [rg] 6x6= Q Q Q Q4 j j j k k k [ R ] NgxNg = [ rg *] NgxNg + [ rg *] NgxNg + K+ [ rg m *] NgxNg j j j k k k (4) () onde: m = número de eementos j j j k k k ng Q Q j j j [rg*]ng x ng= Q Q4 k k k ng (6) 8 VETORES DE FORÇAS NODAIS {F} O Vetor de Forças Nodais {F} é igado às coordenadas gobais e é composto de parceas, a seguir: {F}= Ng (7) { } { } { } F = F NÓS + F (8) BARRAS onde, {F Nós } É a parcea devido às cargas concentradas (forças ou mo mentos) apicadas diretamente nos nós da Estrutura { F } NÓS Fx = Fy Mz e e e (9)

8 ENTECA 47 {F Barras } É a parcea devida as cargas apicadas nos eementos É formada pea contribuição das cargas de todas as barras As cargas atuantes nas barras geram o Vetor de Engastamento Perfeito nas Coordenadas Locais {Poe} e o Vetor de Engastamento Perfeito nas Coordenadas Gobais {Pog} 8 Vetor de Engastamento Perfeito nas Coordenadas Gobais {Pog} Para a barra pana da Figura sujeita a um carregamento P, uniformemente distribuído ao ongo de toda a barra de comprimento, temos O vetor {F Barras } é formado pea contribuição dos vetores {Pog} dos eementos que possuem cargas { Poe} P / P / = P / P / () T { Pog} = [ βe] { Poe} () {Pog} = Q Q j j j k k k () { F Barras } Ng = { Pog *} Ng + { Pog *} Ng + K + { Pog m *} Ng

9 48 ENTECA {Pog*}= j Q j j k Q k () k ng 9 VETOR DOS DESLOCAMENTOS NODAIS {U} Depois de montada a matriz [R] e o vetor {F} é possíve cacuar o vetor dos desocamentos nodais {U} utiizando da seguinte equação: { F } = [ R]{ U } (4) Deve-se antes, porém, apicar as condições de contorno que são as coordenadas gobais com desocamentos impedidos por víncuos Assim, se a coordenada goba i estiver impedida por víncuo, deve-se: Zerar o termo i de {F} Zerar toda a inha i de {R} Zerar toda a couna i de {R} Fazer R(i,i)= Feito isso para todas as coordenadas com víncuos pode-se cacuar o Vetor dos Desocamentos Nodais {U}: { } [ ] { } U = R F onde: {U} = vetor dos desocamentos nodais = (ng x ), segundo as coordenadas gobais () VETOR DOS DESLOCAMENTOS NA EXTREMIDADES DOS ELEMENTOS SEGUNDO SUAS COORDENADAS LOCAIS {de} Depois de cacuado {U}, monta-se agora o Vetor dos Desocamentos das Extremidades dos Eementos {dg},de acordo com suas Coordenadas Gobais {δg} 6 x (6) Com {δg} cacua-se o Vetor {δe} através de: { δ e} 6x = [ βe] 6x6 { δg} 6x (7)

10 ENTECA 49 VETOR DOS ESFORÇOS NAS EXTREMIDADES DO ELEMENTO {Pe} Tendo os desocamentos nodais cacua-se os esforços internos soicitantes (M, N, V) dos eementos, utiizando-se das coordenadas ocais Esses esforços internos soicitantes irão compor o Vetor {Pe} através da seguinte equação: { Pe} = { Poe} + [ re][ δe ] (8) Nj Qj Mj {Pe} = Nk Qk Mk onde: N = Esforço Norma Q = Esforço Cortante M = Momento Fetor (9) Com os resutados obtidos, pode-se traçar os diagramas de M, N e V da estrutura, embrandose que os resutados saem com a convenção adotada para as coordenadas ocais VETOR DE REAÇÕES DE APOIO {Fr} Transforma-se {Pe} para coordenadas gobais {Pg} fazendo: T { Pg} = [ βe] { Pe} Cacua-se as reações de apoio do eemento {Fr} fazendo: {F r *} = {P g *} + {P g *} + {P g *}+ () () onde o número de eementos do vetor {Pg e * }é definido de acordo com o número de coordenadas gobais da estrutura, acrescentando-se (zeros) até o número de coordenadas gobais definido {F r } = {F r *}- (F NÓS } { F } r RFx = RFy RMz Nó Nó Nó () () Para o cácuo de {Fr} precisa-se dos vetores {Pg} (um {Pg} para cada eemento) T { Pg} = [ βe] { Pe} (4) Tendo {Pg} monta-se o vetor {Pg*} (um {Pg*} para cada eemento)

11 ENTECA {Pg}= j Q j j k Q k k () {Pg*}= Q k Q k j j j k ng () ROTEIRO DE CÁLCULO - Arbitrar a numeração do nós; - Arbitrar a numeração dos eementos; - Arbitrar a incidência dos eementos; 4- Cacua a numeração das coordenadas gobais; - Cacuar as coordenadas gobais dos nós j e k de cada eemento 6- Cacuar as coordenadas ocais de cada eemento 7- Cacuar [re] de cada eemento; 8- Cacuar [βe] de cada eemento; 9- Cacuar [rg] de cada eemento; - Montar [R] - Montar {F Nós } - Cacuar {Poe} de cada eemento; - Cacuar {Pog} de cada eemento; 4- Montar {F Barras } - Cacuar {F} 6- Apicar as condições de contorno sobre [R] e {F} 7- Cacuar {U}

12 ENTECA 8- Montar {δg}de cada eemento 9- Cacuar {δe} de cada eemento - Cacuar {Pe} de cada eemento - Cacuar {Pg} de cada eemento - Cacuar {Fr} - Anaisar resutados {U} desocamentos nodais segundo as coordenadas gobais {Fr} reações de apoio segundo as coordenadas gobais {Pe} esforços internos segundo as coordenadas ocais de cada eemento 4 CONCLUSÃO Apresentou-se um estudo sobre a apicação da Anáise Matricia de Estruturas na resoução de Pórticos Panos Todas as etapas de ta anáise foram expicitadas Concue-se, portanto, que há subsídios suficientes para que se proceda a próxima etapa da Iniciação Científica do autor, que é a automatização do procedimento exposto através da inguagem computaciona FORTRAN POWERSTATION 4 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ARAGÃO FILHO, Luiz A C Muniz () Notas de Auas de Anáise Matricia de Estruturas UFMG Universidade Federa de Minas Gerais Beo Horizonte CADAMURO JR, Ismae Wison () Notas de Auas da Discipina Mecânica das Estruturas UEM Universidade Estadua de Maringá Maringá FREITAS NETO, José de Ameida; VIEIRA, Inado Ayres (974) Anáise Matricia de Estruturas Editora da UFPR Curitiba GERE; WEAVER (966) Anaysis of Framed Structures Van Nostrand MOREIRA, Dominício Facão (977) Anáise matricia das estruturas Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos ANTUNES, João Caros; ANTUNES, Heena M C (994) Introdução à Anáise Matricia de Estruturas Univerdidade de São Pauo, Escoa de Engenharia de São Caros, São Caros