Física III. Alguns exemplos comentados

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1 430 Física III Aguns exempos comentados Lei de Faraday Exempo : Variação de fuxo magnético O que a Lei da indução verificada por Faraday nos diz, quando expressa em termos de uma integra, é que, ao variarmos o fuxo magnético que atravessa a região que está contida por um fio condutor fechado, uma força eetromotriz é induzida neste fio. Tratase de uma força eetromotriz cuja presença pode ser comprovada mediante a detecção de uma corrente eétrica neste fio. Todavia, é sempre bom embrar que não são apenas fios condutores que podem ser usados em experimentos que se aproveitam dessa Lei de Faraday. No caso, quaquer estrutura condutora que seja capaz de conter uma área não nua pode ser utiizada. E esse é justamente o caso de um experimento que pode ser reaizado usando a ógica que consta na Figura : ou seja, um experimento onde criamos um circuito coocando uma haste metáica competamente sota sobre uma estrutura condutora em forma de U e fazemos variar o fuxo magnético Φ B dentro da região contida peo circuito. Se, neste momento, dissermos que um campo magnético B uniforme, que é dirigido perpendicuarmente para dentro do circuito, será usado para causar essa variação de fuxo magnético, certamente aguns eitores podem se espantar. Afina de contas, trata-se de um espanto perfeitamente egítimo já que, se B é um campo uniforme, como é que é possíve fazer com que esse fuxo magnético varie? E ao eitor que eventuamente está se perguntando isso, uma das respostas que podemos dar aqui para tentar dissuadí-o deste espanto é: a haste metáica está competamente sota sobre a estrutura em forma de U ; ou seja, como não há nada que impeça essa haste de se mover, a área que está contida peo circuito pode aumentar ou diminuir, o que faz, portanto, com que Φ B também possa aumentar ou diminuir.

2 Figura Aías, se considerarmos que a haste vertica fixa CC que pertence à estrutura em forma de U a qua, incusive, já está indicada na Figura tem uma resistência bem maior que a do resto do circuito, a resistência tota R do circuito praticamente não irá mudar se a haste sota AA se desocar. Assim, ao admitirmos que a norma ao pano do circuito está orientada para cima, podemos afirmar i que o fuxo magnético que atravessa esse circuito é negativo e dado por Φ B = Bh, onde h é a argura deste circuito, e ii que a força eetromotriz induzida pea variação do fuxo magnético é ε = dφ B dt = Bh d dt = Bhv. Aqui, v é a magnitude da veocidade com que a haste sota móve se desoca para a direita. Com base nestes resutados, bem como evando em conta que a corrente I que é induzida no circuito por essa força eetromotriz tem sentido anti-horário e é dada por I = ε R = Bhv R, podemos afirmar que a força magnética com que o campo B atua sobre a haste móve é Já que essa corrente surge porque o sistema precisa reagir a essa variação do fuxo magnético criando um campo magnético que é concorrente a B.

3 Figura dada por F B = I A A d B = Bhv R A ˆv B d = B h A R v. Essa força, que tem o sentido indicado na própria Figura, pode ser interpretada como uma força de atrito resistente dada a sua proporcionaidade em reação à veocidade. Aiás, note que esse resutado deixa caro que, se quisermos fazer com que essa haste se mova com uma veocidade constante, basta puxá-a para a direita com uma força F = F B. Exempo : Geração de corrente aternada É caro que o exempo que acabamos de apresentar é apenas um dos numerosos casos particuares que nos mostram como é possíve variar um fuxo magnético e ver aguma coisa acontecendo devido à Lei de Faraday. No entanto, se quisermos continuar vendo aguma coisa acontecendo por efeito desta mesma ei e ainda de um campo magnético B uniforme, uma outra possibiidade é idarmos com uma situação onde somos capazes de variar o fuxo magnético Φ B que atravessa um circuito fazendo com que esse circuito gire do jeito esperto sugerido pea Figura : ou seja, fazendo com que esse circuito, que podemos supor que é formado por N espiras, gire de modo que o ânguo θ, que existe entre B e a norma ˆn da área S que é compreendida peo circuito, seja ta que θ = ωt, onde ω é uma veocidade anguar constante. Afina de contas, quando este é o caso, Φ B = N B S = NBS cos θ = NBS cos ωt, 3

4 Figura 3 de onde é possíve concuir que a força eetromotriz ε = dφ B dt = ωnbs sin ωt que é induzida no circuito é aternada. Por mais simpes que tudo isso seja, vae notar que é exatamente esta ógica que está por trás da produção de corrente aternada nas diversas usinas hidroeétricas e eóicas que estão espahadas peo mundo. No caso, a corrente aternada I que é produzida neste processo é aproveitada segundo um esquema muito simiar ao que consta na Figura 3, onde este circuito de N espiras é conectado a dois aneis girantes. Afina, se admitirmos que a resistência externa que pode competar esse novo circuito composto é R, I = ε R = ωnbs R sin ωt. No entanto, o que é interessante de ser observado aqui, até mesmo para reforçar todo esse quadro de produção de energia eétrica, segue do fato dessa estrutura que é formada por essas N espiras se comportar, na verdade, como um dipoo magnético. Especificamente, um dipoo magnético que possui momento m = isn ˆn 4

5 e que fica sujeito a um torque de magnitude τ = m B = isnb sin θ = isnb sin ωt. Afina de contas, se quisermos fazer com que essa estrutura fique girando com uma frequência ω constante, precisamos fornecer a ea uma potência mecânica dw dt = ωτ = iωsnb sin ωt ; ou seja, uma potência mecânica que, por poder ser expressa como dw dt = εi, deixa cara a toda essa convertibiidade da potência mecânica numa potência eétrica, já que é justamente essa uma potência eétrica que o segundo membro de representa. Indutores e indutâncias Exempo 3: O que é a indutância mútua e a auto-indutância? Uma das experiências que Faraday desenvoveu para entender como funciona esse processo de indução de correntes eétricas devido às variações de campos magnéticos foi uma, bem específica, onde ee induzia uma corrente eétrica numa bobina variando a corrente eétrica numa outra bobina concêntrica à primeira. A ógica por trás desse experimento pode ser bem entendida notando que, como o fuxo magnético produzido pea variação de corrente numa bobina também será variáve, esse fuxo variáve também será perfeitamente capaz de gerar uma corrente na outra bobina. Para entender direito como funciona todo esse processo que Faraday avaiou, vamos considerar uma situação bem específica, onde temos dois soenóides coaxiais bem ongos, de mesmo comprimento, porém Aqui, estamos desprezando o atrito e a potência que é necessária para produzir B. 5

6 Figura 4 um, com raio R e N espiras, e outro, com raio R > R e N espiras conforme mostra a Figura 4. Se fizermos passar uma corrente eétrica I estacionária peo soenóide aquee de raio R, o campo magnético B que ea produz é, onge das extremidades deste soenóide, dado por B = µ 0 N I ẑ, se 0 r R, 0, caso contrário. Assim, o fuxo Φ que é produzido por B sobre as N espiras do soenóide e que é não nuo apenas dentro do soenóide é Φ = N S B ẑds = N B = µ0 N N I = L I ; 3 ou seja, Φ é nitidamente proporciona a corrente I e essa constante de proporcionai- 6

7 dade L = µ 0 N N, 4 que nada mais é do que um fuxo induzido por unidade de corrente indutora, é o que chamamos de indutância mútua. Mas qua é a razão desse nome indutância mútua? Para entender isso, precisamos notar que, se uma outra corrente eétrica I estacionária percorrer o soenóide, ea também será capaz de produzir um campo magnético. No caso, um campo magnético dado por B = µ 0 N I ẑ, se 0 r R, 0, caso contrário, 5 cujo fuxo Φ, através das N espiras do soenóide, será Φ = N S B ẑds = N B com uma característica bastante curiosa: com = µ0 N N I = L I 6 L = µ 0 N N = L. 7 Ou seja, num sistema de dois soenóides coaxiais como o da Figura 4, tanto faz cacuar essa indutância mútua avaiando o que surge de um fuxo ou de outro: essa indutância mútua sempre será a mesma e é exatamente isso que justifica o seu predicado. É caro que, apesar das nossas atenções terem sido votadas para o entendimento do que o fuxo do campo de um soenóide causa em outro soenóide, precisamos notar que uma corrente como a I, por exempo, também é capaz de produzir um fuxo Φ no próprio soenóide. Esse fuxo é dado por Φ = N S B ẑds = N B = µ0 N I = L I, 8 7

8 onde L = µ 0 N 9 é o que podemos chamar de auto-indutância do soenóide. corrente I também produz um fuxo Anaogamente, como a Φ = N S B ẑds = N B = µ0 N I = L I 0 no soenóide, também é possíve afirmar que L = µ 0 N é a auto-indutância do soenóide. Note que tanto as indutâncias mútuas como as autoindutâncias são reguadas por fatores puramente geométricos, já que eas dependem dos raios desses soenóides, dos seus comprimentos, bem como dos números de espiras que os definem. Entretanto, não tanto faz cacuar a auto-indutância através de um soenóide ou de outro: a auto-indutância é uma coisa que caracteriza um indutor individuamente e não uma grandeza que pode caracterizar, por exempo, como diferentes indutores estão reaciionados entre ees dentro de um sistema físico. Aiás, no caso de todas essas indutâncias, são eas quem nos dizem, por exempo, qua é o peso que cada corrente tem junto a definição dos fuxos. E como os fuxos totais Φ e Φ, que atravessam os soenóides e respectivamente, precisam ser tais que Φ = Φ + Φ e Φ = Φ + Φ isso nos eva a Φ = L I + L I e Φ = L I + L I. Aqui L = L e L = L. 8

9 Figura 5 Exempo 4: Auto-indutância num cabo coaxia Apenas a títuo de exempificação, vamos cacuar a auto-indutância de um cabo coaxia que nada mais é do que um fio condutor ciíndrico de raio a que está envovido por uma capa ciíndrica, também condutora, que possui raio b. E para fazermos esse cácuo, vamos considerar uma situação bem específica onde i esses condutores estão separados por um isoante e ii uma corrente de intensidade I é transmitida axiamente ao ongo do condutor interno e retorna peo externo. A ideia de i, por exempo, é fazer com que seja possíve cacuar o campo magnético B do mesmo jeito que é possíve cacuá-o numa situação de vácuo. De acordo com a simetria do probema, não é difíci concuir que as inhas de força de B são círcuos concêntricos que, aém de estarem orientados ao ongo de curvas como a C que consta na Figura 5, possuem vaor constante B ao ongo destas mesmas curvas. Assim, pea ei de Ampère, vae que onde ˆϕ é um vetor unitário que é tangente ao círcuo. πρ = µ 0 i B = µ 0i ˆϕ, πρ 9

10 Aiás, se supormos que a b, ago que também podemos fazer neste cácuo da autoindutância é desprezar todo o fuxo que está contido no fio interno. Afina de contas, neste caso todo o fuxo de B atravessará a área retanguar onde consta o isoante ou seja, o retânguo ADD A destacado na mesma Figura 5, o qua possui comprimento AD unitário e o ado AA iga o condutor interno ao externo e poderá ser expresso como Φ B = B ˆϕdS = AD }{{} = b a B ρ dρ = µ 0i π b a ρ dρ = µ 0i b π n a. 3 Ou seja, o fuxo por unidade de comprimento é Φ B = Li, onde L = µ 0 b π n a 4 é a auto-indutância do cabo coaxia por unidade de comprimento. 0