Física III para a Poli
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- Cláudia Duarte Sampaio
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1 43303 Física III para a Poi Aguns exempos comentados Lei de Faraday Exempo : Variação de fuxo magnético O que a Lei da indução de Faraday essenciamente nos diz é que, quando fazemos o fuxo magnético variar por uma superfície que, por exempo, está contida por um fio condutor fechado, uma força eetromotriz é induzida neste circuito. E no caso dessa força eetromotriz, a sua indução pode ser comprovada mediante a detecção de uma corrente eétrica neste fio. Todavia, é sempre bom embrar que não são apenas fios condutores que podem ser utiizados em experimentos que se aproveitam dessa Lei de Faraday. No caso, quaquer estrutura condutora que seja capaz de conter uma área pode ser utiizada. E esse é justamente o caso de um experimento que pode ser feito usando a ógica que consta na Figura : ou seja, um experimento onde tomamos uma estrutura condutora em forma de U e definimos um circuito coocando uma haste metáica sota sobre essa estrutura. A ógica por trás deste experimento se assenta no fato de fazermos variar um fuxo magnético Φ B na região que está contida no interior deste circuito. E se, neste momento, dissermos que um campo magnético B uniforme, que é dirigido perpendicuarmente para dentro da foha, será usado para causar essa variação de fuxo, certamente aguns eitores podem se espantar. Afina de contas, trata-se de um espanto perfeitamente egítimo, uma vez que, se B não varia, como é que é possíve fazer variar esse fuxo magnético? E ao eitor que eventuamente está se perguntando isso, a primeira resposta que podemos dar para o dissuadir desse espanto é: a haste metáica está sota sobre a estrutura em forma de U ; ou seja, como a haste metáica é totamente ivre para se mover, a área contida peo circuito pode aumentar ou diminuir, fazendo, portanto, com que o fuxo Φ B que está reacionado a essa área também aumente ou diminua.
2 Figura Aías, se considerarmos que a haste vertica fixa CC que consta na Figura tem uma resistência bem maior que a do resto do circuito, a resistência tota R deste circuito praticamente não muda se a haste sota AA se desocar. Assim, se admitirmos que a norma ao pano do circuito é orientada para cima, podemos afirmar que o fuxo de B que atravessa esse circuito é negativo e dado por Φ B = Bh, onde h é a argura deste circuito, e que a força eetromotriz induzida é ε = dφ B dt = Bh d dt = Bhv. Aqui, v é a magnitude da veocidade com que a haste sota móve se desoca para a direita. Com base nestes resutados e, portanto, evando em conta que a corrente induzida i no circuito tem sentido anti-horário já que ea surge porque o sistema reage a usando para criar um campo magnético concorrente a B e é dada por i = ε R = Bhv R,
3 podemos afirmar que a força magnética com que o campo B atua sobre a haste móve é dada por A F B = i d B = Bhv A A R B d = B h v A R. Essa força, que tem o sentido indicado na Figura que é oposto a v, pode ser interpretada como uma força de atrito resistente dada a sua proporcionaidade em reação à veocidade. Aiás, note que, se quisermos manter essa haste móve com uma v constante, basta puxá-a para a direita com uma força F = F B. Exempo : Geração de corrente aternada No caso do exempo anterior, ee é apenas um caso particuar de como podemos idar com a variação do fuxo magnético e ver aguma coisa acontecendo devido à Lei de Faraday. Já uma outra maneira esperta de vermos outra coisa acontecendo devido a essa ei segue da possibiidade de variarmos o fuxo magnético fazendo com que uma área S, que está contida por um circuito, gire, imersa num campo magnético B uniforme, com uma veocidade anguar ω constante. Considerando que esse circuito é formado por N espiras e que o ânguo θ que existe entre B e a norma ˆn dessa área é ta que θ = ωt, o fuxo magnético Φ B que atravessa S é dado por Φ B = N B S = NBS cos θ = NBS cos ωt. Logo, como Φ B apresenta uma dependência tempora, não é difíci concuir que a força eetromotriz que é induzida no circuito é ε = dφ B dt = ωnbs sin ωt ; ou seja, temos uma força eetromotriz aternada, que pode ser coetada por duas escovas 3
4 Figura que estão em contato com dois anéis girantes, conforme mostra a Figura, os quais podem ser igados a uma carga externa competando o círcuito. Aiás, se admitirmos que a resistência externa associada a esse circuito é R, é imediato concuir que teremos uma corrente i = ε R = ωnbs R sin ωt. Porém, neste caso, a estrutura que é formada por essas N espiras se comportará como um dipoo magnético, cujo momento é m = isn ˆn e que fica sujeito a um torque de magnitude τ = m B = isnb sin θ = isnb sin ωt. Note que, para que essa estrutura fique girando com uma ω constante, precisamos fornecer uma potência mecânica dw dt = ωτ = iωsnb sin ωt 4
5 a ea; ou seja, uma potência mecânica que, por poder ser expressa como dw dt = εi, deixa cara a toda a convertibiidade de potência mecânica em eétrica já que é justamente esta útima que o segundo membro de representa. Indutores e indutâncias Exempo 3: O que é a indutância mútua e a auto-indutância? Como podemos inferir só de ohar para o que diz a Lei da indução, Faraday passou muito tempo tentando entender como funciona esse processo de indução de correntes eétricas devido às variações de campos magnéticos. E uma das experiências que Faraday reaizou ao ongo deste processo consistiu em induzir, por exempo, uma corrente eétrica numa bobina variando a corrente eétrica de outra bobina. A ógica por trás disso pode ser bem entendida notando que, como o fuxo magnético produzido pea variação de corrente numa bobina também será variáve, esse fuxo variáve será perfeitamente capaz de gerar uma corrente na outra bobina. Para entender direito como funciona todo esse processo, vamos considerar uma situação bem específica onde temos dois soenóides coaxiais bem ongos, de mesmo comprimento, porém um, com raio R e N espiras, e outro, com raio R > R e N espiras conforme mostra a Figura 3. Se fizermos passar uma corrente eétrica i estacionária peo soenóide aquee de raio R, o campo magnético B que ea produz é, onge das Aqui, estamos desprezando o atrito e a potência que é necessária para produzir B. 5
6 Figura 3 extremidades deste soenóide, dado por B = µ 0 N i ẑ, se 0 r R, 0, caso contrário. Assim, o fuxo Φ que é produzido por B sobre as N espiras do soenóide e que é não nuo apenas dentro do soenóide é Φ = N S B ẑds = N B = µ0 N N i = L i ; 3 ou seja, Φ é nitidamente proporciona a i e essa constante de proporcionaidade L = µ 0 N N, 4 que nada mais é do que fuxo induzido por unidade de corrente indutora, é o que chamamos de indutância mútua. Mas qua é a razão desse nome indutância mútua? Para entender isso, precisamos notar 6
7 que uma outra corrente eétrica i estacionária, quando passa peo soenóide, também é capaz de produzir um campo B = µ 0 N i ẑ, se 0 r R, 0, caso contrário, 5 cujo fuxo Φ, através das N espiras do soenóide, é Φ = N S B ẑds = N B = µ0 N N i = L i 6 com L = µ 0 N N = L. 7 Ou seja, num sistema de dois soenóides coaxiais como o da Figura 3, tanto faz cacuar essa indutância mútua avaiando o que surge de um fuxo ou de outro: essa indutância mútua sempre será a mesma e é exatamente isso que justifica o seu predicado. É caro que, apesar das nossas atenções terem sido direcionadas ao entendimento do que o fuxo do campo de um soenóide causa em outro soenóide, é preciso notar que uma corrente como a i, por exempo, também produz um fuxo Φ no próprio soenóide. Esse fuxo é dado por Φ = N S B ẑds = N B = µ0 N i = L i, 8 onde L = µ 0 N 9 é o que chamamos de auto-indutância do soenóide. Anaogamente, como a corrente i também produz um fuxo Φ = N S B ẑds = N B = µ0 N i = L i 0 7
8 no soenóide, também é possíve afirmar que L = µ 0 N é a auto-indutância do soenóide. Note que tanto as indutâncias mútuas como as autoindutâncias são reguadas por fatores puramente geométricos, já que eas dependem dos raios desses soenóides, dos seus comprimentos, bem como dos números de espiras que os definem. Entretanto, não tanto faz cacuar a auto-indutância através de um soenóide ou de outro: a auto-indutância é uma coisa que caracteriza um indutor individuamente e não uma grandeza que pode caracterizar, por exempo, como diferentes indutores estão reaciionados entre ees dentro de um sistema físico. Aiás, no caso de todas essas indutâncias, são eas quem nos dizem, por exempo, qua é o peso que cada corrente tem junto a definição dos fuxos. E essa definição é dada por Φ = L i + L i e Φ = L i + L i. 3 Aqui L = L e L = L. Exempo 4: Auto-indutância num cabo coaxia Apenas a títuo de exempificação, vamos cacuar a auto-indutância de um cabo coaxia que nada mais é do que um fio condutor ciíndrico de raio a que está envovido por uma capa ciíndrica, também condutora, de raio b. E para fazermos esse cácuo, consideraremos uma situação bem específica onde i esses condutores estão separados por um isoante e ii uma corrente de intensidade i é transmitida axiamente ao ongo do condutor interno e retorna peo externo. A ideia de i, por exempo, é fazer com que possamos cacuar o campo magnético B do mesmo jeito que fazemos numa situação de vácuo. Anaisando a simetria do probema, não é difíci concuir que as inhas de força de B são círcuos concêntricos que, aém de estarem orientados como C na Figura 4, possuem 8
9 Figura 4 vaor constante B ao ongo de C. Assim, pea ei de Ampère, segue que onde ˆϕ é um vetor unitário tangente ao círcuo. πρ = µ 0 i B = µ 0i ˆϕ, 4 πρ Aiás, se supormos que a b, ago que também podemos fazer neste cácuo da autoindutância é desprezar o fuxo que está contido no fio interno. Assim, o fuxo de B através de um retânguo ADD A de comprimento AD unitário, onde o ado AA iga o condutor interno ao externo é Φ = B ˆϕdS = AD }{{} = b a B ρ dρ = µ 0i π b a ρ dρ = µ 0i b π n a. 5 Ou seja, o fuxo por unidade de comprimento é Φ = Li, onde µ 0 b π n a 6 é a auto-indutância do cabo coaxia por unidade de comprimento. 9
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