Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos. Formulação do problema básico. Equações básicas (para (1) 2 NB equações

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1 Fluo de cara não linear: aloritmos básicos Formulação do roblema básico Euações básicas (ara,, L, NB m K m K m m ( G cos B sen m m m m ( G sen B cos m m m m ( ( NB euações 4 NB variáveis NB euações tio ( NB euações tio ( 4 NB variáveis (,, e. Tios de barra no fluo de cara convencional. Tio de barra Notação Dados Incónitas Barra de cara e e Tensão controlada e e Referência e e Resolvido o fluo de cara estado da rede ( Fluo de cara não linear: aloritmos básicos Sério Haffner ersão: 5/4/8 áina de 4, ara,, L, NB é conhecido.

2 Subsistemas e N número de barras N número de barras Subsistema (dimensão N N Dados: i e j e e i, i { barras } : j, { barras }, { barra } :, { barras } j : i j i i j j j, { } i i j j Incónitas: i e i barras Euações alébricas não-lineares (funções uadráticas e trionométricas. arte das incónitas aarece de forma imlícita ( m m m ( Gm cos m Bm sen m { barras e } m K ( S m ( Gm sen m Bm cos m { barras } m K Subsistema (dimensão N Resolvido aós o Subsistema. Dados: e,,, L, NB Incónitas: i e i, i { barra } j, j { barras } Todas as incónitas ( e aarecem isoladas de forma elícita. ( S m K m K m m ( G cos B sen { barra } m ( G sen B cos { barras e } m m m m m m m Fluo de cara não linear: aloritmos básicos Sério Haffner ersão: 5/4/8 áina de 4

3 Características dos subsistemas ue constituem o fluo de cara. Subsistema S Dimensão N N i e j e e S N e, Esecificadas i barras i, { } j, j { barras }, { barra },, L, NB ariáveis i e i j Calculadas, i { barras }, { barras } j i e i, i { barra }, j { barras } j Eemlo Considerando o sistema elétrico cujos dados encontram-se na fiura a seuir, formular as euações referentes ao Subsistema do fluo de cara. u I Z LT, j, ( u S Sistema elétrico de duas barras. (,8,4 u S j Fluo de cara não linear: aloritmos básicos Sério Haffner ersão: 5/4/8 áina de 4

4 Eemlo Emreando a notação na forma vetorial, determinar as variáveis e euações do Subsistema do roblema definido no Eemlo..5 d(theta, dd -.5 d(theta, theta Fluo de cara não linear: aloritmos básicos Sério Haffner ersão: 5/4/8 áina 4 de 4

5 Formulação matricial } N N Incónitas Subsistema aruadas no vetor : } N vetor dos ânulos das tensões nodais das barras e vetor das manitudes das tensões nodais das barras. Subsistema : ( S ( S (, { barras e } (, { barras } (, (, vetor das injeções de otência ativa nas barras e vetor das injeções de otência reativa nas barras. ( S ( ( S ( } N N } N Sistema de euações não-lineares resolvido or um número muito rande de métodos (Gauss, Newton, Desacolado Ráido. Fluo de cara não linear: aloritmos básicos Sério Haffner ersão: 5/4/8 áina 5 de 4

6 Eemlo ara a rede de uatro barras cujos dados estão a seuir, determinar as euações do fluo de cara. 4 Y S Y 4 4 : a jb jb jb jb Y 4 S S Y S 4 jb jb jb : e jϕ 4 Y 4 Fluo de cara não linear: aloritmos básicos Sério Haffner ersão: 5/4/8 áina 6 de 4

7 Y Y Y G Y e Dados das barras do sistema de 4 barras. Barra Tio [u] [rad] [u] [u],5,,4,,95, 4,8,4 4 Y Y jϕ 4,6 Dados dos ramos do sistema de 4 barras. m Y m [u] b m [u] a m [u] ϕ m [rad], j,,, j,, 4 j,,5, j,, 4 j,,95,, Y,989 jb 4,,5, jb Y,,,5 Y,989 Y Y jb jb e Fluo de cara não linear: aloritmos básicos Sério Haffner ersão: 5/4/8 áina 7 de 4 Y Y a 4 Y Y Y 4 a 4 Y jb 4 jb 5,98 j,97 B,85,9775,95 jb e jϕ a Y 4,9775, Y Y Y 4 4 4

8 Euações do fluo de cara: 4 [ ( G cos B sen ( G cos B sen ( G cos B sen ( G4 cos4 B4 sen4 ] [ ( G cos B sen ( G cos B sen ( G cos B ] sen 4 [ ( G cos B sen ( G cos B sen ( G cos B sen ( G cos B sen ] [ ( G cos B sen ( G cos B sen ( G cos B ] sen 4 [ ( G sen B cos ( G sen B cos ( G sen B cos ( G4 sen4 B4 cos4 ] [ ( G sen B cos ( G sen B cos ( G sen B ] cos 4 [ ( G sen B cos ( G sen B cos ( G sen B cos ( G4 sen4 B4 cos4 ] [ ( G sen B cos ( G sen B cos ( G sen B ] cos Fluo de cara não linear: aloritmos básicos Sério Haffner ersão: 5/4/8 áina 8 de 4

9 Fluo de cara não linear: aloritmos básicos Sério Haffner ersão: 5/4/8 áina 9 de 4 Subsistema 4 4 ( ( ( ( { } { } ( ( { } { },4 barras,,4 barras e S Subsistema ( ( } { } { } ( ( { } { }, barras e barras S

10 Fluo de cara não linear: aloritmos básicos Sério Haffner ersão: 5/4/8 áina de 4 Resolução de sistemas alébricos não lineares elo método de Newton-Rahson Sistema unidimensional (determinar tal ue a função ( seja nula: ( Eansão em série de Taylor (em torno de e aroimação linear ( ( ( ( ( ( K!! ( ( ( ( ( ( ( ( Euação da reta tanente or : ( ( ( ( onto no ual a reta tanente or é nula: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (

11 Aloritmo do método de Newton-Rahson unidimensional ( i. Fazer e escolher uma aroimação inicial ii. Calcular o valor da função (, no onto Fluo de cara não linear: aloritmos básicos Sério Haffner ersão: 5/4/8 áina de 4 : ( iii. Comarar o valor calculado ( com a tolerância ecificada ε: se ( ε será a solução rocurada (dentro da faia de tolerância ±ε; se ( ε em torno do onto (, ( iv. Linearizar a função ( seuinte derivada: ( v. Calcular a correção ( ( ue resolve o roblema linearizado: vi. Determinar a nova estimativa de assa a ser: vii. Fazer e voltar ara o asso (ii. ariante (on Mises: considerar derivada constante no asso (iv. >, então, rosseuir.. Isto se resume na determinação da ( (

12 Eemlo 4 Utilizando o método de Newton-Rahson, determinar a solução ara a euação sen, considerando uma tolerância ε,. ( - ( rocesso de converência ara e. Eemlo 5 Utilizando o método de Newton-Rahson com derivada constante (on Mises, determinar a solução ara a euação sen, considerando uma tolerância ε,. Eercício Utilizando os métodos de Newton-Rahson e de on Mises, determinar, com uma tolerância ε,, o valor de tal ue e sen 5. Fluo de cara não linear: aloritmos básicos Sério Haffner ersão: 5/4/8 áina de 4

13 Fluo de cara não linear: aloritmos básicos Sério Haffner ersão: 5/4/8 áina de 4 Aloritmo do método de Newton-Rahson n-dimensional ( i. Fazer e escolher uma aroimação inicial. ii. Calcular (, no onto : ( iii. Testar converência: se ( [ ] n i i, ara ε, então o rocesso converiu ara a solução ; caso contrário, rosseuir. iv. Linearizar a função vetorial ( em torno do onto ( (,. Isto se resume na determinação da seuinte matriz de derivadas, denominada matriz Jacobiana: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( n n n n n n J L M O M M L L v. Calcular a correção ue resolve o roblema linearizado: ( [ ] ( J vi. Determinar a nova estimativa de assa a ser: vii. Fazer e voltar ara o asso (ii.

14 Eemlo 6 Utilizando o método de Newton-Rahson, determinar a solução considerando uma y 4 tolerância ε ε y,, ara o seuinte sistema de euações: y 6 Resultados arciais do rocesso iterativo método de Newton-Rahson n-dimensional. ( ( [ ( ],9,,994,,999977,46 J,6,,9,,,8,647,47,94,64,94, 94,88,665,65,586,54,,,7,7 Eemlo 7 Utilizando o método de on Mises, determinar a solução do sistema de euações do eemlo anterior. Eercício Utilizando os métodos de Newton-Rahson e de on Mises, determinar, com uma y 4 tolerância ε,, a solução do seuinte sistema de euações: y y 5 Fluo de cara não linear: aloritmos básicos Sério Haffner ersão: 5/4/8 áina 4 de 4

15 Fluo de cara elo método de Newton-Rahson Alicado ao Subsistema (S ( S ( (, (, (, { barras e } (, { barras } Matriz Jacobiana J ( ( ( ( ( ( J ( (, (, (, (, Fluo de cara não linear: aloritmos básicos Sério Haffner ersão: 5/4/8 áina 5 de 4

16 Submatrizes do Jacobiano H H M m K m (, N L ( G cos B sen m H H H l l m m l m Ω l m (, H (, M (, N (, L ou G m ( Gm cos m Bm sen m ( G sen B cos ( G sen B cos l m m l l m l m m m Ω l Ω l Ω N (, N N N l l l G m Ω ( G cos B sen l l m ( G cos B sen l m l m m m l Ω l Ω Fluo de cara não linear: aloritmos básicos Sério Haffner ersão: 5/4/8 áina 6 de 4

17 Submatrizes do Jacobiano (continuação m K m ( G sen B cos m m m m ou B m ( Gm sen m Bm cos m m Ω M (, M M M l l l m Ω l m ( G cos B sen ( G cos B sen l m l m l m l m l Ω l Ω L (, L L L l l l B m Ω ( G sen B cos l l m ( G sen B cos l m l m m m l Ω l Ω Fluo de cara não linear: aloritmos básicos Sério Haffner ersão: 5/4/8 áina 7 de 4

18 Fluo de cara elo método de Newton-Rahson Aloritmo i. Fazer e escolher os valores iniciais dos ânulos das tensões das barras e ( e as manitudes das tensões das barras ( ii. Calcular: (, ara as barras e (, e determinar o vetor dos resíduos ( mismatches. ara as barras e. iii. Testar a converência: se ma { } ε { } e ma { } ε { } solução (, ; caso contrário, continuar. iv. Calcular a matriz Jacobiana: ( ( ( H, N, ( ( J, M, L, v. Determinar a nova solução (, sendo e, onde: Fluo de cara não linear: aloritmos básicos Sério Haffner ersão: 5/4/8 áina 8 de 4 obtidos com a solução do seuinte sistema linear: vi. Fazer e voltar ara o asso (ii. H M, o rocesso converiu ara a (, N(, ( (, L,

19 Solução do Subsistema (S: trivial, aós a determinação do fasor tensão de todas as barras. ( S m K m K m m ( G cos B sen { barra de referência} m ( G sen B cos { barras e referência} m m m m m m m Eemlo 8 Utilizando o método Newton, determinar a solução do roblema do fluo de cara corrondente ao sistema elétrico de duas barras utilizado no Eemlo, considerando uma tolerância ε ε,. Incónitas e euações do Subsistema :,8 (,99cos 9,9 sen,99 ( S,4 (,99sen 9,9 cos 9,9 O Subsistema : [ ( G cos B sen G ] ( S [ ( G sen B cos B ] Fluo de cara não linear: aloritmos básicos Sério Haffner ersão: 5/4/8 áina 9 de 4

20 Eemlo 9 Utilizando o método de Newton, determinar a solução do fluo de cara da rede cujos dados se encontram a seuir. Utilizar uma tolerância ε ε,. z S z S S jb jb jb jb jb Dados das barras do sistema de barras. Barra Tio [u] [rad] [u] [u] b [u],5,5,5,,,, Dados dos ramos do sistema de barras. m z m [u] b m [u], j,,,5 j,8, Fluo de cara não linear: aloritmos básicos Sério Haffner ersão: 5/4/8 áina de 4

21 ,7 o,7 o o 9, S,5, S,5, 6 S,98, 84 S,, 64 j j j j S,5,5 S,469,5 S,, 64 j S j,5 j j jb Resultado do fluo de cara do sistema eemlo de barras (Eemlo 8. Fluo de cara não linear: aloritmos básicos Sério Haffner ersão: 5/4/8 áina de 4

22 Eercício No sistema de três barras do Eemlo 8, em função da barra de referência (Barra ocuar uma osição central e de não eistir liação direta entre as Barras e, o sistema elétrico de três barras ode ser dividido em dois sistemas de duas barras indeendentes, conforme mostrado a seuir. Sistema A Sistema B B z S z A S S S jb jb jb jb A B S S S jb Desta forma, as duas redes odem ser resolvidas searadamente, sendo a injeção de otência da Barra dada ela soma das injeções calculadas ara as duas redes, ou seja, S S S. Resolver o fluo de cara das duas redes searadamente e comrar com os resultados do Eemlo 8 ara comrovar estas afirmações. Eercício 4 ara o mesmo sistema elétrico utilizado no Eemlo 8, determinar solução do fluo de cara considerando os dados da Tabela e utilizando uma tolerância ε ε,. Dados das barras do sistema de barras. Barra Tio [u] [rad] [u] [u] b [u],5,5,5,,469,,65 Fluo de cara não linear: aloritmos básicos Sério Haffner ersão: 5/4/8 áina de 4 A B

23 Métodos desacolados Em redes de AT e EAT ( : Fluo m muito menos sensível às mudanças em ue às mudanças nos (. Fluo m muito menos sensível às mudanças ue às mudanças nas. Sensibilidades e mais intensas ue e desacolamento -. Método de Newton desacolado Subsistema (S: Drezando N e M: Iteração Iteração Iteração (, H (, N(, (, M (, L(, (, H (, (, L(, barras e barras e barras barras barras e barras barras e barras Fluo de cara não linear: aloritmos básicos Sério Haffner ersão: 5/4/8 áina de 4

24 Fluo de cara elo método de Newton desacolado Aloritmo K i. Fazer, K e escolher os valores iniciais dos ânulos das tensões das barras e ( e as manitudes das tensões das barras ( ii. Calcular ( iii. Testar a converência: ma { } a Se { }., ara as barras e e determinar o vetor dos resíduos ( mismatches ε, a ½ Iteração converiu: K, o rocesso converiu ara a solução ( Fazer K. Se Caso contrário, vá ara o asso (vii (Iteração. H,. iv. Calcular a submatriz ( v. Determinar o valor de sendo vi. Fazer, K e rosseuir no asso (vii. vii. Calcular ( viii. Testar a converência: ma { } a Se { }. Fluo de cara não linear: aloritmos básicos Sério Haffner ersão: 5/4/8 áina 4 de 4, ; obtido de (, H (,, ara as barras e determinar o vetor dos resíduos ( mismatches ε, a ½ Iteração converiu: K, o rocesso converiu ara a solução (, Fazer K. Se Caso contrário, vá ara o asso (ii (Iteração. L,. i. Calcular a submatriz (. Determinar o valor de sendo i. Fazer, K e voltar ara o asso (ii. obtido de (, L(, ;.

25 Eemlo Utilizando o método Newton desacolado, determinar a solução do Subsistema do roblema do fluo de cara corrondente ao sistema elétrico de três barras utilizado no Eemlo 8 considerando uma tolerância ε ε, (vide Eemlo 8., G, H H H,,478,778,,,778 B, 4,554,778,45 ( S H L H [ L ],45,5 [ G ( G cos B sen ] [ ( G cos B sen G ] [ B ( G sen B cos ] Resultados arciais do rocesso iterativo fluo de cara Newton desacolado., (, (,455,66,474,65, [ H ( ], [ ( ],5,,, 45,65,868,, 45,44-4 H,,455,8,66,95,9,855,,, [ L( ] [ L ( ], (,6,787,46,,,4,86,95,,7 5, -6 Fluo de cara não linear: aloritmos básicos Sério Haffner ersão: 5/4/8 áina 5 de 4

26 Fluo de cara não linear: aloritmos básicos Sério Haffner ersão: 5/4/8 áina 6 de 4 Normalização em relação à Utilizada ara acelerar a converência do FC: NB L M O M M L L NB L M O M M L L Euações normalizadas do fluo de cara elo método de Newton desacolado: ( ( ( ( barras barras,, Iteração barras e barras e,, Iteração L H ersão normalizada ( ( ( ( barras barras,, Iteração barras e barras e,, Iteração L H

27 (, H H H (, L L L H m m m Ω H l l l l l H l ' H m m Ω ' H l l l l l ' H l L B m Ω Ll l l l Ll ' L B m ' Ll Gl sen l B l ' Ll ( G sen B cos ( G sen B cos l m l m Fluo de cara não linear: aloritmos básicos Sério Haffner ersão: 5/4/8 áina 7 de 4 m ( G sen B cos m ( G sen B cos l m ( G sen B cos m l Ω l m m ( G sen B cos l m m l m m m ( G sen B cos cos m l m m m B l Ω l Ω B B l Ω l Ω l Ω l Ω B l Ω l Ω

28 Eemlo Utilizando o método Newton desacolado normalizado, determinar a solução do Subsistema do roblema do fluo de cara corrondente ao sistema elétrico de duas barras utilizado nos Eemlos 8 e 9 considerando uma tolerância ε ε, (vide Eemlos 8 e 9. H H H H H H L [ L ] ( G sen B cos ( G sen B m m m m m cos m Ω H H H ( G sen B cos ( G sen B m m m m m cos m Ω L ( G sen B cos B ( G sen B B m m m m m cos m Ω Resultados arciais do rocesso iterativo fluo de cara Newton desacolado normalizado., (, (,455,66,474,65, [ H ( ], [ ( ],5,,, 45,65,89,, 45,44-4 H,,455,8,66,47,9,855,, (, [ L, ( ] [ L ( ],6,787,46,,,4,8, 48,,7 5, -6 Fluo de cara não linear: aloritmos básicos Sério Haffner ersão: 5/4/8 áina 8 de 4

29 Desacolado ráido Simlificação do método Newton desacolado (normalizado com matrizes constantes. Hióteses: a cos m B >> sen b m G m m c B >> ' H mbm ' B Bm m Ω m Ω ' ' H H l l Bl l Ω H B Bl Bl l Ω l ' ' Bl l Ω H l l Ω u ' L B '' B B ' '' L Ll Bl l Ω L B Bl Bl l Ω l '' ' Ll l Ω Bl l Ω Matrizes denominadas B e B ois são semelhantes a matriz de suscetâncias B. Fluo de cara não linear: aloritmos básicos Sério Haffner ersão: 5/4/8 áina 9 de 4

30 Método desacolado ráido é dado or: (, B Iteração (, barras e barras e B barras Iteração barras De modo heurístico melhor desemenho uando se drezava r m ( b m m na matriz B : ' B m m Ω ' B Bl m l Ω ' Bl l Ω uando eistem unts elevados hiótese (c ode não ser válida. Correção: } } B m L B m Gm sen m Bm cos m B Ω Ω Gm senm Bm B Bm m m m Ω B B B m B B m Bm B B m B B m B m Ω m Ω m Ω m Ω m Ω B B B ( B soma das suscetâncias ue liam o nó à terra. Fluo de cara não linear: aloritmos básicos Sério Haffner ersão: 5/4/8 áina de 4

31 Fluo de cara elo método desacolado ráido Aloritmo i. Fazer, K K e escolher os valores iniciais dos ânulos das tensões das barras e ( e as manitudes das tensões das barras (. ii. Determinar as matrizes B e B. iii. Calcular (, ara barras e e determinar o vetor dos resíduos ( mismatches iv. Testar a converência: ma { } a Se { } ε, a ½ Iteração converiu: K, o rocesso converiu ara a solução ( Fazer K. Se Caso contrário, vá ara o asso (vii (Iteração. b Caso contrário, rosseuir. v. Determinar o valor de sendo vi. Fazer, K e rosseuir no asso (vii. vii. Calcular ( viii. Testar a converência: ma { } a Se { }. Fluo de cara não linear: aloritmos básicos Sério Haffner ersão: 5/4/8 áina de 4, ; obtido de (, B, ara barras e determinar o vetor dos resíduos ( mismatches ε, a ½ Iteração converiu: K, o rocesso converiu ara a solução ( Fazer K. Se Caso contrário, vá ara o asso (iii (Iteração. b Caso contrário, rosseuir. i. Determinar o valor de sendo. Fazer, K e voltar ara o asso (iii., ; obtido de (, B.

32 Eemlo Utilizando o método desacolado ráido, determinar a solução do Subsistema do roblema do fluo de cara corrondente ao sistema elétrico de duas barras utilizado nos Eemlos 8, 9 e considerando uma tolerância ε ε,. B B B B B, B B [ B ] B m Ω, m (, (,5,, 6 B B,, B B [ B ] [ B ] [,6 ] [,64] B m Ω m,5,8 Resultados arciais do rocesso iterativo fluo de cara desacolado ráido., (, (,45,6,47,65, (, (, (, (,8,5,5,5,45,,,6,8,8,,8,78,,6,6,5,,5,49,6,8-4 4, -6,7,9-4 Fluo de cara não linear: aloritmos básicos Sério Haffner ersão: 5/4/8 áina de 4

33 Eercício 5 Utilizando os métodos de Newton, Newton desacolado (normalizado e desacolado ráido, determinar a solução do fluo de cara da rede da Fiura a seuir cujos dados se encontram nas Tabelas. Utilizar uma tolerância ε ε,. S z z jb jb jb jb S S z jb jb jb Dados das barras do sistema de barras. Barra Tio [u] [rad] [u] [u] b [u],,5,5,,,, Dados dos ramos do sistema de barras. m z m [u] b m [u], j,,,8 j,,,5 j,8, Fluo de cara não linear: aloritmos básicos Sério Haffner ersão: 5/4/8 áina de 4

34 Controles e limites erificação imortante evita ue solução obtida seja não realizável. erificar: Euiamentos e instalações (dentro dos seus limites de oeração Disositivos de controle(influenciam as condições de oeração Eemlos de controles e limites eistentes nos roramas de fluo de cara: Controle da manitude da tensão nodal or ajuste de ta (transformadores em fase Controle do fluo de otência ativa (transformadores defasadores Controle de intercâmbio Limite de injeção de otência reativa em barras Limite de tensão em barras Limites de tas de transformadores Limites de fluo em circuitos Formas de reresentação:. Classificação or tio (,,, etc. e aruamento das euações em Subsistemas e.. Mecanismos de ajuste eecutados alternadamente com a solução iterativa do Subsistema.. Incororação de euações e variáveis adicionais ao Subsistema ou substituição de euações e variáveis deste subsistema or novas euações e variáveis. min Limite facilmente verificado: injeção nas barras ma, { barras } Inclusão dos controles rovoca alterações (ara ior no rocesso de converência (converência lenta, oscilação, diverência ou soluções múltilas. Fluo de cara não linear: aloritmos básicos Sério Haffner ersão: 5/4/8 áina 4 de 4